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九年級數學復課專題《旋轉》教學設計 ——2019年3月26日赴泰州市智堡實驗學校學習 旋轉問題在陜西中考填空題14題、解答題25題中常常出現，很多學生的思維僅停留在表面，遇到此類問題不知如何思考，也不知解決這一問題的方法和技巧. 聽了泰州市智堡實驗學校李光紅老師的專題《旋轉》復課，使我認識到數學復課可以在變式中思考變式中歸納變式中升華.下面讓我們先從學習目標開始欣賞李老師設計藝術： 學習目標： 1、復習鞏固旋轉變換的性質，初步學會運用旋轉變換解決相關問題。 2、經歷運用變換思想解決相關問題的過程，積累解題活動的經驗. 3、勤于思考、善于交流，用聯系的觀點自覺概括提煉解題方法和策略. 首先，李老師設計了一個基礎作圖，目的就是復習鞏固旋轉變換的基本性質.題目如下： 問題1： 將圖中的ΔAEC繞著點A按順時針方向旋轉90°，得到ΔAE'C' .在操作實踐的基礎上，請結合圖形，說說你能得出哪些結論？ 其次，李老師在問題1之上，又提出連接EE'之后，你又能得到什么結論？思維更盡一步. （1）如圖1-1所示，連接EE' ，你又能得出哪些結論？ 簡析：利用旋轉性質“邊”“角”的關系，讓學生自然判斷ΔAEE'是等腰直角三角形. （1）繼續追問：如果連接EE' 、CC' .那么ΔAEE'與ΔACC'有怎樣關系？(編者自加上的，原設計沒有，加的主要目的是為了給自己學生教學所用) 簡析：ΔAEE'∽ΔACC' 理由：由旋轉性質知：AC=AC',AE=AE',∠CAC'=∠EAE' 所以:AE'/AC'=AE/AC.所以ΔAEE'∽ΔACC'. 這樣的設計體現了變換中的“旋轉型相似”，有深度也有廣度，學生可以順著這樣的思維繼續下去...... 有了問題1的鋪墊李老師拋出問題2讓學生思考：如何通過旋轉變換來解決這一問題.學生展開討論：有兩種聲音： 問題2 如圖2所示，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點D、E在BC上，∠DAE=45°，BD=1,CE=3,求DE的長. 簡析：由于AB=AC且共頂點A，故有兩種旋轉方式， 這里對第一種聲音詳細說明: 第一步：旋轉作圖：將ΔABD繞A點逆時針方向旋轉90°得到ΔACD'. 第二步：說理：則∠B=∠ACD'=45°, ∠ECD'+∠ACD'=45°+45°=90°. 易證：ΔADE≌ΔAD'E,得到DE=D'E. 第三步：計算：連接ED',在在RtΔECD'中，ED'=根號10，則DE=根號10. 第二種聲音是：將ΔACE繞A點順時針方向旋轉90°得到ΔABE'.也可完成. 通過合作探究歸納學習方法： “共頂點，等線段，用旋轉”九字方針. 另附其他思想方法： （1）軸對稱思想，如圖2-2所示. （2）半角模型可直接“秒殺”此題. 變式思考：（編者加：添加“半角模型”學生課后完成） 變式1：如圖2-4所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD，BE=1、DF=3、求EF的長. 變式2：如圖2-4所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD，BE、DF、EF三條線段之間的數量關系是否仍然成立，請證明. 變換方式，順手拋出問題3，小組合作，繼續探討： 問題3：如圖3所示，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點D在ΔABC的內部，AD=1,BD=根號3,CD=根號5,求∠BDA的度數. 為了能讓學生真正熟練掌握“共頂點，等線段，用旋轉”九字方針.李老師直接將問題3中的等腰直角三角形改為等邊三角形，在問題3的基礎上自己編一道運用旋轉變換的類似題目，學生們都“動”了起來，課堂更加“活”了，經過大約5分鐘時間，很多學生畫出了圖形，列舉出了很多，這里我舉例如下： 自主編題： 將問題3中的等腰直角三角形改為等邊三角形，編寫一道運用旋轉變換方法能夠解決的與問題3類似的問題： 緊接著，李老師改變題目，給出問題4，沒有直接給出圖形是等腰，而是隱含等腰三角形，讓學生自己去挖掘. 問題4 如圖在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 . 簡析：此題隱含等腰直角三角形，“共頂點，等線段”兩種思路： （1）將ΔABD繞A點順時針旋轉90°得到ΔACD' （2）將ΔACD繞點A逆時針旋轉90°得到ΔAD'B 隨著學生解決此類題能力的提高，問題5自然而然出來了：等腰、動點、最值.既有一般旋轉的方法，又有捆綁變換，視野開闊，情趣交融；受益匪淺.同時也給我們以后的教學指明了方向. 問題5：如圖，BD為⊙O的直徑，BD=2，點A為半圓上一點，以點A為直角頂點、以AB為腰作等腰直角三角形ABC，則線段OC長度的最大值是 . 思路一：“共頂點，等線段”如圖所示，將ΔACO繞點A順時針旋轉90°得到ΔABO'.連接OO',易知：OO'=根號2，OB=1.在ΔBOO'中，OC=BO'≤OO'+OB.即：OC≤根號2 +1 思路二：(瓜豆原理)下面詳細說明：此題中點C的運動路徑可以看成是由點A的運動路徑以點B為旋轉中心順時針旋轉45°再通過位似變換放大根號2倍得到的.故點C的運動軌跡也是圓.此時可根據點圓的距離確定OC的最大或最小值. 首先，我們確定圓心，點A在⊙O上運動，則將O點繞點B順時針旋轉45°得到O'，即點C在⊙O'上運動.其次確定⊙O'的半徑.⊙O的半徑為1，通過位似放大后⊙O'的半徑為.故，OC≤OO'+CO'=1+根號2(當C、O'、O在同一直線上時取等號)此題，體現了圖形變換“捆綁”思想.也是網絡上所說的“瓜豆原理”. 到此，這節課完美結束.留給學生是數學思維的提升、變換思想的升華. 附陜西近端模考旋轉試題： （2019年西安交大附中中考二模14題） 1、如圖6所示，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于點E，若AE=17,BC=8,CD=6,則四邊形ABCD的面積為 . （2019年陜師大附中中考三模25題） 2、如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠B=60°,∠D=30°,AB=BC. （1）求∠A+∠C的大小 . （2）如圖7所示，連接BD，探究AD、BD、CD三者之間的等量關系，并說明理由. （3）如圖7-1所示，若AB=1,求四邊形ABCD面積的最大值. （2019年西安鐵一中中考一模14題） 3、如圖8所示，已知AC=2根號2,以AC為弦的⊙O上有B、D兩點，且∠BAC=∠DAC，則四邊形ABCD面積的最大值是 .
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