黎曼猜想（三）：待解之謎

在前兩周，我們分別介紹了黎曼針對質數提出的三大命題（詳見《黎曼猜想（一）：通往質數的征途》）和后世數學家們對這三大命題及黎曼猜想零點的不斷探索（詳見《黎曼猜想（二）：通往智力之巔》），今天我們接著介紹最后一部分。

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計算零點的可能也趨于渺茫，數學家陷入了漫長的痛苦期，以至于他們終于開始懷疑黎曼猜想不過是他直覺的猜測，而并沒有實際的計算證據。

黎曼時代的數學家喜歡發表他們認為已經成熟的學術成果，而對探索中的理論諱莫如深。因此，很多數學家公開發表的成果只是他們做研究的極小一部分，許多價值連城的遠見并沒有對外公布。

這方面，高斯（Gauss）是一個典型。在1898年公布的高斯科學日記里，人們才發現，他的很多思想和成果已經遙遙領先那個時代，但是卻因為沒有發表而讓后世的數學家走了很多彎路。

比如，橢圓函數雙周期性理論的結果直到100年后才被后人重新發現。同時，高斯也最早意識到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數學家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見的手稿在他去世后被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進行科學思考和創作的機會，也讓他卓絕非凡的智慧結晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥幸搶救出了一小部分手稿，并把它贈送給了黎曼生前的好友戴德金。后來，她擔心手稿里可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最后經由戴德金獻給了哥廷根大學圖書館。這也成了黎曼留給后人的珍貴遺產。

很多慕名前去的數學家希望從黎曼的手稿里得到啟發，但是，這些手稿太過艱深晦澀，人們止步于此，無法讀懂黎曼在天馬行空的字里行間所展示出的才能。一代數學大師的遺物，在為將來破譯它的人牢牢地守護著秘密。

1932年，德國數學家西格爾（Siegel）終于在歷經兩年的苦苦鉆研后，從黎曼的手稿里找到了關鍵的證據。正是這一證據表明，黎曼對他提出的三個命題有過極其深刻的思考和計算。

西格爾在手稿里發現了黎曼當年隨手寫下的公式，這個公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因為讓黎曼的公式重現天日而最終獲得了菲爾茲獎。

有些數學家甚至認為：如果不是西格爾發現了這個公式，時至今日，它會像埋入沙漠深處的寶藏，再難被后人重新發現。西格爾寫下這個公式的那天，距離黎曼在手稿里留下這份遺產已經過去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發揮了其巨大的威力，基于這一公式，人們可以很輕松地繼續推進零點的計算。

哈代（Hardy）的學生利用西格爾公式把非平凡零點的個數計算到了1041個，人工智能之父圖靈推進到了1104個。此后的幾十年，在計算機的輔助下，人們繼續了零點計算的接力賽。

1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。20年后，計算機已經能夠算出Zeta函數前15億個非平凡零點，這些零點無一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達到了8500億。最新的成果是法國團隊用改進的算法，將黎曼Zeta函數的零點計算出了前10萬億個，仍然沒有發現反例。

十萬億個飽含著激情和努力的證據再次堅定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數畢竟有無窮多個零點，十萬億和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來在哪里，人們一片茫然，不得而知。與此同時，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來了佳音。

英國數學家哈代首先證明Zeta函數的零點有無窮多個都位于實部是0.5的直線上。這是一個無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點的個數是否有限，而哈代的結果則是直接告訴人們，零點的個數不僅是無窮的，而且還有無窮多個零點都位于這條臨界線上。但是遺憾的是，人們并不知道臨界線外是否存在非平凡零點。

隨后，挪威數學家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點個數占全部非平凡零點個數的比例大于零，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分布中舉足輕重。

進一步，美國數學家萊文森（Levinson）引入了獨特的方法，證明臨界線的零點占全部零點的比例達到了34.74%。

基于萊文森的技巧，美國數學家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進到了40%，這也是迄今為止得到的最好結果。

