一位高中數(shù)學(xué)教師眼中的“八卦”

今年，《周易》八卦圖走進(jìn)了數(shù)學(xué)全國(guó)高考理科試卷！

在全國(guó)卷I理科卷就有這樣一道分值為5分的選擇題：

我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化和發(fā)展的規(guī)律，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，下圖就是一重卦，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是：

A、5/16；B、11/32；C、21/32；D、11/16。

讀過(guò)《周易》的朋友大概都有一些印象，《周易》中，按陰陽(yáng)爻的比例，可將六十四卦分為七種，即：

0個(gè)陽(yáng)爻（6個(gè)陰爻）；

1個(gè)陽(yáng)爻（5個(gè)陰爻）；

2個(gè)陽(yáng)爻（4個(gè)陰爻）；

3個(gè)陽(yáng)爻（3個(gè)陰爻）；

4個(gè)陽(yáng)爻（2個(gè)陰爻）；

5個(gè)陽(yáng)爻（1個(gè)陰爻）；

6個(gè)陽(yáng)爻（0個(gè)陰爻）。

其數(shù)量分別如下：

0個(gè)陽(yáng)爻的卦有1個(gè)；

1個(gè)陽(yáng)爻的卦有6個(gè)；

2個(gè)陽(yáng)爻的卦有15個(gè)；

3個(gè)陽(yáng)爻的卦有20個(gè)；

4個(gè)陽(yáng)爻的卦有15個(gè)；

5個(gè)陽(yáng)爻的卦有6個(gè)；

6個(gè)陽(yáng)爻的卦有1個(gè)。

而這一題所說(shuō)“恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率”就是“3個(gè)陽(yáng)爻（3個(gè)陰爻）的卦”，其數(shù)量為20個(gè)。而六十四卦總卦數(shù)是64個(gè)，20除以64，結(jié)果就是5/16，答案是A。

這個(gè)卦是地風(fēng)——《升》卦，《升》卦是《易經(jīng)》六十四卦的第四十六卦。淺解：地風(fēng)升（升卦）柔順謙虛，上上卦。象曰：士人來(lái)占必得名，生意買(mǎi)賣(mài)也興隆，匠藝逢之交易好，農(nóng)間莊稼亦收成。這個(gè)卦是異卦相疊（下巽上坤）。坤為地、為順；巽為木、為遜。大地生長(zhǎng)樹(shù)木，逐的成長(zhǎng)，日漸高大成材，喻事業(yè)步步高升，前程遠(yuǎn)大，故名“升”。

從中可以看到出題者對(duì)國(guó)學(xué)的理解之深、對(duì)學(xué)子的美好祝福。

《周易》也叫《易經(jīng)》，是中華文化的核心經(jīng)典，但是，經(jīng)常被人誤解為“封建迷信”的書(shū)籍。記得小時(shí)候看到八卦圖就覺(jué)得它神秘，四周有“鬼”畫(huà)的八個(gè)長(zhǎng)短線(xiàn)符號(hào)，中間有一黑一白兩條魚(yú)，黑色那條有白色的眼睛，白色的那條有黑色的眼睛，后來(lái)聽(tīng)說(shuō)書(shū)的說(shuō)“諸葛亮擺什么八卦陣嚇退陸遜”，道士用它呼風(fēng)喚雨，測(cè)人生死命運(yùn)前程無(wú)不準(zhǔn)確無(wú)誤， 畫(huà)個(gè)八卦符貼到房梁上就能夠驅(qū)鬼辟邪……

后來(lái)讀了相關(guān)的書(shū)籍，了解一些，曉得這個(gè)不能小看了，它很厲害，而且與數(shù)學(xué)還有著莫大的關(guān)系，其中包含著不少的數(shù)學(xué)原理及數(shù)學(xué)知識(shí)的使用，尤其是在數(shù)學(xué)思維方面。

本文試圖按照《周易》本身的定義以及相映（類(lèi)比數(shù)學(xué)的映射概念）關(guān)系，將八卦與各研究對(duì)象在一定的范圍內(nèi)建立一種明確而又清晰的數(shù)學(xué)映象關(guān)系。即嘗試用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法和思維去解讀八卦的相關(guān)問(wèn)題，從而慢慢接近、探索八卦所揭示的自然奧秘。

八卦的由來(lái)

