干凈保障有序 自主促進和諧
——四年級《垂直》教學實錄與體悟
當下，“有序、和諧”應該成為數學課堂的至高追求，教師語言、教學資源和教學預設的干凈，是課堂教學有序的保障；學生語言、學生思維和動手活動的自主，是創造和諧課堂、高效課堂的必需。
《垂直》這一內容是學生在初步認識直線以后，首次接觸直線與直線的位置關系。在同一平面內的兩條直線可能相交，也可能不相交。不相交的兩條直線互相平行。相交成直角的兩條直線互相垂直，垂直是特殊位置的相交。本課時主要以理解“垂直”這種位置關系為重點，在理解的基礎上，用各種方法畫出互相垂直的直線，并通過這些活動，體會垂線的一些特性，了解一點歷史，感受一種自豪，促進不斷成長。
下面從《垂直》一課的教學實錄出發，嘗試闡述對“有序、和諧”課堂的追求與體悟。
一、“近”生活導入，顯現熟知概念
1.對話拉近師生距離。
師：我是深圳的黃老師，你們是淮陰實小三年級幾班的同學？
生：三（1）班。
師：咱們真是有緣，有機會一起上這節數學課。你說我應該是一位教數學的老師，還是一位幫助學生學數學的老師？
【悟：師生間第一句對話即勾起學生繼續推進課堂的興趣，“真是有緣”消除了師生初次見面的戒備，達到了溫情溝通的目的?！?/FONT>
生：幫助學生學數學的老師。
師：是的，“幫助學生學數學的”，強調學習的過程靠同學們自己，教師起到的作用是組織、幫助和引路。
【悟：教師對“幫助學生學數學”這一觀點的認同，不僅激發了學生學習的自主性，還進一步拉近了師生距離?！?/FONT>
師：既然大家都這么認為，這節課老師主要是給同學們帶路，路靠大家自己走，好不好？
2.由學生之間的互助，引出“互相”的概念。
師：我在領路的過程中，想知道你們掌握的情況。如果你掌握得很好，請做這樣的手勢；如果還有點不太清楚，請做這樣的動作；如果你完全沒有學會，請這樣。（手勢略）
師：你的同伴要做這樣的動作，你會怎么辦？（師做出“沒有學會”的手勢。）
【悟：此問非常平實，卻又是繼續教學所必須的，也可以說是整節課的奠基。問題離學生如此之近，應算是教學預設的匠心獨運。】
生：我會幫助他，學習的過程中就應該互相學習，互相幫助。
師：我們說到一個詞語——“互相”，你理解嗎？
（屏顯：互相。）
師：“互相”是指兩個對象之間彼此同等對待的關系。有點深奧，其實同學們常用——我們不是常說要 “互相學習”。怎么理解？
（屏顯：互相學習。）
生：我跟你學習，你跟我學習。
師：“互相幫助”呢？
（屏顯：互相幫助。）
生：我幫助你，你幫助我。
【悟：當整節課的奠基概念在教師的一問之下自然流露出后，再借助兩個經常發生的“互相”事件讓學生更深一步加以理解?！?/FONT>
二、“近”經驗展開，突破核心概念
1.借助生活經驗，直指核心概念。
師：接下來，你猜可能會看到互相什么？一起看——“互相垂直”，這里的互相垂直，是指什么和什么之間的同等對待呢？
（屏顯：互相垂直。）
【悟：此問一拋，代表教師已經很干凈利落地將研究視角從生活場景轉向數學課堂，沒有拖泥帶水，沒有所謂的情境創設，沒有猶抱琵琶半遮面式地慢鏡頭進入，而是承接前一環節的兩個“互相”事件直指核心概念，確保了教學時間的有效，教學內容的精煉和教學環節的有序?！?/FONT>
師：不是兩個人，而是兩條直線。
師：是“兩條直線的位置關系”。
（屏顯：兩條直線的位置關系。）
師：此時此刻，我由衷地想表達，你們真的長大了，以前學的是圖形的形狀、大小，現在開始研究位置關系了！這是一個重要的起點。
師：怎么理解位置關系呢？這兩位同學這樣坐著，都面朝講臺，這是一種位置關系，如果這樣相對坐著呢？又是一種位置關系。（請其中一位同學搬凳子坐到對面成兩人相對而坐的位置關系。）
