黎曼猜想又有了新的進展

關(guān)于黎曼猜想的證明，研究人員又有了新的進展。黎曼在160年前首次提出關(guān)于素數(shù)分布規(guī)律的猜想，它是數(shù)學領(lǐng)域里最困難的問題之一。

數(shù)學家剛剛解決了一組和Jensen多項式相關(guān)的問題，具體論文刊登在5月21日的《美國國家科學院院刊》上。但是它們離猜想本身還有一段距離，甚至從最新的進展中，也看不到完全證明的線索。

黎曼猜想的核心是某個神秘的數(shù)學對象，被稱之為黎曼ζ函數(shù)。它與素數(shù)密切相關(guān)。黎曼猜測，在復平面上黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點都位于一條直線上。這個難題是如此重要和困難，以至于克萊數(shù)學研究所為最終的證明懸賞百萬美元。

Jensen多項式或許是一把鑰匙。數(shù)學家先前證明，如果與黎曼zeta函數(shù)相關(guān)的所有Jensen多項式都只有實數(shù)根，則黎曼猜想為真。

通過Jensen多項式“旁敲側(cè)擊”黎曼猜想已經(jīng)成了一種經(jīng)典策略。這種思想已有90多年的歷史，且之前證明，一小部分Jensen多項式確實只有實根。但這一方向進展緩慢，證明工作長期停滯不前。

現(xiàn)在，數(shù)學家Ken Ono和同事證明，這些多項式中有許多確實具有實根，滿足證明黎曼猜想所需要的大部分條件。

“任何與黎曼猜想相關(guān)的進展都令人著迷。”圣保羅州立大學的數(shù)學家Dimitar Dimitrov說。Dimitrov一度認為“任何人都不可能在這個方向上取得任何進展，但幸好他們做到了。”

很難說是否能夠沿用著他們的思路最終解決掉百年難題。“我非常不愿意預測，”賓夕法尼亞州立大學的數(shù)學家George Andrews說，他本人并沒有參與這項研究。過去也取得過很多進展，但每一次繼續(xù)向前時都會遇到難以逾越的障礙。然而，參考費馬的最后定理，“說不定什么時候就突然得到了歷史性的突破。”

最新的結(jié)果支持數(shù)學家們的普遍觀念：黎曼是正確的。“我們所獲不菲，提供了新的證據(jù)，暗示黎曼猜想應該為真。”亞特蘭大埃默里大學的Ono說。

如果黎曼猜想最終被證明，那么它不僅會點亮素數(shù)的版圖，而且可以立即證實許多數(shù)學結(jié)論。

除了黎曼猜想之外，新結(jié)果還揭示了所謂分劃函數(shù)的一些細節(jié)，分劃函數(shù)分析了數(shù)字組合的方式。如，整數(shù)4可以通過5種不同的方式表示：3 + 1，2 + 2，2 + 1 + 1，1 + 1 + 1 + 1，或者4。

結(jié)果給出了函數(shù)單調(diào)性的細節(jié)。“它也是長期懸而未決的問題。”Andrews補充說，不過這只是安慰獎，真正的大獎還是黎曼猜想——不得不繼續(xù)等待。

本文譯自 sciencealert，由譯者 majer 基于創(chuàng)作共用協(xié)議(BY-NC)發(fā)布。