《易傳·系辭下傳》說(shuō)：“古者包羲氏（即伏羲）之王（管理）天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地，觀鳥(niǎo)獸之文，與地之宜，近取諸身，遠(yuǎn)取諸物，於是始作八卦，以通神明之德，以類(lèi)萬(wàn)物之情。”

伏羲觀天察地、類(lèi)物取象而作八卦，后世經(jīng)過(guò)周文王“拘而演《周易》”（周文王姬昌被商紂王拘禁在羑里，將伏羲的先天八卦推演成后天八卦），周公旦做爻辭，孔子“韋編三絕”附十翼才成為我們現(xiàn)在看到的《周易》。

《易傳·系辭上傳》說(shuō):' 是故，易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業(yè)。'孔穎達(dá)說(shuō):'太極謂天地未分之前，元?dú)饣於鵀橐唬词翘酢⑻灰病?古人總結(jié)了自然界萬(wàn)物的規(guī)律,認(rèn)為萬(wàn)物均由無(wú)（混沌、無(wú)極）而生，無(wú)生有（即，一、太極），一生天地（非我們現(xiàn)在意義上的天地，應(yīng)理解為陰陽(yáng)更好些），陰陽(yáng)交感而萬(wàn)物成,形成一生二,二生三,三生萬(wàn)物的哲學(xué)觀、世界觀、美學(xué)觀。八卦正是由這一簡(jiǎn)單的“一”變化為復(fù)雜的“多”而逐漸產(chǎn)生形成的，“易”的意思有三——變易、不易、簡(jiǎn)易，反映了天、地、人之間“變是常態(tài)”、“不變是現(xiàn)象”、“去繁求簡(jiǎn)”這幾個(gè)基本原則.

常言說(shuō)：一個(gè)人不識(shí)字可以生活，但是不識(shí)數(shù)就難了。這個(gè)數(shù)當(dāng)指下列各數(shù)及其豐富的內(nèi)涵：

無(wú)極是0，太極是1，陰陽(yáng)是2，天地人是3，四象（少陰、太陰、少陽(yáng)、太陽(yáng)）是4，木火土金水（五行）是5，上下左右前后（六和）代表6，七星表7，八卦是8，九宮是9，完滿(mǎn)、全數(shù)是10.

八卦符號(hào)的含義

八卦是一套抽象的符號(hào)系統(tǒng),它表示什么意義?“仁者見(jiàn)仁,智者見(jiàn)智。”人們可以賦予它們各種各樣的內(nèi)容,給出各種各樣的解釋?zhuān)钊菀桌斫獾氖潜灰暈閿?shù)學(xué)的符號(hào)（這可能會(huì)掩蓋住“易”的本質(zhì)含義）。在陰陽(yáng)學(xué)的影響下,簡(jiǎn)化作出“——”(陽(yáng))“——”(陰)兩種符號(hào)。通過(guò)這兩種簡(jiǎn)單的符號(hào)可得出各種各樣的錯(cuò)綜復(fù)雜的排列組合。

“——”代表自然界中的天、日、乾。“乾”表現(xiàn)（即卦德）為健、動(dòng)、剛。從數(shù)的意義上看:“——”表示奇數(shù),又表示一個(gè)整體。“——”是數(shù)的開(kāi)始和數(shù)的發(fā)展的基本,是萬(wàn)物生發(fā)之源;“一一”代表自然界中的地、月、坤。“坤”表現(xiàn)為順、靜、柔,它表示偶數(shù)。太陽(yáng)下去,月亮升起;月亮下去,太陽(yáng)出來(lái),太陽(yáng)月亮互相推移交替,就產(chǎn)生了時(shí)光；“寒暑易節(jié)，始一反焉”，就形成了歲月；陰陽(yáng)交融,萬(wàn)物繁衍。

把“——”及“一一”這兩個(gè)符號(hào)結(jié)合,可產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的變化。如果取兩畫(huà)為一卦,這兩個(gè)符號(hào)最多只能得到四卦,尚不足以概括自然界除天地以外的其他要素。如果取三畫(huà)為一卦,那么陰陽(yáng)的排列組合可得八卦,正好與人們從自然界中抽象出來(lái)的八種事物一一對(duì)應(yīng)，即是說(shuō)八卦是由陰和陽(yáng)的兩種能量及其變化所生。我們將八卦所代表的八種自然界現(xiàn)象與事物特性列表如下:

