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從本篇開始數字信號處理課程的第二板塊內容：數字濾波器。 本文是數字濾波器的概述，包括以下內容： 一 數字濾波器的概念 1. 數字濾波器 濾波器的作用是讓有用信號盡可能無衰減地通過，對無用信號盡可能大的衰減。最早使用濾波器的是20世紀初（1917年）美國和德國的科學家發明的電感和電容組成的LC濾波器，其后，由電阻、電容、電感等原件組成的模擬濾波器廣泛應用于各種信號處理系統中。模擬濾波器的優點在于處理速度快、帶寬大，無需ADC和DAC。但缺點是穩定性和精度較差，可重復性不好，抗干擾能力差。自20世紀60年代起，由于計算機技術、集成工藝技術和材料工業的發展，數字濾波器開始大顯身手。（江志紅深入淺出數字信號處理，P218） 從廣義上講，將輸入序列通過一定運算，變換成輸出序列的離散時間系統（或者稱為數字網絡），都可以稱之為數字濾波器。 從俠義上講，數字濾波器是指輸入輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的離散時間系統。 經典濾波器（選頻濾波器、成形濾波器）是指，輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的濾波器來達到目的。 與之對應的是“現代濾波器”，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等，這些濾波器可以按照隨機信號內部的一些統計分布規律，從頻帶重疊的干擾中有效地提取信號。 本課程僅涉及到經典濾波器。 2. 數字濾波器與信號處理過程 對于大多數應用場合，待處理信號為模擬信號，數字濾波器的前端是模數轉換，后端是數模轉換。下圖為數字濾波器在整個數字信號處理過程中的位置。 數字濾波器不是一個孤立的東西，而是整個信號處理中的一環。后面的學習中，要時刻牢記數字濾波器在整個信號處理過程中的位置和作用。 也就是說，我們還要經常用到模擬角頻率和數字域頻率的關系。下面給出二者的公式。忘記的同學去復習一下，下面的鏈接有詳細講解（這是學習數字信號處理的最基礎的內容）。 復習內容鏈接： 數字信號處理系列（離散信號的頻域分析之二）——數字域頻率與模擬角頻率 3. 數字濾波器的描述方法 我們學習過的離散時間系統的四種描述方法，總結如下： 其中的頻率響應，因為一般情況下為復函數，又分為幅頻特性和相頻特性。另外，如果我們能接收負值的實函數來作為幅度特性的描述，相對應的相位稱為相位函數，以示區分。如下圖。 在《數字信號處理》中，我們更偏愛于用“幅度函數和相位函數”，而不是《信號與系統》中的“幅頻響應和相頻響應”。大家想一下矩形脈沖的DTFT就知道原因了。變換對如下： 幅度函數就是前面的sin/sin項，相位函數就是-(N-1)/2。而幅頻響應是sin/sin的絕對值，那相頻響應呢？表示起來就非常麻煩：當前面的sin/sin為正時，相頻響應是-(N-1)/2；當sin/sin為負時，相頻響應是Π-(N-1)/2。 所以，后面我們一般用“幅度函數”和“相位函數”來表示數字濾波器的頻率特性。 二 數字濾波器的分類 可以從不同的角度，對數字濾波器進行不同的分類。 1. 從幅頻特性的角度 這是大家最熟悉的一種分類方式，根據允許通過的頻帶和濾除的頻帶不同，分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。 似乎沒什么好說的。但是，提醒大家一點，數字濾波器的頻率響應函數，和所有的離散時間傅里葉變換（DTFT）一樣，是以2Π為周期的。所以，以上四種濾波器的幅頻特性圖如下圖： 是不是看上去好像是有多個通帶？大家千萬不要為之迷惑，多個通帶是頻譜函數的周期性造成的假象而已。 在后面的分析中，我們一般只給出[0,Π]范圍內的頻譜圖，就是下面醬紫，順眼多了吧 2. 從相頻特性的角度 根據相位特性是否為線性的，分為： ☆ 非線性相位濾波器 ☆ 線性相位濾波器 如果相位函數是w的線性函數，就稱為線性相位濾波器。關于這一點，后面再說。 3. 從單位沖激響應的角度 根據單位沖激響應 h(n)的長度是否有限長，分為： ☆有限長沖激響應（FIR）濾波器（FiniteImpulse Response Filter） ☆無限長沖激響應（IIR）濾波器（InfiniteImpulse Response Filter） 后面我們學習濾波器的設計、濾波器的結構，都是按照最后一種分類，將數字濾波器分為IIR和FIR，分別去學習。 以上是我們從三種不同的角度，對數字濾波器進行的分類。大家需要注意的是，不管是FIR、還是IIR，都有低通、高通、帶通、帶阻等。FIR，可以做到線性相位；但IIR，一般都是非線性相位的。 三 數字濾波器的技術指標 數字濾波器的技術指標，有多方面的，比如幅頻響應的指標、時間特性指標、相位的線性度指標等。我們這里重點關注幅度響應的指標，并且以低通濾波器為例。 下圖是幅頻響應的容限圖。 