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宇宙的形狀是什么？ 這個問題曾經(jīng)困擾了很多科學(xué)家，畢竟，對于宇宙是否有邊界，沒有任何一個科學(xué)家可以給你答案。 我曾看過一部有趣的電影，銀河系其實是一個外星人手里的彈珠，所以宇宙中才會有這么多無法預(yù)測的事情發(fā)生。 作為二十世紀(jì)初的數(shù)學(xué)領(lǐng)袖，龐加萊也對宇宙的形狀陷入了思考。龐加萊被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識的最后一個人。因為，他的研究和貢獻涉及數(shù)學(xué)的各個分支，例如函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、阿貝爾函數(shù)和代數(shù)幾何學(xué)、數(shù)論、代數(shù)學(xué)、微分方程、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、非歐幾何、漸近級數(shù)、概率論等，當(dāng)代數(shù)學(xué)不少研究課題都溯源于他的工作． 而且他在天體力學(xué)的研究上被譽為是牛頓之后的一座里程碑，同時也是相對論的先驅(qū)之一。可以說是一位天才級的人物，同時在哲學(xué)領(lǐng)域也有建樹。 龐加萊對于數(shù)學(xué)達到了癡迷的程度，有次他寫信給母親，告訴母親自己感冒癥狀的變化，他居然用了一個數(shù)學(xué)圖表來表示感冒癥狀的變化，也不考慮他母親看不看得懂。龐加萊每天只花4個小時做數(shù)學(xué)題,因為他相信他的潛意識會幫助他完成剩下的數(shù)學(xué)研究。簡單來說，別人睡覺是真的在睡覺，他睡覺那是在開拓數(shù)學(xué)新領(lǐng)域～ 龐加萊寫給母親的信 龐加萊在 1904 年的時間發(fā)表了一篇論文，他在論文中提出：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 因為龐加萊知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，單連通是拓?fù)鋵W(xué)的概念，拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。在拓?fù)鋵W(xué)里，重要的拓?fù)湫再|(zhì)包括連通性與緊致性。比如我們熟知的蝴蝶效應(yīng)就屬于拓?fù)鋵W(xué)。 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，如果X中任何一個點的回路都可以連續(xù)地收縮成這個點，那么就稱X為單連通的，平面、球面都是單連通的，但是環(huán)面不是單連通。如果不能理解，那么你們可以簡單地認(rèn)為，就是不能要有洞，煎餅是單連通的，但是甜甜圈就不是。 在球面任何一個點的回路都可以連續(xù)地收縮成這個點 無論怎么樣， 我們也不能讓這個橡膠圈縮到一點去，因為有環(huán)壁 這和我們普通的觀念并不一樣，在拓?fù)鋵W(xué)的世界里，球體、圓錐體、圓柱體最終都被視為同一形狀的物體。 手鐲和茶杯這兩個物體也被視為具有同樣的形狀的物體。拓?fù)鋵W(xué)是從一個物體身上的孔的數(shù)量，來判斷其形狀的。所以也被稱為“柔性數(shù)學(xué)“，被譽為從質(zhì)疑物體的”量“到關(guān)注物體的“質(zhì)”的一場革命。 所以，龐加萊就猜想，如果地球不是完美的球形那又如何呢？假設(shè)存在一個貫穿北極和南極的巨大孔洞，地球的形狀就像是一個甜甜圈，那么在這種情況下，環(huán)游世界的船隊一樣可以回到出發(fā)地，所以，通過航行回到出發(fā)地，就認(rèn)為地球是完美的球形，這個論斷不能完全成立。 甜甜圈形狀的地球，繩子會綁在環(huán)狀上收不回來 這也同樣可以推廣到宇宙，如果一個人帶著一根足夠長的繩子,一端固定在喜馬拉雅山上,他從地球出發(fā)進行環(huán)繞宇宙一圈的旅行，假設(shè)這個人平安無事地返回地球，這時他是不是可以拽著繩子的兩頭將繩子收回，如果收回了說明宇宙是球形的，如果收不回說明宇宙是球形以外的其他形狀。 貝納胡博士將繩子環(huán)繞在投影于墻面上的宇宙圖片上 所以龐加萊就在論文里提出在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那么這個空間一定是一個三維的圓球。也就是前面說的：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 這句話要仔細拆解一下，單連通就是指所有閉曲線收縮到一點，封閉的也就是指閉合的環(huán)，同胚就是等同， 任何一個沒有洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r于三維的球面。 到了 1905 年的時候，龐加萊又把這個猜想修改為：“任何與 n 維球面同倫的 n 維封閉流形必定同胚于 n 維球面。”