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1.問題的歷史背景：“將軍飲馬問題” 傳說早在古羅馬時(shí)代，亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題：如圖，將軍從軍營A出發(fā)先到河邊飲馬，再去同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問題的解決并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它，展現(xiàn)了他的個(gè)人智慧。從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣為流傳。 2.究其本質(zhì)，鞏固模型。 如圖，A、B兩點(diǎn)分別表示兩幢大樓所在的位置，直線n表示輸水總管道，直線b表示輸煤氣總管道。現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設(shè)一個(gè)連接點(diǎn)，安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設(shè)至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短。圖中，點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線b的對稱點(diǎn)，A′B分別交b、a于點(diǎn)C、D；點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)，B′A分別交b、a于點(diǎn)E、F．則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點(diǎn)依次是 A F和C B F和E C D和C D D和E 評析：雖然圖形略有改變，但是究其本質(zhì)，它仍然是我們已建立的基本模型。根據(jù)模型易得：輸水分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)B關(guān)于a的對稱點(diǎn)B′與A的連線的交點(diǎn)F，煤氣分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于b的對稱點(diǎn)A′與B的連線的交點(diǎn)C，故選A。此例關(guān)鍵是抓住模型的本質(zhì)特征，進(jìn)一步鞏固已經(jīng)建立的模型，從而達(dá)到學(xué)以致用的效果。 3.一“模”多變，觸類旁通。 通過以上模型的建立，我們把題目做一些變式。 模型變式------ 兩定點(diǎn)到直線上一動點(diǎn)的線段距離和最短問題 變式①：“模型”在三角形中 如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 評析：此例是求兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一個(gè)動點(diǎn)距離和最短問題。只要抓住模型的本質(zhì)特征，作出圖形，找到點(diǎn)M的位置并不困難。例如：解法（一）圖形，然后利用等邊三角形的特殊性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的知識，再求出這條線段CE’的長度。也可用解法（二）圖形，先利用模型，再根據(jù)“點(diǎn)到直線的距離最短”并結(jié)合勾股定理來考慮解題方案。由此看來，有了“模型”真是妙不可言，它能很好的幫助我們掃除思維的障礙，為進(jìn)一步順利的解題提供了保障。 變式②：“模型”在四邊形中 如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，則PE+PB的最小值為_________。 評析：此題符合模型“兩定點(diǎn)，一動點(diǎn)”情形，根據(jù)模型，容易作出圖形并求解。 變式③：“模型”在四邊形中 如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為________。 評析：題目符合模型,解答時(shí)可直接應(yīng)用模型。 變式④：“模型”在四邊形中 如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。點(diǎn)P是AB上一個(gè)動點(diǎn),則PC+PD的最小值為_________。 評析：題目符合模型,解答時(shí)可直接應(yīng)用模型。 變式⑤：“模型”在圓形中 如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為 A 2 B C 1 D 2 評析：根據(jù)模型和圓的對稱性,應(yīng)用模型容易得到答案。 變式⑥：“模型”在反比例函數(shù)圖象中 如圖，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1。 （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小。 評析：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵。要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，可以聯(lián)想我們建立的“模型”作出圖形，明白了最小的內(nèi)涵，問題就迎刃而解了。 變式⑦：“模型”在二次函數(shù)圖象中 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），△AOB的面積是。 （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)C的 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 評析：本題第（3）小題△AOC周長等于AC+CO+AO，而A,O是定點(diǎn)，所以AO是一個(gè)定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題．因?yàn)轭}目中有一個(gè)動點(diǎn)C，兩個(gè)定點(diǎn)A，O，所以題目的條件符合模型，直接應(yīng)用模型解決問題。 變式⑧：“模型”在立體圖形中 如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為________cm． 評析：本題考查了圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，模型應(yīng)用，勾股定理等知識。它的巧妙之處在于對稱軸不易被發(fā)現(xiàn)，學(xué)生難以做出圖形，所以無法解答。如圖，圓柱形玻璃杯展開（沿點(diǎn)A豎直剖開）后側(cè)面是一個(gè)長18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對稱點(diǎn)B，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接BM，過點(diǎn)C作AB的垂線交剖開線MA于點(diǎn)D。利用模型和三角形三邊關(guān)系知AP＋PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，再結(jié)合勾股定理求解。 