圖形與幾何---垂線

一．概念描述

現代數學：若兩條直線相交所構成的四個角中有一個是直角，則稱這兩條直線互相垂直，這時四個交角都是直角。交點稱為垂足，亦稱垂趾。垂直用“I”表示，讀作“垂直于”。若兩條直線互相垂直，則其中一條為另一條的垂線。

小學數學：小學階段各版本教材對垂線所下的定義是相同的。即如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線。這兩條直線的交點叫作垂足。

二．概念解讀

垂線所研究的是平面幾何中兩條直線的一種位置關系，所以“在同一平面內”是研究垂線的前提條件。垂線的上位概念是兩直線“相交”。有唯一公共點的兩條直線稱為相交直線。當兩條直線相交后，必然會產生交角。當兩條直線相交所構成的四個交角中有一個是直角。這兩條直線就互相垂直，其中一條直線稱為另一條直線的垂線。因此，兩直線垂直屬于兩直線相交的范疇，垂線亦是相交線的一種特殊情況。

早在公元前3世紀，歐幾里得在《幾何原本》中就提出了垂線的定義：“當一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角中的每一個被叫作直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。”這里對于垂線定義的描述雖與現代數學定義在描述上稍有不同，但其實質是

相同的。隨著對垂線的深入研究，一些重要結論的出現，豐富了人們對垂線概念的認知。如“同一平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”、“點到直線間垂線段最短”，這些結論在小學數學教材中都有涉及，能夠幫助學生加深對于平面內兩直線垂直這種特殊位置關

系的理解。

數學符號是數學抽象思維的產物，因此“I”符號的產生是源于垂線的特征，它來源于象形，實際上是縮小的圖形。小學數學教材中是以在圖中兩直線相交處標示“┒”，來表示兩直線互相垂直的。

三．教學建議

在小學階段的平面幾何中，垂線的概念非常重要。它是認識三角形、平行四邊形、梯形等平面圖形特征的基礎。我們可以從以下幾方面著手進行教學。

(1)小學階段垂線概念的形成要經歷兩次抽象

垂線概念的形成要借助直觀，使學生在活動重經歷概念的形成過程，并要體現兩次抽象：一是從“實物”抽象出“圖形”；二是從“圖形”抽象出“概念”。由于相交線是垂線的上位概念，兩者聯系密切，所以教學時兩者不能分開。因此，垂線的教學可以通過生活中有關相交線（含垂線）的場景圖引入，隱去非本質的內容，進而抽象出相交線的幾何圖形，使學生獲得兩條直線位置關系的生動表象，經歷把生活問題抽象成數學問題的過程。然后通過觀察、操作、分類等數學活動，用從一般到特殊的研究方法，將圖形中的垂線從相交線中分離出來，再對垂線的本質屬性進行研究，從而抽象出垂線的概念。

(2)在分類中辨析，建構垂線的幾何模型

在學習垂線時，分類的數學思想起到了十分重要的作用。陳海霞老師在講這一內容時，先引導學生在一張紙上畫出兩條直線不同位置關系的多種情況，并讓學生進行分類。學生將其分成兩類：相交和不相交。對于相交的情況，陳老師又引導學生進行再分類。學生又將相交線分成了相交成直角和相交不成直角兩類。其中兩條直線相交成直角的這種特殊情況，便是兩直線垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線。學生對垂線幾何模型的建立，主要是在兩次分類和辨析的過程中建立的。學生在分類辨析的過程中，更加明確了兩條直線垂直與相交的關系，以及兩直線垂直是兩直線相交的一種特殊情況。

(3)溝通聯系，培養學生的空間觀念

由于生活中不存在直線，因此教學垂線時，教師要幫助學生溝通有限（線段）和無限（直線）之間的聯系。這個溝通的過程，有的教師采用畫線的方法，有的教師采用擺小棒的方法，引導學生進行無限長的想象。在此過程中，學生的空間想象力得到了發展。

在教學垂線時，還要注意溝通垂線和生活的聯系。2011版《課標》指出，“要結合生活情境了解兩條直線的垂直關系”。又因為生活經驗的回憶與再現是發展學生空間觀念的有效途徑之一，因此，教師要結合生活中一些需要用垂線解決問題的情境，使學生感受到在現實生活中有一些問題需要用到垂線的知識來解決。如“要在新建小區到公路間修一條小路，怎樣修最近？”這個問題的解決，實際需要利用“點到直線的距離最短”的垂線的性質和垂線的畫法。在解決問題的過程中，學生不但感受到了數學的應用價值，同時還培養了其空間觀念。