你也能懂的微積分（下）

接上篇：你也能懂的微積分（上）

14數學的力量

微積分的發明使我們求曲線圍成面積的難度出現了斷崖式的下降。那么，在這個過程中到底發生了什么？為什么數學可以如此有效地簡化我們的問題？是我們的問題本來就很簡單，以前把它想復雜了，還是我們真的把問題的復雜度降低了？

還記得小學遇到的“雞兔同籠”問題么？雞和兔被關在一個籠子里，從上面數，一共有35個頭，從下面數，一共有94只腳，請問籠子里分別有多少只雞和兔？

有很多“聰明”的老師會教你一些非常“有用”的解題技巧，比如，因為雞有一個頭兩只腳，兔子有一個頭四只腳，而現在總共有35個頭，那么你把這個35乘以2，得到的70就是所有的雞的腳加上一半的兔子的腳（因為兔子有4只腳，而你只乘以2，所以每只兔子你還有2只腳沒有算）。

然后，我用總腳數94減去這個70，得到的24就是剩下的一半兔子腳，再用24除以2（一只兔子4只腳，一半就是2只）就得到了兔子的數量12。因為一共有35個頭，那么用35-12=23就是雞的數量。

當然，雞兔同籠問題還有很多其它的特殊解法，長尾君這里就不再列舉了。這些解法算出來的結果有問題嗎？當然沒問題，但是這些解法簡單么？好么？

不好！為什么？因為局限性太大了。我今天放雞和兔你可以這樣算，那明天我要是放點其它的動物這方法是不是就不管用了？如果下次不是數頭和腳，而是去數翅膀和腳，這方法還行么？

這就跟阿基米德用窮竭法算曲線圍成的面積一樣，面對每一種不同曲線圍成的面積，我求面積的方法都不一樣。我的每一種解法都嚴重依賴曲線的具體特性，所以這種方法的局限性就非常大，帶來的意義也非常有限。

而微積分之所以偉大，就是因為它從這些看起來不一樣的問題里抽象出來了一個共同的本質，然后所有的問題都可以套用這套程序，這樣大家才能放心的以它為跳板往前沖。

后來我們學習了方程，接著就發現以前讓我們頭痛不已的“雞兔同籠”問題突然就變得非常簡單了。不僅解決這個具體問題簡單，而且隨便你怎么變化，加入其它的動物也好，數上翅膀也好，都可以用一樣的程序閉著眼睛把題目做出來。為什么會這樣？

沒有方程的時候，我們得具體問題具體分析，然后根據它的題干去做各種逆向分析。

逆向思考，這本來就是很反人類的思維方式。我們很容易從一系列原因出發得到某種結果，但是給你某種結果讓你去倒著分析原因就是很困難的事情了（這不才有了偵探這個職業么）。

比如，如果我們現在知道了有23只雞，12只兔子，然后讓你去計算有多少頭和腳，這是正向思維，很容易。但是，如果告訴你有多少頭和腳，讓你去反著思考有多少雞和兔子，這就是逆向思維了，很麻煩。

方程告訴我們：為什么放著自己熟悉的正向思維不用，而跑去用麻煩的逆向思維呢？你說，我這不是不知道有多少只雞和兔子，這不得已才用逆向思維么？方程告訴你，你不知道有多少只雞和兔子無所謂，你可以先用一個未知的量代替它，先用正向思維把方程列出來再說。

比如，我假設有x只雞，y只兔子，那么，一共就有x+y個頭，2x+4y只腿。而題目告訴我們有35個頭，94只腳，所以我們就可以得到：

我們毫不費力的就把這兩個方程列出來了，于是這個題目基本上就做完了。因為剩下的事情就是把x和y從方程里解出來，而解方程是一件高度程序化的事情，什么樣的方程怎么去求解，都有固定的方法。

從小學時代的“聰明技巧”到傻瓜式地列方程、解方程，這是數學上一個非常典型的進步，大家可以仔細想想：這個過程中到底發生了什么？方程到底是如何簡化問題的？這跟微積分的發明有何異曲同工之妙？