四個指標：通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶波紋和阻帶波紋。 注意，通帶截止頻率，實際是指通帶邊沿頻率，與常說的“截止頻率”不同，常說的“截止頻率”如不特別說明，一般指的是“3dB截止頻率”。 通帶截止頻率和阻帶截止頻率之差稱為過渡帶。 圖中，縱軸為幅頻特性而不是上文中所說的幅度函數。因為實際應用中，經常用到的是以dB為單位，也就是將幅頻特性取以10為底的對數，然后乘以20。這樣就得到“通帶波紋”和“阻帶波紋”等價的另外一種描述形式，就是“通帶內最大衰減”和“阻帶內最小衰減”。 所以后面我們經常用這幾個數值：通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶最大衰減、阻帶最小衰減，作為濾波器的技術指標。 四 數字濾波器的實現步驟 可以歸納為以下五個步驟：
其中，step3：計算濾波器系數，是我們課程的重點。step2和step4，課程中也會涉及到。step5屬于具體實現問題，我們課程不涉及。 在這里，我們來說一說step1。 任何的信號處理問題，包括數字濾波器問題，離不開對具體應用背景的深入了解和分析。不同應用背景，對信號處理算法和具體要求都大不相同。比如，同樣是低通濾波器，在雷達信號中的要求和語音信號處理中的要求就完全不同，即使同樣是語音信號處理，電話中的要求和高保真音響系統中的要求也差別甚大。 語音信號處理，更多的考慮濾波器的頻域性能指標；而要處理淹沒在噪聲中的方波信號，就需要更多地考慮濾波器的階躍響應特性。 在實際中，還需要考慮數字信號處理系統和其他系統的接口、數據率、實現方式（軟件還是硬件）、成本等等。對應用背景分析越詳細具體，對濾波器的要求越明確，設計出來的濾波器就越能滿足應用要求。 下面我們給出一個實例，來看如何確定濾波器的技術指標（也就是我們前面所說的4個值：截止截止頻率、阻帶截止頻率、通帶最大衰減、阻帶最小衰減）。
原始音樂信號和加干擾后信號的頻譜分別如下圖所示。
下面我們來分析確定濾波器的技術指標。 首先確定通帶和阻帶的邊界頻率。 因為干擾信號的頻譜，位于2210Hz以上的頻段，所以我們采用低通濾波器，確保2210Hz位于濾波器的阻帶范圍內。我們可以將阻帶截止頻率設置為2205Hz。 如果將過渡帶確定為400Hz左右，我們不妨將通帶截止頻率設置為1800Hz，當然，過渡帶越窄，濾波性能越好，但同時對系統性能的要求也越高，成本也越高。需要折衷考慮。 這兩個數值確定下來之后，我們需要用到模擬頻率到數字域頻率的轉換公式：2Πf/fs，才能轉換為數字濾波器的通帶和阻帶截止頻率。 然后，估計通帶最大衰減和阻帶最小衰減。考慮到人耳的敏感程度，我們可以將通帶最大衰減定為1dB，阻帶最小衰減定為60dB。 最終暫定的技術指標如下圖所示。
在后面的學習中，我們就以這個濾波器為例，來看如何設計濾波器。 五 FIR濾波器與IIR濾波器的特點 前面說了，根據單位沖激響應h(n)的長度是有限長還是無限長，我們將數字濾波器分為FIR（有限長沖激響應）濾波器和IIR（無限長沖激響應）濾波器。 下面我們來歸納一下它們各自的特點。 1. FIR濾波器 特點1：系統的單位沖激響應h(n) 有限長。
我們觀察FIR濾波器的差分方程，可以發現：該濾波器的功能，是把當前時刻和以前的N個點的輸入值加權平均求得當前時刻的輸出y(n)，這些加權值就是濾波器的系數。所以FIR濾波器稱為滑動平均（MA-MovingAverage）濾波器。 對于FIR濾波器，我們把z的負冪的最高階數字稱為階數，例如H(z)=1+0.5z^-1+0.3z^-2+3z^-3，則稱為3階FIR濾波器。 一般來說，h(n)長度為N的FIR濾波器，其對應的自變量n的取值范圍是0≤n≤N-1，也就是說，h(n)的第一個非零點是從n=0開始，所以，N點長的FIR濾波器，階數為N-1。 特點2：只有z=0的極點，沒有原點之外的極點。 這個特點，觀察系統函數H(z)很容易得出。 特點3：流圖中可以沒有反饋支路，稱為非遞歸結構。 這個特點，我們在講濾波器實現的時候還會再分析。注意，我說的是“可以沒有”，而不是“一定沒有”。原因后面會揭曉。 特點4：一定是穩定系統。 這個特點，也很容易得出。因為h(n)有限長，所以一定滿足絕對可和，所以一定穩定。或者說，只有位于原點處的極點，所以極點一定在單位圓內，所以一定穩定。 2. IIR濾波器 特點1：系統的單位沖激響應h(n) 無限長。
觀察IIR的差分方程和系統函數，與FIR截然不同。 一般來說，M<N，也就是說，系統函數H(z)為真分式。IIR濾波器的階數，是指分母多項式z的負冪的最大數字，例如上圖中，為N階。 特點2：有 z 平面原點之外的極點。 特點3：流圖中有反饋支路（回路），稱為遞歸結構。 特點4：不一定是穩定系統。 可見，IIR與FIR在這四個方面，是截然不同的。 最后給一個題目，大家先思考一下，答案下期揭曉。
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