思考：對于“模型”的變式應(yīng)用不難發(fā)現(xiàn)：這個(gè)模型不僅可以在三角形、直角梯形、菱形、正方形、圓中，還可以存在于函數(shù)、立體圖形等問題中。雖然每個(gè)題目的呈現(xiàn)形式不同，但解決問題的本質(zhì)方法不變。其實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)定點(diǎn)和直線上一個(gè)動點(diǎn)，求組成的線段距離和最短問題。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)先幫助學(xué)生建立例2這個(gè)基本模型，待學(xué)生能練掌握模型后，再一“模”多變，舉一反三。 模型拓展------由定點(diǎn)和動點(diǎn)或多個(gè)動點(diǎn)組成的線段距離和最短問題 拓展①：一定點(diǎn)、一動點(diǎn)到直線上一動點(diǎn)組成的線段距離和最短問題 如圖，在銳角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_________。 評析：此例和我們已建立的模型有所不同，不能簡單的只考慮模型。此題中只有一個(gè)定點(diǎn)B，但有兩個(gè)動點(diǎn)M,N。所以在解答時(shí)，我們不僅要考慮應(yīng)用模型，還必須考慮到如何才能使BH（解法圖形中）最短，這時(shí)就需要應(yīng)用“連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”這個(gè)基本事實(shí)并結(jié)合勾股定理（或三角函數(shù)）才能有效的解決問題。 模型拓展②：一定點(diǎn)與兩條直線上兩動點(diǎn)組成的三角形周長和最短問題 如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有點(diǎn)P，PO=10，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q，R（均不同于O點(diǎn)），則△PQR的周長的最小值為_________。 評析：本題中雖然△PQR三條邊都是變化的，但是只要利用好模型，將三條線段放到同一條直線上，問題就得以解決。這一問題的解題依據(jù)與“將軍飲馬問題”類似。
模型拓展③：一定點(diǎn)與兩條直線上兩動點(diǎn)組成的三角形周長和最短問題 （2012年甘肅蘭州）如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N,使△AMN的周長最小,則此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù)是 A.130° B.120° C.110° D.100° 評析：本題與上題類似，題目的背景由角改為四邊形，利用好模型，將三條線段放到同一條直線上，問題就迎刃而解。
模型拓展⑤：利用平移性質(zhì)構(gòu)造模型，解決組成的四邊形周長最短問題 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)。 （1）若E為邊OA上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F坐標(biāo)。 評析：本題的最大亮點(diǎn)是將模型和拓展問題融合在一起，并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中。第（1）小題直接應(yīng)用模型容易求解。第（2）小題難度較大，除需要應(yīng)用模型，還要應(yīng)用線段平移的知識構(gòu)造平行四邊形GEFC，所以有GE=CF，又DC、EF的長為定值，所以此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長最小。
模型拓展④：模型及拓展在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用 恩施大峽谷（A）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為P)，P到A、B的距離之和S1=PA+PB；圖（2）是方案二的示意圖(點(diǎn)A關(guān)于直線X的對稱點(diǎn)是A'，連接BA'交直線X于點(diǎn)P)，P到A、B的距離之和S2=PA+PB。 (1)求S1 、S2 ,并比較它們的大小。 (2)請你說明S2=PA+PB的值為最小。 (3)擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km,請你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小。并求出這個(gè)最小值。 評析：本題把模型和模型的拓展巧妙的融合在一起，其最大的亮點(diǎn)是既要讓學(xué)生會利用模型及拓展應(yīng)用解實(shí)際問題，還要讓學(xué)生說明為什么構(gòu)造的線段距離和最短，揭示了知識的本質(zhì)特征。
模型拓展⑥：三條直線上三個(gè)動點(diǎn)組成的線段距離和最短問題 如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°。點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為 A 1 B C 2 D ＋1 評析：此題P、K、Q三點(diǎn)均為動點(diǎn)，求PK+QK的最小值難度較大，在應(yīng)用模型解題的同時(shí)，還必須考慮應(yīng)用“兩條平行線之間的距離”才能有效解決問題。
思考：對于“模型”的拓展應(yīng)用，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“模型”不能直接幫助我們解決問題時(shí)，通常都要將“模型”和兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離、線段平移、勾股定理等知識結(jié)合起來，思考解題途徑。如果教師在教學(xué)過程中，能夠先幫助學(xué)生建立并熟練掌握例2這個(gè)基本“模型”，然后再加以變式和拓展應(yīng)用，那么學(xué)生在解題過程中將會達(dá)到事半功倍的效果。一個(gè)模型多種變化，不僅能讓教師靜下心來研究教材母題、變式及其拓展應(yīng)用，更能讓學(xué)生能看清知識的本質(zhì)，觸類旁通，從容應(yīng)對題海。 綜上所述，在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要積極滲透數(shù)學(xué)模型思想，講清講透每個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣不僅能幫助學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)知識面，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性和靈活性。讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光思考問題，為創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)提供更廣闊的空間。 |
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