其實，我們開始思考雞兔同籠的那些“聰明的技巧”，那些逆向思維時的思路，都被打包塞到解方程的步驟里去了。

什么意思？比如，你要解上面這個方程：

老師可能會教你一些固定的方法。

第一步，把方程1兩邊都乘以2，得到2x+2y=70（這不就是跟我們上面的方法一樣，把所有雞兔的頭都乘以2么）。

第二步，再用方程2減去方程1，這樣就把x消去了，得到了2y=24（我們上面也是這么說的，腳的數量減去2倍頭的數量就等于兔子剩下的腳的一半），然后就把兔子的數量y=12求出來了。

第三步，把兔子的數量，也就是y的值12代入到方程1，求出x的值，得到了雞的數量23。

大家發現沒有：你以前思考這個問題時最復雜的那些步驟，現在完全被機械化地打包到解方程的過程中去了。你以前覺得那些只有你才能想得到的巧妙解題技巧，只不過是最簡單的解方程的方法，所以你就覺得這個問題現在變得非常簡單了。

這就是數學！

數學不斷地從不同領域抽象出一些相同的本質，然后盡可能地把抽象出來的東西一般化，程序化，這樣我們就能越來越方便地掌握各種高級數學武器。

因此，數學越發展越抽象，越看重這種能夠一般化、程序化的解決某種問題的方法。所以，方程的思想是革命性的，微積分也一樣。

微積分也是使用了一種通用的方法來處理各種曲線圍成的面積，稍加變化我們就能同樣求出曲線的長度，或者曲面包含的體積。微積分之所以能夠簡化求面積的邏輯，是因為微積分把這塊邏輯都打包到求原函數里去了，而后者是一個可以程序化、一般化的操作。

所以，我們學習數學的時候，也要更多地注意這些數學是從哪些不同的地方抽象出了哪些相同的本質，如何一般化地解決這類問題上。這是數學的“大道”，我們不用過于在意那些小技巧，沒必要耗時間去琢磨“雞兔同籠”問題的108種解法，以至于揀了芝麻丟了西瓜~

這一段似乎有點偏離主題，但是我覺得很重要。把這些理清楚了，對大家如何定位數學，如何理解、學習數學都會有很大的幫助。否則，如果我們從小學到高中學了十幾年的數學，卻不知道數學是什么，那不是很悲催么？而且，這一段對于我們理解微積分的意義也會很有幫助。

15進擊的微積分

好，現在微積分創立了，微積分的基本定理也被正式地提出來了，接下來應該再做什么呢？你該不會以為文章到這里就要結束了吧？不不不，還遠遠沒有。

誠然，微積分基本定理的發現是這場革命里最核心的東西，相當于革命的指導思想。既然已經有了指導思想，那接下來要做的事情自然就是擴大戰果，把這么優秀的思想擴散到各個領域里去啊。怎么擴呢？

首先，微積分基本定理的核心思想就是用求原函數的方式來解決求面積的問題，所以求一個函數的原函數就成了問題的核心。那么，我們自然就要研究各種常見函數的求導和求原函數的方法。

這些弄清楚之后，我們接下來就要問：由一些常見函數組成的復合函數，比如兩個函數相加減、相乘除、相嵌套復合等時候要怎么求原函數？怎么求積分？再擴展一下，現在知道了如何求面積，那要怎樣求體積，求曲線的長度呢？

這部分內容是我們最擅長的，也是我們考試的重點。它的核心就是熟悉各種前人總結下來的微積分技巧，多練習，熟能生巧，沒什么捷徑。但是，也要特別警惕把對微積分的學習完全變成了對這種技巧的訓練，這樣數學就真的變成了算術了。

此外，我強烈建議有抱負的同學不要急著打開微積分的課本直接去翻看這些問題的答案。我在前面已經把微積分的思想說了，大家完全可以看看自己能不能獨立把這些問題推出來，實在沒轍了再去翻課本，也就是孔子說的“不憤不啟，不悱不發”。