最高數(shù)學(xué)獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)?wù)律厦婵讨骸爸钦叩挠螒颍w驗(yàn)神奇的數(shù)學(xué)；超越人類(lèi)的極限，做宇宙的主人。”就讓我們?cè)诎素缘臄?shù)學(xué)海洋里自由遨游一番吧！

八卦的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

1.八卦與集合論

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它不僅滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,也滲透到許多自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。《周易·系辭》說(shuō):“方以類(lèi)聚,物以群分。”這里所說(shuō)的“類(lèi)”與“群”就與數(shù)學(xué)中的“集合”概念非常相近。將八卦用集合論的語(yǔ)言描述,就會(huì)更方便、更清楚、更精確。《易經(jīng)﹒說(shuō)卦傳》還說(shuō)“卦，象也”、“卦者，掛也”無(wú)不告訴我們卦是宇宙間各種事物的映象。

(1)八卦與自然現(xiàn)象的關(guān)系

乾為天,坤為地,震為雷,巽為風(fēng),坎為水,離為火,艮為山,兌為澤。可以看成是兩個(gè)集合,即八卦經(jīng)集A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}與八種自然物集B={天、地、山、澤、風(fēng)、雷、水、火}之間的一個(gè)一一映射。

(2)八卦與方位的關(guān)系:

乾南,坤北,離東,坎西,震東南,巽西南,艮西北,兌東南。看成是兩個(gè)集合,即八卦之集A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}與八方之集B={西北、西南、東北、西北、東南、東、北、南}之間的一種一一映射。

(3)八卦與“五行”之間的關(guān)系

乾→金,坤→土,震→木,巽→木,坎→水,離→火,艮→土,兌→金。這是兩個(gè)集合，八卦集A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}與五行集B={金,木,水,火,土}之間的映射,顯然是從A到B的滿(mǎn)射。

(4)“八卦”與先天卦數(shù)、后天卦數(shù)的關(guān)系

先天八卦數(shù)是:乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。故在A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}和B={一，二，三，四,六,七,八,九}之間是一個(gè)一一映射。

后天八卦數(shù)是：乾→六,坤→二,震→三,巽→四,坎→一,離→九,艮→八，兌→七。即下面兩個(gè)集合，A={乾、坤、艮、兌、巽、震、坎、離}和B={一，二，三，四,六,七,八,九}之間的另一個(gè)一一映射。

以此類(lèi)推，仰天察地，遠(yuǎn)取諸物，近取諸身，周易說(shuō)明了世間外物均可以在特定的范圍內(nèi)將八卦與之建立抽象的映射關(guān)系，通過(guò)對(duì)八卦的推演排算，從而達(dá)到預(yù)知事物發(fā)展變化的趨勢(shì)，從而斷其吉兇。那些認(rèn)為它的迷信的人眼光太短了，那些奉它為神靈的人未必真的了解其預(yù)測(cè)的原理。

2.八卦與二進(jìn)制

通常我們所采用的十進(jìn)制是“逢十進(jìn)一”，且在十進(jìn)制中使用0，1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字符號(hào)。而二進(jìn)制是“逢二進(jìn)一”,只用0,1兩個(gè)數(shù)字符號(hào)即可。如將陰爻用“0”表示,陽(yáng)爻用“1”表示,則八卦是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)組。對(duì)于八卦與二進(jìn)制數(shù)字及十進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系

據(jù)說(shuō)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646～1716）就是根據(jù)我國(guó)八卦圖發(fā)明了計(jì)算機(jī)二進(jìn)制（他曾感嘆：二進(jìn)制與八卦的卦爻太一致了），震動(dòng)了世界科學(xué)界，故八卦有計(jì)算機(jī)之母的美譽(yù)。

3.八卦與組合論

八卦中的每一卦都由兩種元素(陰爻,陽(yáng)爻)中可重復(fù)選取3個(gè)所做的排列。設(shè)排列數(shù)為N,則N=2³,其中“2”是指只有兩種元素， “3”是指三個(gè)爻位（每一爻位都要從兩種元素中選取1個(gè)元素）。即是3個(gè)位置，每個(gè)位置兩種選擇，可重復(fù)排列，所以N=2³=8，正對(duì)應(yīng)于八卦。

