數(shù)海拾貝

編者按　本文作者意琦行，則meiyun編輯整理．

介紹定比點(diǎn)差法之前，先介紹一些解析幾何中的基礎(chǔ)知識：

一、定比分點(diǎn)

若→AM=λ→MB，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)A、B的λ定比分點(diǎn)．

當(dāng)λ>0時(shí)，點(diǎn)M在線段AB上，稱為內(nèi)分點(diǎn)；

當(dāng)λ0（λ≠?1）時(shí)，點(diǎn)M在線段AB的延長線上，稱為外分點(diǎn)．

定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，→AM=λ→MB，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ).

二、點(diǎn)差法

若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在有心二次曲線x2a2±y2b2=1上，則有x21a2±y21b2=1,x22a2±y22b2=1,兩式作差得(x1+x2)(x1?x2)a2±(y1+y2)(y1?y2)b2=0.此即有心二次曲線的垂徑定理，可以解決與弦的中點(diǎn)相關(guān)的問題．

下面介紹定比點(diǎn)差法：

若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在有心二次曲線x2a2±y2b2=1上，則有x21a2±y21b2=1,λ2x22a2±λ2y22b2=λ2,兩式作差得(x1+λx2)(x1?λx2)a2±(y1+λy2)(y1?λy2)b2=1?λ2.這樣就得到了1a2?x1+λx21+λ?x1?λx21?λ±1b2?y1+λy21+λ?y1?λy21?λ=1.

例1　過異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x0,y0)引橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的割線PAB，其中點(diǎn)A,B在橢圓上，點(diǎn)M是割線PAB上異于P的一點(diǎn)，且滿足AMMB=APPB．求證：點(diǎn)M在直線x0xa2+y0yb2=1上．

證明　直接運(yùn)用定比點(diǎn)差法即可．

設(shè)→AP=λ→PB，則有→AM=?λ→MB，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)，則有x0=x1+λx21+λ,y0=y1+λy21+λ.xM=x1?λx21?λ,yM=y1?λy21?λ.又因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上，所以有x21a2+y21b2=1,λ2x22a2+λ2y22b2=λ2,兩式作差得(x1+λx2)(x1?λx2)a2+(y1+λy2)(y1?λy2)b2=1?λ2.兩邊同除以1?λ2，即可得到x0xMa2+y0yMb2=1.命題得證．

練習(xí)1　（2008高考數(shù)學(xué)安徽卷理科）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)M(√2,1)，且焦點(diǎn)為F1(?√2,0)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，證明：點(diǎn)Q總在某定直線上．

答案　（1）x24+y22=1；（2）點(diǎn)Q在直線2x+y?2=0上．

例2　已知橢圓x29+y24=1，過定點(diǎn)P(0,3)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A,B（A,B可以重合），求PAPB的取值范圍．

解　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，→AP=λ→PB，則PAPB=?λ．

于是P(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)=(0,3)，于是x1+λx2=0,y1+λy2=3(1+λ).又因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上，所以有x219+y214=1,λ2x229+λ2y224=λ2,兩式相減得(x1+λx2)(x1?λx2)9+(y1+λy2)(y1?λy2)4=1?λ2.將(1)代入(2)中得到y1?λy2=43(1?λ).由(1)(3)解得y1=3(1+λ)+43(1?λ)2=136+56λ∈[?2,2].從而解得λ的取值范圍為[?5,?15]，于是PAPB的取值范圍為[15,5]． 

練習(xí)2　設(shè)D(0,16)，M,N是橢圓x225+y216=1上的兩個(gè)動點(diǎn)（可以重合），且→DM=λ→DN，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

答案　[35,53]．

例3　設(shè)F1(?c,0)、F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線PF1,PF2分別交橢圓于異于P的點(diǎn)A、B，若→PF1=λ→F1A，→PF2=μ→F2B，求證：λ+μ=2?a2+c2a2?c2．

證明　設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則F1(x0+λx11+λ,y0+λy11+λ),F2(x0+μx21+μ,y0+μy21+μ).于是有x0+λx1=?(1+λ)c,y0+λy1=0;x0+μx2=(1+μ)c,y0+μy2=0.又由點(diǎn)P,A在橢圓上得到x20a2+y20b2=1,λ2x21a2+λ2y21b2=λ2,兩式相減得(x0+λx1)(x0?λx1)a2+(y0+λy1)(y0?λy1)b2=1?λ2.從而有x0?λx1=a2c(λ?1).結(jié)合(4)式可解得2x0=a2c(λ?1)?c(1+λ).同理可得x0?μx2=a2c(1?μ).結(jié)合(5)式得到2x0=a2c(1?μ)+c(1+μ).于是有a2c(λ?1)?c(1+λ)=a2c(1?μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2?a2+c2a2?c2，命題得證．

練習(xí)3　已知過橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，且有→FA=3→BF，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

答案　A(0,±1)．

定比點(diǎn)差法實(shí)際上是直線的參數(shù)方程的變異形式，只不過將其中的t變作了λ，也就是說只要是共線點(diǎn)列的問題都可以在考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程的同時(shí)考慮定比點(diǎn)差法．定比點(diǎn)差法在處理圓錐曲線上過定點(diǎn)的直線的證明題時(shí)往往可以起到簡化運(yùn)算的作用．但定比點(diǎn)差法無法應(yīng)用于拋物線，并且它采用的參數(shù)λ在解析幾何問題中并不通用，在求解具體的斜率、弦長與面積時(shí)往往會引起運(yùn)算上的麻煩（當(dāng)然，求坐標(biāo)還是很簡便的），所以并不是所有的共線問題都適用用定比點(diǎn)差法解決．