像牛頓和萊布尼茨那樣洞察“積分和微分是互逆運算”，然后提出微積分基本定理，這是一流科學家的素養。一流科學家提出這種重大創新之后，你能跟著把后面很自然的東西做完善，這是二流科學家的基本素養。大家在學習數學的時候要有意識地培養自己的這種能力~

然后，我們就可以把微積分的技術擴展到各種其它的領域了。比如，有了微積分，我就可以研究彎曲的東西，曲線、曲面什么的都可以研究。這就等于說是在用微積分來研究幾何，這就是微分幾何。后面我講廣義相對論的時候，這玩意就必不可少了。

有了微積分，我們發現很多物理定律都可以寫成微分方程的形式，有多個變量的時候就是偏微分方程。我上三篇文章講的麥克斯韋方程組、波動方程，后面要講的廣義相對論的場方程，都是這樣。

有了微積分，我們就可以計算各種不同曲線的長度。那么，如何確定在特定條件下最短的那條曲線呢？這里就發展出了變分法，變分法配合最小作用量原理，在物理學的發展里起到了極為關鍵的作用。

所以，微積分在接下來的兩個世紀里基本上就這樣瘋狂的擴張著。科學（尤其是物理學）的發展需要微積分，微積分也需要從科學里尋汲取營養，它們就這樣相互促進、相互成長、相親相愛。

16被忽略的無窮小

但是，似乎大家都忘了一個問題：此時微積分的基礎并不牢固，萊布尼茨把dx視為一個無窮小量，但是無窮小量還是怎么說都說不圓。

一個接近于0又不等于0的無窮小量到底是個什么玩意？為什么你有時候可以把它當除數約掉（認為它不為0），有時候又隨意把它舍棄（認為它等于0）？看數學史的時候也會覺得奇怪，像歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、伯努利兄弟這些頂級數學家，居然都對這些問題視而不見。更讓人奇怪的是，他們使用這種邏輯不嚴密的微積分居然沒有出什么差錯，只能說大佬們的直覺確實逆天。

因此，微積分最后的問題就是：如何使微積分嚴密化？如何把微積分建立在一個堅實的基礎之上？

之所以把dx看成一個無限趨近于0卻又不等于0的無窮小量，主要是因為這樣做很直觀。我們用很多矩形去逼近曲線圍成的面積，矩形數量越多，每個矩形的寬度就越小。當矩形的數量變成“無窮多個”的時候，每個矩形的寬度就“理所當然”地變成了無窮小。這么看，無窮小量確實很直觀，但是這里有什么問題呢？

當我說矩形的數量是一百個、一千個的時候，我是可以把它們都數出來的，我也可以把它們的面積之和都算出來。但是，當你說矩形的數量是無窮多個的時候，無窮多個是多少個？你能數出來么？你真的可以把無窮多個矩形的面積一一算出來，然后把它們加起來么？

有人可能覺得我在胡攪蠻纏。無窮嘛，那肯定是無法具體數出來、測出來的，也不可能真的把無窮多個矩形的面積一個個算出來再求和。但是我知道是那么個意思，是那么回事就行了。我測不出來，但是我能想出來，難道還不讓我想了么？

對，還真就不讓想了！

大家可能都知道，科學和哲學以前是一家的。因為純粹的思辨在哲學里非常常見，所以以前的“科學”里就到處夾雜著這種“可以想但是無法測量的東西”，這就極大的限制了科學的發展。因為一個東西如果無法測量你就無法用實驗去驗證它，無法驗證你就不知道它是對是錯，你不知道對錯那就只能以權威說了算。你沒有證據還敢說權威不對，那就很麻煩了，所以亞里士多德的學說可以統治歐洲近兩千年。