這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。 四維龐加萊猜想 龐加萊曾經(jīng)試圖自己去證明這個猜想，可以他一直以來身體并不是很好，從 1908 年開始就一直疾病纏身，到了 1912 年，就一病不起，在穿衣服時，因血栓梗塞，在巴黎逝世，終年僅58歲。 龐加萊猜想對宇宙形狀的發(fā)問，對于20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)家來說，可能是一個太過超前的問題，所以盡管在二十世紀(jì)的前五十年里，如著名的數(shù)學(xué)家賓、哈肯、莫伊澤和帕帕奇拉克普羅斯雖然都向龐加萊猜想發(fā)起過挑戰(zhàn)，但都是以失敗告終，這也讓龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問題之一。 龐加萊猜想 比如哈肯就打算從發(fā)證法入手，去證明這個猜想是錯誤的，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如果想要證明一個難題是正確的，往往要花費很大的精力，但是如果想要證明一個難題是錯誤的，只需要找到一個反例就可以，卻并沒有成功找到反例。 不過雖然沒有證明龐加萊猜想，但還是有許多其他的成果在證明過程中誕生，比如發(fā)展出低維拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科，這也讓龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問題之一。 到了 1960 年，30 歲的斯梅爾就想，為什么一定要先從三維開始證明，我就不能從高維往下證明嗎？花了整整一年的時間，斯梅爾終于完了五維空間以上的龐加萊猜想證明。
年輕時候的斯梅爾 1961 年的夏天，在烏克蘭基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。斯梅爾由此獲得 1966 年菲爾茨獎。
而斯梅爾信心滿懷地想要去征服三維空間的龐加萊猜想，不過以失敗告終。在 1983 年，美國數(shù)學(xué)家弗里德曼又將證明向前推動了一步，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎。后來，西蒙·唐納森將四維龐加萊應(yīng)用于四位空間結(jié)構(gòu)研究并取得重大成果，也榮獲了菲爾茲獎。
而自此高維龐加萊猜想被徹底證明，只剩下三維空間。這個時候，人們想到，拓?fù)鋵W(xué)的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具， 瑟斯頓就是其中之一。
與此同時， 瑟斯頓通過幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進行切割提出了著名的幾何化猜想，它指的是任取一個緊致(可能帶邊)的三維流形作連通和分解以使其成為盡可能簡單的三維流形的連通和，對于帶邊流形可能還需要沿著一些圓盤繼續(xù)切割，有唯一的方法沿著一些環(huán)面(如果是帶邊流形還要加上平環(huán))割開得到盡可能簡單的若干小塊，這些小塊均為八種標(biāo)準(zhǔn)幾何結(jié)構(gòu)之一。（不論宇宙是什么形狀，都必定可以分解為最多8種各自不同的幾何結(jié)構(gòu)。）
瑟斯頓的幾何化猜想對于龐加萊猜想的證明工作起到了極為關(guān)鍵的作用，瑟斯頓指出龐加萊猜想只是幾何化猜想的一個特例。幾何化猜想是一個有關(guān)三維空間幾何化的更強大、更普遍的猜想,認(rèn)為任何空間都可還原成少數(shù)幾個基本的圖形。 也就是說你如果都能證明幾何化猜想了，自然龐加萊猜想也是對的。瑟斯頓因幾何化猜想而獲得了 1982 年的菲爾茨獎。拓?fù)鋵W(xué)家們努力發(fā)展一系列精致的工具來研究和分析形狀,但一直沒有進展。
后來，漢密爾頓提出了解決幾何化猜想的總體策略：通過應(yīng)用一族被稱為“里奇流”發(fā)展方程的性質(zhì)及其行為，數(shù)學(xué)家可以在三維流形上構(gòu)造所需要的拓?fù)涫中g(shù)，從而使不規(guī)則的流形獲得平滑和對稱的形狀。可是，漢密爾頓發(fā)現(xiàn)在對流形實施里奇流手術(shù)的過程中，總會出現(xiàn)一些無法控制其走向的奇點。因此，如何發(fā)展出一套合適的系統(tǒng)來處理奇點問題，就成為整個過程中最為關(guān)鍵和困難的一步。
曲率流使得曲率越來越均勻，直至變成常數(shù)，曲面變成球面 終于到了 2003 年， 佩雷爾曼證明了幾何化猜想。佩雷爾曼是數(shù)學(xué)界有名的隱士，他從 4 歲開始就沉迷于數(shù)學(xué)無法自拔，16 歲就獲得了國際奧林匹克競賽金獎，拿到了有史以來的最高分。對于他而言，數(shù)學(xué)就如同呼吸一樣，所以他謝絕了許多頒發(fā)給他的數(shù)學(xué)獎項，沉迷于自己的數(shù)學(xué)世界之中。 1993 年，佩雷爾曼取得了一項重大成就，解決了困擾數(shù)學(xué)界多年的“靈魂猜想”，而證明過程只有簡簡單單的三四頁紙。靈魂猜想的解決使得佩雷爾曼名聲大噪，更為重要的是，憑借日益積累的聲譽，佩雷爾曼得以接觸到一批頂尖的數(shù)學(xué)大師。
