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1. 黎曼假設(shè)是數(shù)學(xué)中最令人費解的問題之一。1859年，德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann, 1826-1866）在一篇論文中首次提出了這一假設(shè)，其終極目標是想要解開質(zhì)數(shù)之謎。 質(zhì)數(shù)的神秘之處就在于，我們無法從根本上理解它們在數(shù)軸上的分布，因此我們很難預(yù)測每個質(zhì)數(shù)會落在數(shù)軸上的什么位置。這是一個困難重重而又極具意義的問題，克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute）將它列為千禧年大獎的七大難題之一。 黎曼假設(shè)的核心是黎曼ζ函數(shù)。黎曼注意到，質(zhì)數(shù)沿數(shù)軸的分布，與黎曼ζ函數(shù)中函數(shù)值為0點密切相關(guān)。他意識到，如果黎曼ζ函數(shù)滿足一定條件，就能揭示出一些質(zhì)數(shù)的秘密，比如可以得出在一個給定數(shù)值之下存在多少個質(zhì)數(shù)。 ○ 黎曼澤塔函數(shù)有無窮多個函數(shù)值為0的點（位于圖中顏色的回旋處）。黎曼假設(shè)預(yù)測，某些0點會位于一條直線上，在這幅圖中，這條直線是水平方向的，在這條直線上，彩色條紋與紅色相交。| 圖片來源：Empetrisor/Wikimedia Commons 因此他推測，如果對黎曼ζ函數(shù)進行繪圖，會看到函數(shù)中一些特定的（非平凡的）0點，都會落在一條特定的直線上。多數(shù)數(shù)學(xué)家認為，這個猜想應(yīng)該是正確的。但是，由于黎曼ζ函數(shù)中含有無窮多個0，因此這并非一件容易證明的事。 2. 最近，數(shù)學(xué)家Michael Griffin、Ken Ono、Larry Rolen、Don Zagier通過使用一種本已被“拋棄”的陳舊方法，為證明黎曼假設(shè)帶來了新的進展。這種被重新啟用的方法可以追溯到數(shù)學(xué)家約翰·延森（Johan Jensen, 1859-1925）和喬治·波利亞（George Polya, 1887-1985）的工作，他們?yōu)榱四茏C實黎曼假設(shè)而制定了一個標準。利用黎曼ζ函數(shù)，我們可以構(gòu)造一個無限的數(shù)學(xué)函數(shù)族，也就是所謂的Jensen多項式。 Jensen多項式或許能成為解開黎曼假設(shè)的關(guān)鍵，它們是種復(fù)函數(shù)。但是，如果誰可以證明讓Jensen多項式為0的值都是實數(shù)的話，那么就自動證明了黎曼假設(shè)為真。但問題在于，Jensen多項式有無窮多個。在過去的90多年里，這一研究方向進展緩慢，只有一小部分Jensen多項式被證明是具有實根的。這使得數(shù)學(xué)家們在眾多攻克黎曼假設(shè)的策略中，漸漸地淘汰掉了Jensen多項式，認為它是一種太慢、太笨的辦法。 然而，這次新的突破就是在研究Jensen多項式的表達式時所獲得的。幾位數(shù)學(xué)家證明，許多Jensen多項式的確是有實根的，這滿足了證明黎曼假設(shè)所需的大部分條件。他們將這一成果發(fā)表在了5月21日的《美國國家科學(xué)院院刊》（PNAS）上。 在新的論文中，數(shù)學(xué)家們設(shè)計了一個概念性的框架，他們將多項式進行分組，這種方法使他們能夠為每組中全部而又是有限多個的多項式進行證明。這種方法具有令人震驚的普適性，它可以被用于看似毫無關(guān)聯(lián)的問題之上。同時，這一結(jié)論的證明過程也非常精簡，很容易理解。 3. 這一想法的靈感源自于兩年前，當時為了慶祝Zagier的生日，Ono為他準備了一個“玩具問題”作為禮物。Zagier將這個禮物描述為“一個關(guān)于涉及到歐拉配分函數(shù)的多項式的漸近性的可愛問題，是我和Ken（Ono）的一個心頭愛，也是幾乎所有經(jīng)典數(shù)論學(xué)家的心頭愛。” ○ Ken Ono（左）和Don Zagier（右）| 圖片來源：Emory University 后來Ono回憶說，他原本認為這個問題很難解決，所以根本不期待Zagier能在這個問題上作出什么進展。但沒想到Zagier認為這是一個非常有趣的挑戰(zhàn)，很快就想出了一個解決方案。而Ono的直覺讓他敏銳的察覺到，這個解決方案可以變成一個更普遍的理論。于是，最終便有了這篇新的論文。 Griffin表示，他們的新的工作是一個有趣的項目，一個非常有創(chuàng)意的過程：“研究階段的數(shù)學(xué)往往更像是一門藝術(shù)，而非計算。這一點在我們這里是肯定的。它要求我們以一種全新的方式去看待延森和波利亞近100年之久的想法?！?/span> 許多數(shù)學(xué)家為此興奮不已，圣保羅州立大學(xué)的數(shù)學(xué)家Dimitar Dimitrov說：“任何與黎曼假設(shè)相關(guān)的進展都是令人著迷的。而這是一個任何人都無法取得任何一絲進展的方向，他們卻做到了。” 不過，也有一些數(shù)學(xué)家們對于這一證明能帶來的前景持謹慎而保守的態(tài)度，他們不確定這一進展最終能帶領(lǐng)我們走向黎曼猜想的終點，因此也不敢貿(mào)然就此作出任何預(yù)測。過去，黎曼假設(shè)也曾取得過許多進展，但每一項進展都有其不足之處。而且從近幾十年來一些其他的重大數(shù)學(xué)問題（比如費馬大定理）得到解決的經(jīng)驗來看，在這些問題得到真正的解決之前，我們似乎是無法判斷解決方案是否近在咫尺了。 4. 從一定程度上看，新的結(jié)果似乎進一步支持了數(shù)學(xué)家們對黎曼假設(shè)的普遍認識，即黎曼假設(shè)是正確的，它為黎曼假設(shè)的正確性提供了新的證據(jù)。如果最終我們可以證明黎曼假設(shè)是完全正確的，那么它將不僅僅揭開了質(zhì)數(shù)的謎題，而且還能即刻證實許多以黎曼假設(shè)正確為前提的數(shù)學(xué)思想。 因此，對于新的結(jié)果，我們很難不寄予一絲希望，因為哪怕只是離證明黎曼假設(shè)前進了一小步，它也讓我們離那些非凡的數(shù)學(xué)奧秘的真實面貌更進了一點點。不過我們必須要強調(diào)的是，黎曼猜想或許是世界上最困難的問題了，因此即便這次數(shù)學(xué)家們?nèi)〉昧艘恍┻M展，也并不意味著它能帶來最終的解決方案。畢竟，我們離擁有一個能完整地證明黎曼猜想的證據(jù)還非常遙遠。 參考鏈接： [1] https://www./article/mathematicians-progress-riemann-hypothesis-proof?tgt=nr [2] https://www./content/pnas/early/2019/05/20/1902572116.full.pdf [3] https://plus./content/cute-problem-goes-big [4] https://esciencecommons./2019/05/mathematicians-revive-abandoned.html
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