現代科學從哲學里分離了出來，一個標志性的操作就是：科學家們開始關注那些能夠用實驗測量到的量，對那些用實驗無法測量的東西避而不談。

伽利略是公認的“現代科學之父”，他的核心觀點有兩條：第一，用數學定量地描述科學；第二，用實驗驗證科學。所以，如果你談的是現代科學，那你就不能亂想了。

如果你還想用一些無法測量的概念來構建你的“科學體系”，那么你的方法論就是非科學的，你構建的也只是玄學而非科學，這是很多民科非常容易犯的錯誤。龐加萊甚至直接說：“凡是不能測量的東西，都不能算是自然科學。”

這種思想在科學昌盛的19世紀已經很普遍了，誕生于這個時期的實證主義也指出：人類不可能也不必要去認識事物的“本質”，科學是對經驗的描寫。他們甚至提出口號要“取消形而上學”。

17柯西來了

總之，一切的一切就是不讓你在科學里再談那些無法測量，無法驗證的概念，科學要基于實證。

那么，只能想卻無法數，無法“觀測”的無窮小量是不是這樣的一個概念呢？雖然它很直觀，但是你回顧科學的歷史，反直覺的重大科學進步難道還少么？歷史一次次地告誡我們：直覺不可靠，我們能依靠的只有嚴密的邏輯和確鑿的實驗。

在這樣的大環境下，我們迎來了一位重要人物：柯西。

柯西深刻地認識到：只要涉及數學概念，任何關于連續運動的一些先驗的直觀觀念，都是可以避免，甚至是必須避免的。科學放棄了形而上學方面的努力，采用“可觀測”概念之后就迎來了大發展，那數學為什么不也這樣呢？

無窮小量是一個無限趨近于0但是又不能等于0的概念，也就是說它有一個極限位置0，你可以想多接近就多接近，但就是無法到達。

我們知道實數跟數軸上的點是一一對應的。當我們說一個量在無限趨近于0的時候，很多人腦海里浮現的畫面就是一個點在數軸上不停地移動，從一個點移動到下一個點，一直靠近0這個點。

但是這個圖景是不對的，為什么？因為實數是稠密的。稠密就是說任意兩個點（實數）之間永遠都有無數個點（實數）（你自己想想是不是，1和2之間有多少個數？）。你以為它能從A點移動到鄰近的下一個B點么？對不起，這個它真做不到！

A點和B點之間永遠有無數個點，也就是說A點根本就沒有所謂的“下一個點”。你認為我一定要走完了A點到B點之間所有的點才能到達B點，那就不可避免地會陷入到芝諾悖論里去。因為你壓根就不可能走完任何兩個點之間的所有點（因為是無窮多個），所以，如果按照這種邏輯，你就根本“走不動”，所以芝諾的飛矢就飛不動了。

因此，面對這種連續的概念的時候，我們就不應該使用這種“動態的”定義。你想通過“讓一個點在數軸上動態地運動來定義極限”是行不通的，這就是萊布尼茨的無窮小量栽跟頭的真正原因。

數學家們經過一百多年的探索、失敗和總結，最后終于意識到了這點，這些思想在柯西這里完全成熟。于是，柯西完全放棄了那種動態的定義方式，轉而采取了一種完全靜態，完全可以描述測量的方式重新定義了極限，進而為微積分奠定了扎實的基礎。

這里我把柯西對極限的新定義原封不動的貼出來：當一個變量相繼的值無限地趨近某個固定值的時候，如果它同這個固定值之間的差可以隨意地小，那么這個固定值就被稱為它的極限。

有人看了這個定義之后就在犯嘀咕：這跟萊布尼茨說的不是一樣的么？你還不是在用“無限趨近”啊，“隨意的小”啊這種跟“無窮小”差不多的概念來定義極限么？你說以前的定義是動態的，柯西給整成了靜態的，可是我看來看去，柯西這個定義好像也在動啊。什么無限趨近，隨意的小，不是在動么？

有這些疑問是正常的，畢竟是讓數學家們卡了一百多年的問題，不可能那么太“顯而易見”。

我們再仔細看看柯西的定義，它跟以前的差別到底在哪？你看啊，柯西雖然也有用“無限趨近”，但是他只是用這個來描述這個現象，并不是用它來做判決的。他的核心判決是后面一句：如果它同這個固定值之間的差可以隨意的小，那么它就是極限。

