單變量微積分筆記7

 　　曲線構(gòu)圖的目標是根據(jù)f’(x)和f’’ (x)畫出原函數(shù)f(x)的圖像。

　　原函數(shù)：f(x) = 3x-x³

　　f’(x) = 3-3x²

　　f’’(x) = -6x

函數(shù)的凹凸性

　　前提是：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)。

　　如果函數(shù)f’(x) > 0，則f(x)在(a,b)內(nèi)是遞增的；如果f’(x) < 0，則f(x)在(a,b)內(nèi)是遞減的。這很好理解，f’(x)是f(x)在x點切線的斜率，只有函數(shù)遞增時，切線的斜率才能大于0。

　　如果f’’(x) > 0，則f’遞增；如果f’’(x) < 0，則f’遞減。這相當于上一條結(jié)論的擴展，因為f’’是f’的導函數(shù)。

　　凹凸性：

　　（1）若在(a,b)內(nèi)f’’(x) < 0，則f(x)在(a,b)上的圖形是凹的，f’遞減，即f的切線斜率遞減；

　　（2）若在(a,b)內(nèi)f’’(x) > 0，則f(x)在(a,b)上的圖形是凸的，f’遞增，即f的切線斜率遞增。

　　上圖中y=e^x的二階導數(shù)y’’=e^x > 0，y=e^x是凸的；y=lnx的二階導數(shù)y’’=-1/x²<0，y=lnx是凹的。

　　奇怪的是，國內(nèi)外的教材對凸凹的定義是不一樣的。同濟大學的教材中，f’’大于0，函數(shù)為凹，f’’小于0，函數(shù)為凸，跟上面的定義正好相反。在一些微積分教材中，有將凸稱為上凸，凹成為下凸；還有反著叫的……越來越亂了。

極值點和駐點

　　原函數(shù)f(x) = 3x-x³

　　f’(x) = 3 - 3x² = 3(1-x²)

　　由此可以畫出f(x)的簡圖：

　　(-1, -2)和(1, 2)是兩個重要的點，經(jīng)過這兩個點后，f’的符號改變，f的遞增遞減發(fā)生變化，在這兩個點上，f’(x)=0，這兩個點稱為函數(shù)的極值點。需要注意的是，極值點不是最值點，僅僅決定了導數(shù)的符號改變。

　　當f’(x₀) = 0時，稱x₀為駐點，f(x₀)為駐點值。原函數(shù)f(x)=3x-x³有±1兩個駐點，對應的駐點值為±2。顯然，極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點，因為駐點兩側(cè)的導數(shù)符號可能相同。如下圖所示，y=x³的駐點x₀=0，駐點兩側(cè)的導數(shù)符號相同，函數(shù)的增減性未發(fā)生變化：