【悟：從今天起，學生開始真正接觸圖形中的位置關系。對位置關系的理解，是空間觀念形成的起步，而教師借助兩位學生的坐位形成的位置關系來先行認識“物”的位置關系，對于理解直線間的位置關系有積極的建構意義。】
2.借助模型操作，剖析核心概念。
師：兩條直線的位置關系能理解嗎？
師：到底哪種情況是互相垂直呢？注意看——
（屏顯：當兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直。）
師：請將你的理解告訴你的同桌，再四人小組交流一下。
師：我看到有的人用手勢，有的人用兩支筆，表示了。老師這里有個用兩根木條做成的模型，我想請一位同學來給大家演示“互相垂直”。
【悟：借助木條做成的模型可以有效運用物化的操作聯接抽象的直線所需的心智操作，可以讓學生對新知生成看得到、抓得住、記得牢。】
師：你覺得老師的這個模型做得好不好？
生：好！
師：好在哪里？
生：已經相交了。
師：相交就是相互交叉了，兩條直線一交叉就會出現幾個角？
生：四個角。
師：哪四個？
（生數，如圖：）
師：我是這樣數的，你知道是為什么嗎？
（師數，如圖：）
生：老師是上、下兩個角一起數，左、右兩個角一起數的。因為上、下兩個角相等，左、右兩個角也相等。
師：是的，這是對角相等。你能用這個教具擺出一個互相垂直來嗎？
（請一位學生演示，沒有帶三角尺）
師：這樣可以嗎？你怎么知道這里是直角？相交成直角不是靠眼睛看，要用這個三角板的直角去靠。
（請另一學生來幫忙驗證相交的角是直角。）
【悟：學生第一次用實物來反映個體所理解的“互相垂直”這一概念，很真實，也很脆弱，這需要同學的互助，更需要教師的準確引領?！?/FONT>
三、“凈”教具操作，深化內涵理解
師：他們的主要任務是什么？到底擺出幾個直角？
師：只能這樣擺嗎？還可以怎樣？
【悟：當學生用教具擺出一個“互相垂直”并得到全體同學的驗證后，教師在保持互相垂直的情況下整體轉動教具，讓學生感知只要相交成的直角不變，就還是互相垂直?！?/FONT>
師：我們可以依照這時兩根木條的位置畫出兩條互相垂直的直線。怎么能夠畫出來呢？
生：做記號，每根木條先點兩個點，再相連就可以了。
師：我們可以先畫出其中的一條直線，只要再點一個點也能畫出另一條直線。
（師示范過直線外一點畫已知直線的垂線的畫法：
師：為了說明這兩條直線相交成直角，也就是互相垂直，我們可以標上一個直角符號，這個符號標在哪里好呢？
【悟：當形成了互相垂直的位置關系后，需要有一個直角標志，如何標？這一問不僅是程序的持續推進，而且還強化了學生學習的自主性，突出了學生學習的主體地位。】
生：哪里都可以，因為四個角都是直角。
師：你們的意思就是說：當兩條直線相交有一個角是直角時，其他三個角也一定都是直角。
師：用三角板的直角只擺了其中的一個位置，能確定其他三個角也是直角嗎？
【悟：這一問是將核心概念的辨析推向前臺，兩條直線只有相交才會形成角，只有形成的角是直角才是“互相垂直”。而要想驗證兩條直線是否互相垂直時，得要把形成的四個角都用三角板去進行驗證嗎？顯然不是，驗證其中一個角即可得出結論，實際上前面在進行數兩條直線相交形成角的個數時已經有所鋪墊?！?/FONT>
四、“進”網狀架構，強化認知水準
1.抽取關鍵詞語，促進自主學習。
師：我想和同學們一起把重要的內容寫在黑板上。寫什么？
【悟：簡潔、干凈而真實的數學課堂。作為一堂包含幾何概念的新授課，時刻關照學生的知識架構情況，是不得不必須警惕的?！?/FONT>
生1：“兩條直線”—— 一條直線就談不上“互相垂直了”。
生2：“相交”——相互交叉很重要，如果沒有相互交叉就不能形成角了。
生3：“直角”——這個是關鍵。
【悟：學生能夠提煉出“兩條直線”、“相交”和“直角”這三個互相垂直的關鍵因素，說明新知建構已經基本成功，說明學生的理解是全面而且是有生命的，已經融入已有知識體系之中?！?/FONT>