在他們的影響下，佩雷爾曼充分吸收了幾何與拓?fù)漕I(lǐng)域最前沿的思想方法，并且進一步凝練了自己的主攻方向，開始將目光瞄向了拓?fù)鋵W(xué)中的頭號難題――龐加萊猜想。 從 1994 年到 2002 年，在這整整8年的時間中，佩雷爾曼幾乎完全消失在主流數(shù)學(xué)界的視線之外。然而，就在人們要將他徹底遺忘時，他卻重出江湖，帶來了更震撼的消息。 2002 年佩雷爾曼在 ArXiv 網(wǎng)站上張貼了一篇論文，是美國康奈爾大學(xué)圖書館辦的一個網(wǎng)站，供數(shù)理科學(xué)家張貼論文預(yù)印本。佩雷爾曼張貼的這篇論文是他證明龐加萊猜想的三篇文章的第一篇。第二篇和第三篇論文在2003年張貼。整個過程如同行云流水。
論文內(nèi)容 第一篇論文發(fā)出去之后，他給十幾位數(shù)學(xué)家發(fā)了郵件，請他們對自己的論證過程給予評價，由此震驚了整個數(shù)學(xué)界，專家們認(rèn)為，這一難題的解決很可能在物理和其他領(lǐng)域上得到“激動人心”的應(yīng)用，有助于科學(xué)家弄清楚宇宙的形狀。 而對于佩雷爾曼的論證過程的審核檢查則整整花了近 3 年的時間，過去龐加萊猜想一直以來大家多局限于適用拓?fù)鋵W(xué)知識來進行證明，而佩雷爾曼卻是利用了微分幾何學(xué)的最新知識，佩雷爾曼綜合了幾何分析和微分方程領(lǐng)域中的大量工具，發(fā)展了一套統(tǒng)一的系統(tǒng)用于對流形進行預(yù)防性手術(shù)，從而可以及時發(fā)現(xiàn)和有效控制奇點。此外，他還從統(tǒng)計物理學(xué)中汲取了靈感，極其巧妙的構(gòu)造了一個熵泛函公式，從而排除了最令數(shù)學(xué)家頭疼的“雪茄”類奇點，使得任何三維流形在里奇流演化操作下趨于均勻，最終獲得正則化的幾何結(jié)構(gòu)。從而解開了龐加萊猜想這個被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)象征的世紀(jì)難題。
一共有 3 組世界頂尖的數(shù)學(xué)家團隊參與了對其證明的驗核工作。其中包括來自我國的著名數(shù)學(xué)家田剛、曹懷東、朱熹平。 然而，審核工作卻進行的異常艱辛，因為已經(jīng)公開的3篇論文在論證結(jié)構(gòu)上跳躍性極強，缺少詳盡的技術(shù)細節(jié)。 為了盡快澄清這些證明，田剛等人邀請佩雷爾曼前往美國舉辦研討會，親自向數(shù)學(xué)界講解他的工作。2003年4月，佩雷爾曼來到了麻省理工學(xué)院并舉行講座。這次講座與以往有所不同，他沒有使用PPT資料，而是拿起粉筆，轉(zhuǎn)身朝向講堂里巨大的黑板，在沒有任何草稿的前提下直接開始了他的講解。
2004年5月，在確信數(shù)學(xué)界已經(jīng)正確理解了他的證明之后，佩雷爾曼又回到了圣彼得堡。而田剛等人又花費了兩年才最終完成了審核檢查工作，因為佩雷爾曼只提供了證明的草稿，且其證明內(nèi)容并不止限于解決龐加萊猜想，在這兩年的時間里田剛等人為了讓論文更易閱讀，逐步填補豐富了佩雷爾曼證明中的細節(jié)部分，終于將龐加萊猜想徹底證明。
田剛 2006年8月在西班牙馬德里召開的國際數(shù)學(xué)大會上，國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會決定將有“數(shù)學(xué)諾貝爾獎”之稱的菲爾茨獎授予佩雷爾曼。然而，面對這巨大的榮譽他卻選擇了拒絕。 因為佩雷爾曼僅僅將論文掛在互聯(lián)網(wǎng)上，讓所有對龐加萊猜想有興趣的人了解自己的工作，始終拒絕向各大數(shù)學(xué)權(quán)威期刊投稿。面對當(dāng)事人拒絕配合的尷尬局面，經(jīng)過一番討論后，克萊研究所決定不受已有規(guī)則的限制，破例將“千禧年大獎”頒發(fā)給佩雷爾曼。但他也拒領(lǐng)“千禧年數(shù)學(xué)大獎”。
佩雷爾曼再次選擇了消失，直到現(xiàn)在，也沒有人知道他的具體行蹤，只知道他是和母親生活在一起。
龐加萊猜想在誕生的短短一百年時間里，就已經(jīng)產(chǎn)生了 5 位菲爾茲獎獲得者，對于數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用，比如流形的性質(zhì)、里奇流的應(yīng)用、葉狀結(jié)構(gòu)理論等。而龐加萊猜想的破解，也讓我們對呀宇宙的形狀有了一個更加深入的了解與認(rèn)識。而佩雷爾曼對于龐加萊猜想證明所留下的新思想、新方法、新工具，也依然在推動著數(shù)學(xué)不斷前進發(fā)展。
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