小明聊黎曼（3）——歐拉乘積公式

上面這個級數我們稱之為巴塞爾級數，和調和級數非常相似，只不過分母都是自然數的平方。這個問題在其提出后46年，1735年，被年輕的歐拉所破解，該級數收斂至π²/6。歐拉不僅對于巴塞爾問題給出了解，而且在1740年給出了對于那些n是偶次方的級數的解（如下式，其中B為貝努利常數:）

但對于n是奇數的情況，歐拉什么也沒有說。直到1978年，才證明了n=3時這個數是個無理數。

       ζ函數的級數的收斂值隨著n的不同而不同，對于偶數我們有歐拉給到的具體結果，對于奇數我們知之甚少。而上式也讓我們和黎曼ζ函數有了第一次聯系，黎曼將他1859年的論文中有關上式的變量n改成了s，如下式：

我們知道當s=1的時候，級數是發散的，當s>1時，級數收斂，那么針對每一個s(s>1)都有一個相對應的值，我們把它繪制成圖形就如下圖：

而當s<>

       我們利用埃拉托色尼篩法對ζ函數的連加形式做一些調整。首先等式兩邊同乘1/(2^s)，得到：

我們用ζ函數減去上式，即消去了所有2的倍數的項，得到：

我們依葫蘆畫瓢，上式再乘1/(3^s)，得到：

仍然讓兩式相減，得到：

如果我們繼續不斷的做下去，會將把所有的素數都提取出來放到了等式的左邊，而等式的右邊則為1：

我們把上式整理一下，把所有的素數挪到等式右邊，用連乘積符號表示如下：

這樣和所有自然數相關的一個和，與所有素數相關的一個積就這樣聯系到了一起，這就是歐拉乘積公式，它將一個連續的和變成了連續的積：

        要介紹這個函數牽扯到微積分，我這邊不多贅述，導數指的是函數曲線的切線斜率，積分指的是函數曲線下方的面積。而Li(x)其實是對1/ln(x)求積分得到（如下式），為什么特別用這么個符號，因為這個積分無法用初等方法表示。

附送它的圖像：

為什么要提到這個函數，因為它是對素數個數π(x)的一個更好的估計，修正后的素數定理可以表示為：

下圖展示了，2個對于素數個數估計的近似結果，可以看出Li(x)更接近于實際值。