師：用紅色的筆圈一圈。怎么都圈了？是呀！我們學的數學的定義都是用最精煉的語言表述的，每一個字詞都很重要。
（師板書：兩條直線→相交→直角 互相垂直）
師：這一段的學習你學的怎樣？示意給我！
【悟：教師分階段照顧不同層次學生的學習情況，可見對促進全體學生的數學學習是有追求的，進而打造和諧課堂?！?/FONT>
2.故意錯誤發問，完善新知體系。
師：我們接著看——
（屏顯：其中一條直線叫做另一條直線的垂線。
這兩條直線的交點叫做垂足。）
師：哪條線是垂線？
生：老師的這句問話就有問題，一條是另一條的垂線，怎么能直接說哪一條是垂線呢？
【悟：教師故意設置一個問題陷阱，學生沒有順勢進入，而是及時發現，說明學生的思維始終處于積極的思考狀態?！?/FONT>
師：老師應該怎么問才合適？
生：這是互相垂直的兩條直線，它是哪條直線的垂線？（一學生上講臺指著黑板上的一條直線發問。）
師：可以用字母a和b來表示這兩條直線?？梢哉f直線a和直線b互為垂線。
師：垂足是什么？
生：是這個點，交點。（生指垂足處。）
師：就是這個？（畫兩條相交但不互相垂直的直線，指其交點。）
生：不是。必須要是互相垂直的兩條直線的交點。
師：這一段的學習你學的怎樣？示意給我看！
3.拓展變式練習，充分理解運用。
（1）尋找長方形中互相垂直的線。
師：大家都知道什么是互相垂直了，我要是給你看一個我們認識的圖形，你能很快找到互相垂直的線段嗎？你會怎么找呢？
師：這是一個長方形，要是讓你找互相垂直的線段，你能找到幾組？
（屏顯：）
生：因為直線a和b相交成直角，a和b互相垂直；
a和b互相垂直，a是b的垂線，b是a的垂線。
師：同桌之間直接說一說誰和誰互相垂直。
【悟：讓學生直接說出誰和誰互相垂直，是為了抓住新知的核心。若能準確辨別互相垂直的一組線段，那么誰是誰是誰的垂線，則是按固定格式表達即可?！?/FONT>
（2）尋找四邊形中互相垂直的線。
師：你能找出互相垂直的線嗎？
（屏顯：）
生：可以直接找直角就行了。
生：b是c的垂線，c是b的垂線。
師：能找到幾個垂足？有幾組互相垂直的線？
【悟：這里的兩個問題是互相關聯的，實際上尋找垂足的個數就是找到了有幾組互相垂直的線，這一個規律，也是一條捷徑，為后續學習作好了鋪墊?！?/FONT>
生：一個。只要根據垂足的個數就能確定互相垂直的兩條直線一共有幾組。
（3）尋找漢字中互相垂直的筆畫相交的垂足。
師：大家都知道，我們中華民族的漢字，橫平豎直，在有些字體中，有的字筆畫就是互相垂直的，你猜猜看，老師會給你看到一個什么字？
（屏顯：）
師：“垂”字中的交點、垂足與互相垂直的筆畫。不如我們一起找垂足，有一個垂足就有一組互相垂直的線段，看誰找到的多！
生：一共有10個垂足，也就是有10組互相垂直的線段。
（屏顯：）
【悟：教師從核心概念中關鍵詞的提取，到基于概念內涵的有意錯誤發問，再到變式練習的精心設計和巧妙運用，無一不是落腳于將新知能夠有機地固化于已有知識結構，寄希望于即時形成新的、正確的知識網絡?！?/FONT>
五、“競”學習延伸，提升數學品味
1.畫垂直——體會角尺的絕對優勢。
師：下面，老師將和同學們來一個垂線的比賽。比一比在相同的時間內，看誰對同一條直線畫出的垂線多。（師生同畫垂線進行比賽，教師運用角尺畫垂線動作更快。）
（屏顯：）
【悟：利用角尺畫垂線方便、快捷的特點，設計一個教師用角尺、學生用三角尺畫垂線的比賽，自然引出角尺，并對角尺作簡單介紹，讓學生體會一下古人已經在利用垂直的特性為生產、生活的方便而進行發明創造?！?/FONT>
2.聽故事——感受“矩”的多種功能。
