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在平面幾何中有一類求線段和最小值問題，這類問題源自古羅馬時(shí)代“將軍飲馬”問題。 傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫(已知三角形三邊a，b，c，求面積S可用公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]計(jì)算，其中p表示三角形的半周長，即p=(a+b+c)/2．這個(gè)公式就是海倫發(fā)現(xiàn)的)，一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題： 將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？ 從此，這個(gè)問題被稱為“將軍飲馬”問題，在世界各地廣泛流傳． “將軍飲馬”問題，我國唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河 ”與“將軍飲馬”情景何其相似，詩中說的是一位將軍白天騎馬去山上點(diǎn)A處巡查烽火臺(tái)，黃昏時(shí)牽馬到河邊飲水，然后回到與河同岸的營地B宿營。如果詩中再提出這個(gè)將軍該走哪條路線使路程最短，那么這個(gè)就跟“將軍飲馬”問題完全相同了。 這個(gè)問題的解決并不難，據(jù)說當(dāng)時(shí)海倫略加思索就解決了它． 事實(shí)上，這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是這樣一個(gè)求線段河最小值的問題： 如圖1，已知直線l的同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在直線l上求作一個(gè)點(diǎn)P，使PA+PB最小。 把P視為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則問題就變成了確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，使得PA+PB最小。 母庸質(zhì)疑，海倫解決的方法和我們今天解決的方法是一樣滴，利用軸對稱變換將A、B兩點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)變換到直線l的另一側(cè)，比如作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C（這里要明白為什么要作軸對稱？原因很簡單，因?yàn)檫@樣做雖然點(diǎn)A的位置變了，但能保證點(diǎn)P到A的新位置C的距離PC與原來P到A的距離PA不變，即PC=PA），此時(shí)問題變?yōu)橐筆A+PB最小，只需要PC+PB最小即可。 由于不論點(diǎn)P在何位置，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知總有PC+PB≥BC，當(dāng)點(diǎn)P與B、C共線時(shí)，等號(hào)成立，PC+PB最小=BC。因此，連接BC，則BC與直線l的交點(diǎn)就是做求作的點(diǎn)P的位置。 “將軍飲馬”問題實(shí)際上是“兩點(diǎn)一線一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)定之和路最短”模型，求解模式是“定點(diǎn)變換另一邊，兩點(diǎn)連線定動(dòng)點(diǎn)”。 “將軍飲馬”問題傳開后，以“將軍飲馬”為原型的幾何問題可謂是如雨后春筍，層出不窮，各種各樣的變式題、創(chuàng)新題鋪天蓋地，從一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題比比皆是；從兩條線段和的最小值到三條、四條線段和的最小值應(yīng)有盡有。下面分別介紹之。 （一）一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 例1如圖2，△ABC中，∠BAC=30°，D是AB的中點(diǎn)，P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PD最小時(shí)，求∠PBA的度數(shù)。 分析：對照“將軍飲馬”，這里的兩點(diǎn)是B和D，直線是AC，動(dòng)點(diǎn)是P。欲求當(dāng)PB+PD最小時(shí)∠PBA的度數(shù)，先確定點(diǎn)P的位置。 根據(jù)“將軍飲馬”的求解思路方法，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接PE，則PB=PE，所以PB+PD=PE+PD≥DE，所以PB+PD的最小值為DE，此時(shí)點(diǎn)P為DE與AC的交點(diǎn)，所以連接DE交AC于P。 連接AE，則∠EAC=∠BAC=30°，所以∠BAE=60°， 又因?yàn)锳B=AE，所以△ABE是等邊三角形， 因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以ED垂直平分AB， 所以PB=PA，所以∠PBA=∠PAB=30°。 （二）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 例2 如圖3，正△ABC的邊長為4，P、Q分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，求△DPQ周長的最小值。 分析：因?yàn)镻、Q是動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，所以分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、BC的軸對稱點(diǎn)E、F，連接PE、QF，EF。則 PD=PE，QD=QF， 所以△PQD的周長=PD+QD+PQ =PE+QF+PQ≥EF， 所以△DPQ周長最小值為EF的長，此時(shí)，點(diǎn)P為EF與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為EF與BC的交點(diǎn)。 在△DEF中，由已知易得 DE=DF=2√3，∠EDF=120°， 作EF上的高DG，則易得EF=6， 所以△DPQ周長最小值為6. （三）三個(gè)動(dòng)點(diǎn) 例3如圖4，△ABC中，AB=7，AC=4√2，∠BAC=45°，P、Q、R分別是AB、BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長的最小值為______。 分析：將△PQR三邊中的兩邊進(jìn)行變換，使三邊構(gòu)成一條不封閉的折線，以便運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定動(dòng)點(diǎn)的位置。因?yàn)镻R是特殊角∠BAC之間的線段，所以保持PR不變，將RQ和PQ分別進(jìn)行軸對稱變換。 分別作點(diǎn)Q關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)D、E，連接DA、DP、DQ，EA、ER、EQ，DE，AQ。則 PQ=PD，RQ=RE，AD=AQ=AE，∠DAB=∠BAQ，∠EAC=∠CAQ， 所以△PQR的周長=PQ+RQ+PR =PD+RE+PR≥DE， 所以△PQR周長最小值為DE的最小值。 因?yàn)椤螧AC=45°， 所以∠DAE=90°， 所以△ADE是等腰直角三角形， 所以DE=√2AD=√2AQ， 所以當(dāng)AQ最小時(shí)，DE最小。 因?yàn)镼是BC上的動(dòng)點(diǎn)， 所以當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AQ最短。 作CG⊥AB于G。則 AG=CG=AC·sin∠BAC =4√2·sin45°=4， 所以BG=7-4=3，△ABC的面積為1/2·7·4=14， 所以BC=5， 所以1/2·5·AQ=14， 所以AQ最小值為28/5， 所以DE最小值為√2·28/5=28√2/5. 所以△PQR周長最小值為28√2/5. （四）四個(gè)動(dòng)點(diǎn) 例4 如圖5，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是AD，CD上動(dòng)點(diǎn)，Q是EF的中點(diǎn)，則AP+PQ+QF的最小值是_______。 分析：首先注意到點(diǎn)Q是EF的中點(diǎn)，而∠EDF=90°，所以QF=QD。 作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接PG，連接DG。則PA=PG，AG=8， 所以AP+PQ+QF=GP+PQ+QD≥GD。 由已知,及勾股定理，易得DG=10， 所以AP+PQ+QF的最小值是10. |
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