這是以位置為主來(lái)考慮，也可以以卦的形式為主來(lái)考慮，分成四個(gè)部分：3個(gè)全陽(yáng)爻，2陽(yáng)1陰，2陰1陽(yáng)，3個(gè)全陰，故有：

4.八卦與代數(shù)式

如果令a表示陰爻,b表示陽(yáng)爻,并規(guī)定ab≠ba如,則當(dāng)n=2時(shí)，

(a+b)²=a²+ab+ba+b²

對(duì)應(yīng)于八卦:

當(dāng)n=3時(shí)，

(a+b)³=a³+aab+aba+abb+baa+bab+bba+b³

對(duì)應(yīng)于八卦:

當(dāng)n=6時(shí)，

（a+b）⁶=a⁶+aaaaab+……+abbbbb+b⁶

對(duì)應(yīng)于64卦。

5.八卦與概率論

在《周易》中，按陰陽(yáng)爻的比例，可將六十四卦分為七種，其數(shù)量分別如下（高考題即在此列）：

故而各部分出現(xiàn)的概率并不相同，通過(guò)搖卦的人大部分搖到的是中間那一部分的“卦”，不同的時(shí)刻、空間搖到的也并不相同，如果真的以此為準(zhǔn)繩恐怕會(huì)偏離太多吧（每一卦的概率是一樣的，都是1/64）！

《說(shuō)卦傳》中說(shuō)：“觀變于陰陽(yáng)而立卦”，卦取動(dòng)不取靜，事情的變化受外界的干擾太多，恐怕非一卦所能概括完的，所搖之卦不過(guò)說(shuō)了事情的發(fā)展變化之一罷了，還未必是它最有可能變化的方向。為什么算卦重在解卦，就看誰(shuí)“蒙”的準(zhǔn)了，當(dāng)然“蒙”也是有原理和技巧的。

6.八卦與群論

從數(shù)學(xué)上講，一個(gè)群只不過(guò)是可以通過(guò)乘法聯(lián)系到一起的一組變換。我們首先對(duì)一堆以某種方式聯(lián)系的對(duì)象作明確規(guī)定（定義），對(duì)象也就是群的成員，即“元素”。這些元素按照變換規(guī)則組合起來(lái)，此規(guī)則必須具有三個(gè)性質(zhì)：A、封閉性，如果兩個(gè)元素按照變換規(guī)則組合起來(lái)，它必是生成群中的另一個(gè)元素。B、恒等性，必然有一個(gè)元素（稱(chēng)為單位元或單位變換），它使任何與之組合的變換都保持不變。C、反演性，每個(gè)變換具有一個(gè)逆變換，它消除了原變換中一個(gè)元素上的作用。

八卦其實(shí)是講究先后秩序的群乘法結(jié)果，（陰+陽(yáng)）（陰+陽(yáng)）（陰+陽(yáng)）=（陰陰+陰陽(yáng)+陽(yáng)陰+陽(yáng)陽(yáng)）（陰+陽(yáng)）=（陰陰陰+陰陰陽(yáng)+陰陽(yáng)陰+陰陽(yáng)陽(yáng)+陽(yáng)陰陰+陽(yáng)陰陽(yáng)+陽(yáng)陽(yáng)陰+陽(yáng)陽(yáng)陽(yáng)）=坤+艮+坎+巽+震+離+兌+乾，也就是易經(jīng)中的乾一兌二離三震四巽五坎六艮七坤八之說(shuō)。

如果把八卦中的陰爻記做-1，陽(yáng)爻記做1，那么八卦集A={乾、坤、震、艮、離、坎、兌、巽}就可以改寫(xiě)成符號(hào)集B={111，-1-1-1，-1-11，1-1-1，1-11，-11-1，-111，11-1}，如果在集合B上定義一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算叫做乘法，乘法運(yùn)算如下：

從上表可以看出，B滿(mǎn)足群的條件，就是說(shuō)B構(gòu)成了一個(gè)群，姑且命名為伏羲八卦群。容易看出，上表與四元數(shù)群的群表有完全相同的構(gòu)造，于是得到一個(gè)美妙的結(jié)論：伏羲八卦群與四元數(shù)群同構(gòu)。伏羲八卦群的乘法法則不僅反映了作為群的元，其間的變易法則，而且通過(guò)對(duì)應(yīng)爻上的規(guī)律性隱含著群的元內(nèi)部陰陽(yáng)變易與轉(zhuǎn)化法則，這就決定了伏羲八卦群連同其一系列推論將有著廣泛而重要的應(yīng)用。