拐點

　　此時，我們已經(jīng)得到原函數(shù)f(x)=3x-x³的兩個極值點(1,2)(-1,-2)，再將x=0代入，得到第三個點(0,0)。

　　由于極值點確定了函數(shù)增減的改變，又知道f(x)=3x-x³是一個曲線，所以經(jīng)過極值點的一定是一段弧線，f(x)的簡圖：

　　由此可知f’’(x₀)=0是原曲線的凹凸分界點，稱x₀為f(x)的拐點。

　　有了拐點信息后就可以知道曲線凹凸性，即切線的變化率。

無限遠端

　　還有一點無法在有限的二維平面內(nèi)展現(xiàn)，就是曲線的無限遠端，但這并不妨礙我們對其探索。

　　由此可知曲線的兩端向±∞方向無限延伸。

　　可以根據(jù)上述信息構(gòu)圖：

雙曲函數(shù)構(gòu)圖

　　下面是如何對雙曲線f(x) = (x+1)/(x+2)構(gòu)圖。

　　雙曲線函數(shù)有點特性了，在x=-2處沒有定義，所以該函數(shù)是在x=-2處斷開的。可以得到下面四個極限：

　　根據(jù)上面的極限可確定曲線的四個端點，它們都是無限遠端，可以畫出如下草圖：

　　有點丑陋了，這不是我畫的最漂亮的圖。

　　接下來補充中間缺失的部分，如何確定中間是平滑的？會不會出現(xiàn)波浪形？這些信息需要由駐點確定。

　　f’(x)=1/(x+2)², x≠-2

　　由于f’(x) > 0，所有f(x)在-2的兩側(cè)都是遞增的；由于f’(x) ≠0，所以f’(x)沒有駐點，函數(shù)在-2的兩側(cè)的增減性不會發(fā)生改變。

　　f’’(x) = -2/(x+2)³, x≠-2

　　f’’(x) > 0,  -∞ < x < -2, 函數(shù)是凸的

　　f’’(x) < 0,  -2 < x < +∞, 函數(shù)是凹的

　　f’’(x) ≠ 0, 函數(shù)沒有拐點

　　二階導數(shù)確定了曲線的弧度方向。

　　至此可以構(gòu)圖：

構(gòu)圖的一般步驟

　　構(gòu)圖的一般步驟：

1. 描點，找出函數(shù)中奇點，即函數(shù)未定義的點
2. 標出無限遠端
3. 標出駐點，即f’(x)=0的點；判斷f’(x)在每個駐點或不連續(xù)點為端點的區(qū)間內(nèi)的符號，由此判斷函數(shù)的遞增和遞減性
4. 觀察二階導數(shù)f’’的正負性，以便判斷f(x)的凹凸，f’’(x)=0是拐點
5. 組合1~4構(gòu)圖

示例

　　f(x) = x/lnx

　　按照上節(jié)的步驟構(gòu)圖。

　　1.找出奇點

　　當x=1是，lnx=0，f(x)無意義，奇點是x=1；由于使用了對數(shù)lnx，隱含的條件是x>0，所以可以得到下面兩個極限：

　　此外，還可以知道f(0) = 0

　　2.標出無限遠端

　　由于x的定義域是(0, +∞)且x≠1，所以x只能從正向趨近于0；由于lnx是x的高階無窮小，所以第二個極限是+∞。目前的草圖：

　　幾乎可以斷定剩余的部分的樣子。

　　3.找出駐點，判斷函數(shù)的遞增和遞減

　　f’(x) = 0，則x=e，f(e) = e/lne = e，僅有一個駐點

　　f’(x) < 0,  0 < x<1, 1< x < e，函數(shù)遞減；

　　f’(x) > 0,  e < x，函數(shù)遞增

　　代入一些簡單值作為修飾后就可以作圖了，可以省略求二階導數(shù)，圖像不會差太多。本例還是繼續(xù)計算二階導數(shù)。

　　4.觀察二階導數(shù)f’’的正負性，以便判斷f(x)的凹凸

　　f’’(x) < 0, 0 < x <1, 函數(shù)是凹的

　　f’’(x) > 0, 1 < x < e², 函數(shù)是凸的

　　f’’(x) < 0, e² < x, 函數(shù)是凹的

　　f’’(x) = 0, x = e², 拐點是e²

　　至此，可以構(gòu)圖了：

構(gòu)圖結(jié)果

真實圖像

總結(jié)

1. 若在(a,b)內(nèi)f’’(x) < 0，則f(x)在(a,b)上的圖形是凹的，f’遞減
2. 若在(a,b)內(nèi)f’’(x) > 0，則f(x)在(a,b)上的圖形是凸的，f’遞增
3. 極值點，經(jīng)過極值點后f’(x)的符號改變
4. 駐點f’(x₀)=0，x₀是駐點，f(x₀)是駐點值
5. 拐點，經(jīng)過拐點后，函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變
6. 利用構(gòu)圖的一般步驟為雙曲線構(gòu)圖

  作者：我是8位的

  出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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