高中數(shù)學(xué)：定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用

一、定比分點(diǎn)

若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)、的定比分點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，稱為內(nèi)分點(diǎn)；

當(dāng)（）時(shí)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，稱為外分點(diǎn)．

定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

二、點(diǎn)差法

若點(diǎn)在有心二次曲線上，則有兩式作差得此即有心二次曲線的垂徑定理，可以解決與弦的中點(diǎn)相關(guān)的問題．

下面介紹定比點(diǎn)差法：

若點(diǎn)在有心二次曲線上，則有兩式作差得這樣就得到了

例1、過異于原點(diǎn)的點(diǎn)引橢圓的割線，其中點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是割線上異于的一點(diǎn)，且滿足．求證：點(diǎn)在直線上．

證明：直接運(yùn)用定比點(diǎn)差法即可．

設(shè)，則有，設(shè)，則有又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以有兩式作差得兩邊同除以，即可得到命題得證．

例2、已知橢圓，過定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（可以重合），求的取值范圍．

解析：設(shè)，，則．

于是，于是又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以有兩式相減得將(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得從而解得的取值范圍為，于是的取值范圍為．

例3、設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，直線分別交橢圓于異于的點(diǎn)、，若，，求證：．

證明：設(shè)，，，則于是有又由點(diǎn)在橢圓上得到兩式相減得從而有結(jié)合(4)式可解得同理可得結(jié)合(5)式得到于是有整理得，命題得證．

例4、已知橢圓，點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的割線，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．求證：直線恒過定點(diǎn)．

解析：因?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2019/06/1300/163483030_70_20190613122833518' data-ratio='0.3076923076923077' data-w='104' _width='-30px' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>三點(diǎn)共線，三點(diǎn)也共線，且三點(diǎn)都在橢圓上，我們用定比點(diǎn)差法去解決這個(gè)問題．

設(shè)，，則，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，，，則于是有由點(diǎn)在橢圓上得兩式相減得將(2)代入(3)得