利用空間向量證明平行與垂直，用向量證明立體幾何問題有兩種思路

【考試要求】

1.理解直線的方向向量及平面的法向量；

2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系；

3.能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理；

4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題；

5.能用向量方法解決點到平面、相互平行的平面的距離問題；

6.并能描述解決夾角和距離的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.

【知識梳理】

1.直線的方向向量和平面的法向量

【微點提醒】

1.平面的法向量是非零向量且不唯一.

2.建立空間直角坐標系要建立右手直角坐標系.

3.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos θ＝|cos〈a，n〉|.

4.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補.

【規律方法】

(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵.

(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算.

【規律方法】

(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.

(2)用向量證明垂直的方法

①線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零.

②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.

考點三　用空間向量解決有關位置關系的探索性問題

角度1　與平行有關的探索性問題

【規律方法】　解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設題中的數學對象存在(或結論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理.

(2)探索性問題的關鍵是設點：①空間中的點可設為(x，y，z)；②坐標平面內的點其中一個坐標為0，如xOy面上的點為(x，y，0)；③坐標軸上的點兩個坐標為0，如z軸上的點為(0，0，z)；④直線(線段)AB上的點P，可設為＝λ，表示出點P的坐標，或直接利用向量運算.

【反思與感悟】

1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現了由“形”轉“數”的轉化思想.

2.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關系；(3)根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題.

3.用向量的坐標法證明幾何問題，建立空間直角坐標系是關鍵，以下三種情況都容易建系：(1)有三條兩兩垂直的直線；(2)有線面垂直；(3)有兩面垂直.

【易錯防范】

1.用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調直線在平面外.

2.用向量證明立體幾何問題，寫準點的坐標是關鍵，要充分利用中點、向量共線、向量相等來確定點的坐標.