師：大家一定聽過《大禹治水》的故事。大禹用開渠排水、疏通河道的辦法，把洪水引到大海中去。他是中國歷史上第一位成功地治理黃河水患的治水英雄。在大禹治水的過程中，相傳他借助自己發明的原始測量工具——準、繩、規、矩?！熬亍笔枪糯嫹叫蔚挠镁?。古人發明用“矩”離現在已有4000多年。
（屏顯：大禹的圖片及相關資料，此略。）
【悟：古人總結了“矩”的多種測繪功能，既可以定水平、測高、測深、測遠，還可以畫圓畫方。一個結構簡單的“矩”，由于使用時安放的位置不同，便能測定物體的高低遠近及大小，它的廣泛用途，體現了古代中國人民的無窮智慧?！?/FONT>
3.用垂直——學會跳遠距離的測量方法。
師：有同學要問，學了垂直有什么用？當然有用，建房子時，墻和地面要互相垂直。
師：同學們參加過跳遠比賽嗎？你知道跳遠比賽，怎么測量跳遠成績嗎？
師：森林運動會小猴子參加跳遠比賽，一起來看看。
（播放森林運動會的flash動畫。）
師：該怎樣測量跳遠比賽的成績呢？請同學們把想法畫在紙上，全班分享。
師：從跳進沙坑的這個點到起跳線最近的距離是這條垂直線段的長嗎？
師：建議同學們課后研究，可以在本子上先畫一條直線，然后在線外畫上一個點，通過測量、比較等辦法，看看怎么畫點到這條直線的距離最短。
（屏顯：跳遠距離的測量：身體與沙池接觸的離起跳線最近的距離就是運動員的成績。）
【悟：用小猴跳遠這一情境的創設將全課推向高潮，并引發研究點到直線的最短距離的測量方法，最終得出跳遠成績的測量亦是如此。如果說前兩個古人發明的垂直工具讓學生感受到了自豪、震憾與鼓舞的話，那么對小猴跳遠距離測量方法的研究則是又一次增強了學生學習的自主性、趣味性和研究性。教師在學習過程中三個小競賽的設置，既延伸了本節課的學習范疇，又提升了數學學習的品味。】
六、回顧與反思
師：今天學習了垂線的數學知識，什么叫做互相垂直，還認識了角尺，知道了四千多年前大禹治水的時候就用到畫垂直的工具，這些數學知識，哪部分的知識給你的影響最深？
生：（略）。
【總悟：本節課所致力要表達的，即是對“有序”與“和諧”的課堂教學追求。“有序”反映在課的目標指向明確，即抽取學生生活周邊的實例，激活學生已有知識基礎，學習“垂直”這一首次接觸的位置關系；教學設計主線清晰，即先“近距離”生活導入，顯現熟知概念“互相”，再“近距離”經驗展開，突破核心概念“互相垂直”，其次“凈用”教具操作，深化內涵理解，然后“進入”網狀架構，強化認知水準，最后“競賽式”學習延伸，提升數學學習品味；教學調控靈活到位，即教學語言精煉簡潔，對學生問題前期理答必要充分，對學生問題后續追問及時恰當。整節課所呈現的師生教學事件均是干凈利落的，沒有生拉硬扯的“附屬物”，這就保證了課堂的教學進程“有序”，學生思維“有序”。建構學習理論指出：“在對學習材料的解釋和運用時，應重視教師與學生之間的協商，這并不等于說教師只給學生指出應該看到什么，更重要的在于其蘊含真正交流的過程，教師要考慮學生所作的解釋。這種社會互動、數學解釋和解答的討論對學習非常重要?！闭n堂教學中的師生交流是否真實？是否流暢？是否基于教學實踐？是否富于人文氣息？都可以窺見課堂教學是否真正“和諧”。而本節課的“和諧”不僅體現在教學環節設計所兼顧的數學性與生活性，體現在師生互動（生生互動）的及時性與生成性，體現在教者對學生知識前測的準確性與全面性，體現在學生對“垂直”概念的理解與操作運用的融合性，體現在學生經歷本課學習過程所積累的經驗與思維品質的提升的同步性，更真切地體現在師生溝通的有效性與趣味性。英國著名哲學家羅素說：“數學，不但擁有真理，而且擁有至高的美?！比绱耍欠窨梢赃@樣理解？課堂教學中的“有序”映襯了真理的存在，“和諧”才能成全至高的美的展現。】
（江蘇省淮安市天明小學任建波 執筆整理）
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