在理論和計算的突破猛進下，人們開始關注零點在臨界線上的分布規律。

數學家蒙哥馬利（Montgomery）發現零點分布的規律竟然和孿生質數對在數軸上的分布規律類似。受此啟發，他寫下了一個關聯函數來描述這種規律。令人驚奇的是，該函數描述的理論結果和實際計算結果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺得這背后隱藏著巨大的秘密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問，他在1972年訪問了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學家戴森（Dyson）。由于彼此研究領域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問問蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點驚掉了戴森的下巴。原來，讓蒙哥馬利云里霧里的關聯函數正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機厄密矩陣本征值的對關聯函數。這是一個描述多粒子系統在相互作用下，能級分布規律的函數。

一邊是純數學的黎曼猜想，它關乎的僅僅是一個Zeta函數非零點分布這樣最純碎的數學性質，揭示的是質數在自然數序列里優雅的舞姿和節奏。另一邊，卻是最現實的物理世界，它連接著量子體系、無序介質和神經網絡等等經典的混沌系統。

理論和現實在這里交匯，在封閉的世界里獨自發展了兩千多年后，作為數學最主要的分支——數論終于將觸角探及真實的時空。時至今日，人們對此呈現出的種種不可思議的關聯仍然感到匪夷所思。

進入二十一世紀，越來越多的數學理論成果開枝散葉，很多早期被認為無用之用的分支，今日早已經成為現代科技最強有力的工具，為現代科技的發展推波助瀾。

曾經被人們束之高閣而偏安一隅的數學研究正化作人們手中的利器，在探索物質世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來越多的思想動力和創造的源泉。

 微積分的誕生開啟了牛頓機械宇宙觀的宏偉時代。人們驚奇地發現：普天之下，莫非王土，原來物理世界并不神秘，也并無不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運動的規律都臣服在人類制定的法則之下。自此之后，牛頓力學開始大放異彩，基于其原理所發明的蒸汽機和發動機更是直接點燃了第一次工業革命的烈火。

我們今日所享受的信息時代的文明，諸如電腦芯片和萬維網都深深地受益于量子力學的發展。這門徹底改變人們生活的科學，卻源自于很多數學基礎理論的饋贈，從線性代數、矩陣分析、統計學起，到數學家們為了解決五次方程求解問題而發明的群論等等。

基于廣義相對論，人們發明了突破地球引力約束的衛星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測、陸海導航打下了基礎。人們日益頻繁的出行，基于地理位置的GPS導航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛因斯坦流芳千古的廣義相對論，其數學原理正是非歐幾何（特別是黎曼幾何）和張量分析的應用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨秀的弦論，因為其大膽和前衛的想法，深受彼時科學家的青睞。這個有望解決相對論和量子力學的大一統理論，已經逐漸在主流科學界激起千層巨浪。弦論蓬勃發展的道路上，我們不難看到微分幾何堅定的背影。

2016年，三位物理學家分享了最高的榮譽——諾貝爾獎。他們因發現了物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而獲獎。數學上艱深抽象的拓撲理論第一次也找到了用武之地。

物理學家用這個工具在理論上預測了一種特殊材質的存在，在它身上，人們能觀測到匪夷所思的反常量子霍爾效應。基于該效應發現的材料，能夠在常溫下、無需超強磁場的協助就能自發在某個方向上呈現電阻為零的特性。這讓計算機芯片的發展有了無限廣袤的空間，從此量子計算機和微型超級計算機的夢想距離我們又近了一大步。

數學的各大分支都在默默地為前沿科學提供精妙絕倫的應用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國里孤芳自賞。作為數學家們最悠久和最忠實的伙伴，不離不棄，它就是數論。

這個數學中最大的分支已經積累了無數深邃的理論成就，當今科技能受益于數論的成果不過就是隱秘在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當冰山融化時，數論的碩果能惠及每一個后世子孫。破冰的希望，很可能就是處于群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數論研究里萬千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現實世界那讓人千絲萬縷的關聯中，能找到打開果園的鑰匙，讓世界從此彌漫著果實的芬芳。

參考文獻：

《黎曼猜想漫談》，盧昌海，清華大學出版社，2012年出版，ISBN：9-787-302-29324-8。