可以隨意的小和你主動去無限逼近是完全不一樣的。可以隨意小的意思是：你讓我多小我就可以多小。你讓我小于0.1，我就能小于0.1；你讓我小于0.01，我就能小于0.01；你讓我小于0.00…001，我就可以小于0.00…001。只要你能說出一個確定的值，不管你說的值有多小，我都可以讓它跟這個固定值的差比你更小。柯西說如果這樣的話，那么這個固定值就是它的極限。

大家發現沒有，柯西學聰明，學雞賊了，他把這個判斷過程給顛倒了過來。以前是你要證明自己的極限是0，你就不停地變小，不停地朝0這個地方跑過去。但是，你和0之間永遠隔著無數個點，所以你永遠也跑不完，你也就不知道你要跑到什么時候去，這樣就暈了。

現在我學聰明了，這個難以界定的東西，這個燙手的山芋我不管了，我丟給你，我讓你先說。只要你說出一個數，你要我變得多小我就變得多小。你如果想讓我變成無窮小，那你就得先把無窮小是多少給我說出來，你說不出來的話那就不能怪我了。

完美甩鍋！這就是柯西的核心思想。

柯西就通過這種方式把那些不可測的概念擋在了數學之外，因為你能具體說出來的數，那肯定就都是“可觀測”的啊。大家再看看這個定義，再想想之前萊布尼茨的想法，是不是這么回事？

于是，柯西就這樣完美的甩開了那個招人煩的無窮小量。在柯西這里，無窮小量不過就是一個簡單的極限為0的量而已，一個“只要你可以說出一個數，我肯定就可以讓我和0之間的差比你給的數更小”的量。這樣我們就能把它說得清清楚楚，它也不再有任何神秘了。

18魏爾斯特拉斯和ε-δ極限

然后，魏爾斯特拉斯用完全數學的語言改進了柯西的這段純文字的定義，得到了最終的，也是我們現在教材里使用的ε-δ極限定義。

根據柯西的思想，魏爾斯特拉斯說：你要判斷某個函數f(x)在某個地方a的極限是不是某個值L，關鍵就要看如果我任意說一個數ε（比如0.00…001或者任意其它的，注意是任意取，這里用ε代替），你能不能找到一個x的取值范圍（用δ來衡量），讓這個范圍里的函數值f(x)與那個值L之間的差（用套個絕對值的|f(x)-L|表示）小于ε。如果你總能找到這樣的δ，那我就說函數f(x)在a點的極限為L。

用精練的數學語言表述上面的話就是：當且僅當對于任意的ε，存在一個δ>0，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε，那么我們就說f(x)在a點的極限為L。記做：

定義里的Lim就是極限的英文單詞Limit的縮寫，這個箭頭x->a也非常形象地表達了極限這個概念。

這個定義就真正做到了完全“靜態”，不再有任何運動的痕跡（連柯西說的“無限趨近”、“隨意的小”都沒有了），也不再有任何說不清的地方。從定義你也能清楚地看出來：它根本不關心你是如何逼近L的，飛過去、跳過去、爬過去的它都不管，只要最后的差比ε小就行，我就承認你是我的極限。

用一位偉人的名言翻譯一下就是：不管黑貓白貓，能比ε還小的就是我的極限好貓。

這里要特別注意的是ε是任意的，任意就是說隨便ε取什么你都要找到對應的δ，你不能說有10個ε滿足條件就說這是極限。

看個例子，我們考慮最簡單的f(x)=1/x。當x的取值（x＞0）越來越大的時候，這個函數的值就會越來越小：

f(1)=1，

f(10)=0.1，

f(100)=0.01，

f(1000)=0.001，

……

看得出來，當x的取值越來越大的時候，f(x)的值會越來越趨近于0。所以，函數f(x)在無窮遠處的極限值應該是0，也就是說：

這個結論是很明顯的，接下來我們就來看看如何用ε-δ定義來說這個事。

按照定義，我們要取一個任意小的ε，假設這里我們取ε=0.1，那么我們就要去找一個δ，看能不能找到一個范圍讓|f(x)-0|<0.1，顯然只需要x>10就行了；取ε=0.01，就只需要x>100就行了；任意給一個ε，我們顯然都能找到一個數，當x大于這個數的時候滿足|f(x)-0|<ε，這樣就OK了。

