初中數學“定角對動弦”類的問題你聽說過嗎

在初中數學我們經常會碰到這樣的一類問題，題目當中明明沒有圓，但是解題中卻要用到圓的知識，甚至需要自己去構造圓，來解決問題。我們把這樣的問題，歸納為隱形圓問題。前面的文章我已經總結過四類隱形圓模型，大家可以翻看我之前發表的文章進行學習。

今天我們來學習另外一種，比較少見的隱形圓模型，叫做“定角對動弦”類問題。

相信大家對定弦定角問題已經非常熟悉了，因為在很多題目當中經常會碰到，通過構造圓，我們都能夠非常熟練的解決。但是如果定角所對的那條線是運動的，或者說長度是發生改變的，那么又該如何去解決呢？

首先，我們來看一道例題。

例1：如圖∠BAC=60°，半徑長為1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的圓交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為 ，最小值為 .

【分析】在這道題當中，首先角bac的度數是一定的，由于點p在圓o上運動，所以AP的長，是在不斷發生變化的，因此圓p的半徑在發生變化，從而DE的長度也會發生改變。由于角BAC是圓p的圓周角，它的度數是60度，因此，根據圓周角定理，可以知道角DPE的度數始終是120度。從而弦DE的長，始終等于圓p半徑的根號3倍。所以，當圓p的半徑最大時，DE長也最大，當圓p的半徑最小時，DE長也最小。

【簡答】連接PE、PD，過P作PH⊥DE與H，則EH=DH，∠DPH=60°，

【總結】從這道題當中我們可以學習到，定角所對的弦是運動的時候，仍然可以利用隱形圓去解決。對比我們之前講過的定弦對定角的問題，可以發現，當題目中出現定角對定弦時，隱形圓的半徑是固定的，若定角所對的弦是動弦，那么隱形圓的半徑是變化的，所得到的圓是一個動態圓，但是我們仍然不要害怕，動態問題可以靜態的去分析，利用已知條件和圓的相關知識，找到所求與已知的等量關系去解決這樣的問題。

下面我們來看一下例2。

例2：已知矩形ABCD中，AB=√3，BC=3，動點E、F分別在AC、BC上，且∠ABE=∠BFE，則BF的最小值是 .

【分析】∵∠ABE=∠BFE，∴∠BFE+∠EBF=∠ABE+∠EBF=90°，∴∠BEF=90°，

B、E、F三點可看做在以BF為直徑的⊙O上，直徑BF是變化的，屬于定角動弦類隱形圓模型。要使BF最小，只需OE最小，若O是定點，那么當OE⊥AC時，OE最小，則BF也最小，但此題中，隨著E點的運動，F點是運動的，從而O點也是運動的，就不能直接說當OE⊥AC時，OE最小.

【簡答】我們可以這么做：過O點作OH⊥AC于H，則△OHC∽△ABC，

【總結】在這道題當中，我們應該很容易能夠做出這個隱形圓，再利用直角三角形當中斜邊大于直角邊這樣的一個思想，巧妙的，嚴謹的解決這道題。