另外八卦與數(shù)學(xué)還有著其他的關(guān)系，比如：在數(shù)學(xué)上，四象可以對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系的四個(gè)不同的象限，八卦可以對(duì)應(yīng)空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)象限；維度與八卦等等不再多述。

八卦的美感

八卦圖是我國(guó)祖先的一種人工語(yǔ)言,也是一種深?yuàn)W精巧的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),蘊(yùn)涵著一種極其豐富的數(shù)學(xué)之美。

中國(guó)古代的科學(xué)美學(xué)思想比較講究和諧與平衡,但這種和諧與平衡并不像古希臘科學(xué)美學(xué)思想那樣偏重于靜態(tài)肅穆,而是偏重于變化的動(dòng)態(tài)平衡。中國(guó)古代的人們更欣賞世間萬(wàn)物在相互作用、共同促進(jìn)中所表現(xiàn)出來(lái)的動(dòng)態(tài)美。《周易·系辭》說(shuō):“易有太極,是生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦…”

我們?nèi)　疤珮O”(用1表示)、兩儀,四象,八卦這15個(gè)元素及推廣為頂點(diǎn),可連成如圖1的一個(gè)“金字塔”，給人以一種整齊對(duì)稱(chēng)的美感。把其代表的數(shù)字系數(shù)可列為下圖楊輝三角。

高考題的卦數(shù)分布數(shù)值與第6行完全一致。

在《周易·系辭上》說(shuō):“言天下之至動(dòng)而不可亂也”，“擬議以成其變化”……無(wú)不是說(shuō)

八卦表象的是動(dòng)態(tài)的事物，描述的是事物的變化，關(guān)注的是變化的過(guò)程，變才是世界的根本，不變只是表象，八卦體現(xiàn)的是一種動(dòng)態(tài)美。

如《周易·乾卦》從“潛龍勿用”到“現(xiàn)龍?jiān)谔铩保健敖K日乾乾”，到“或躍在淵”，到“飛龍?jiān)谔臁保健翱糊堄谢凇保詈蟮健叭糊垷o(wú)首”。無(wú)不體現(xiàn)了事物的變化過(guò)程及人在這個(gè)過(guò)程中應(yīng)該注意的事項(xiàng)，最后告訴我們實(shí)際上沒(méi)有什么真正的結(jié)束，只是另一個(gè)過(guò)程的重新開(kāi)始。

八卦文化的魅力

八卦從產(chǎn)生、發(fā)展至今,已經(jīng)越來(lái)越引起中外哲學(xué)家和科學(xué)家的重視，比如用它來(lái)反映一年的氣候，用它來(lái)擬化萬(wàn)物的運(yùn)動(dòng)發(fā)展，甚至用它來(lái)滅敵制勝等。而八卦圖更是隨處可見(jiàn)，如量子力學(xué)的哥本哈根派以八卦圖作為他們學(xué)派的標(biāo)志,韓國(guó)以八卦圖作為他們的國(guó)旗（只用了乾坤坎離四卦，表示春分、秋分、夏至、冬至四個(gè)節(jié)氣，顯示其是個(gè)農(nóng)業(yè)國(guó)家）,蒙古國(guó)的國(guó)旗上用到了八卦圖，這都說(shuō)明八卦圖具有超凡脫俗的美感，八卦是文化中最有價(jià)值的文化之一。而八卦與眾多數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系,還有待我們繼續(xù)挖掘整理。

保羅·戴維斯在《上帝與新物理學(xué)》中談道：“人們長(zhǎng)期以來(lái)所寵愛(ài)的信仰：宇宙是按照一個(gè)單一的質(zhì)樸的、具有驚人的優(yōu)美的數(shù)學(xué)原理運(yùn)行的”，八卦可能就是這個(gè)“規(guī)律”，讓我們?yōu)樽约鹤嫦葎?chuàng)造重了這具有豐富哲學(xué)和科學(xué)內(nèi)涵的八卦文化而感到自豪吧！

我們要用善于發(fā)現(xiàn)的眼睛去看待數(shù)學(xué)，這樣才能夠體會(huì)到日常生活中無(wú)所不在的數(shù)學(xué)美感，

我們應(yīng)繼續(xù)把八卦文化發(fā)揚(yáng)光大。