于是，我們就構建了一個邏輯嚴密，不再有任何“說不清”概念的極限理論。有了這個堅實的地基，我們就可以放心地在上面蓋房子了。那個漂泊了一百多年，那個被幽靈般的無窮小量纏繞了一百多年的微積分，即將迎來新生。

19積分的重建

先看積分，我們之前認為曲線圍成的面積是無數個寬度為無窮小量的矩形面積之和，于是我們在這里就被無窮小量纏上了。有了ε-δ極限之后，我們就可以刷新一下我們對積分的認知了：從現在起，我們把曲線圍成的面積看成是一個極限，而不再是無數個無窮小量的矩形面積之和。

什么意思？假設我們用1個矩形逼近曲線圍成的面積的時候，我把這一個矩形的面積記做S1，用兩個矩形逼近的面積之和記做S2，同樣的，我們記下S3，S4，S5……

一般情況，如果我們用n個矩形去逼近這個面積，這n個矩形的面積之和就記做Sn。如果這個Sn的極限存在，也就是說，隨便你說出一個數字ε，我都能找到一個n的范圍，讓Sn和A之間的差|Sn-A|小于你給定的這個數字ε。那么，A就是這個Sn的極限。

于是，我們就說：曲線圍成的面積就是這個極限A，它是n個矩形面積之和這個序列Sn的極限。

所以，我們就把這個極限過程表示的面積A定義為函數f(x)從a到b上的積分：

這樣，我們的積分就成了一個由ε-δ語言精確定義的極限。這里沒有那個等于0又不等于0的無窮小量，一切都清清楚楚、明明白白，沒有含糊的地方，這就是第二次數學危機的終極解決之道。

這樣處理雖然不再那么直觀，但是它非常精確和嚴密，這是符合數學的精神的。直觀雖然能幫助我們更好的感受數學，但是如果失去了嚴密性，數學將什么都不是。

20導數的重建

積分解決了，微分這邊也是一樣。有了ε-δ定義之后，我們就再不能把導數看成是兩個無窮小量的比值（dy/dx），而是：把導數也看成一個極限，對，還是極限。

這個理解起來相對容易，函數在某一點的導數就是這點切線的斜率。我們前面也說了，切線就是當割線的兩點不停地靠近，當它們的距離變成無窮小時決定的直線。

很顯然，這個定義是依賴無窮小量的，我們現在要用ε-δ定義的極限來代替這個無窮小量。所以，切線就應該被理解為割線的極限，那么切線的斜率（也就是這點的導數）自然就是割線斜率的極限，所以導數f(x)’也自然而然地成了一個極限。

由于割線的斜率就是用這兩點的縱坐標之差f(x+Δx)-f(x)除以這兩點的橫坐標之差（x+Δx-x=Δx），而導數f(x)’是割線斜率的極限。那么，我們在割線斜率的前面加一個極限符號就可以表示導數f(x)’了：

這才是導數的真正定義，它是一個極限，而不再是兩個無窮小量dy與dx的商dy/dx。也就是說，按照極限的ε-δ定義，這個導數f(x)’的真正含義是：你任意給一個ε，我都能讓割線的斜率與這個值的差比你給的ε更小。

我反復強調ε-δ定義的含義，就是希望大家能真的從這種角度去理解極限，思考極限，逐漸放棄那種“無限動態趨近某個點”的圖景。思維一旦形成定勢，想再改過來是非常困難的，所以我們得經常給自己“洗腦”，直到把新理論的核心思想洗到自己的潛意識里去，這樣才算真正掌握了它。

我以前講相對論的時候，很多人在講相對論時能切換到相對論思維，但是平常一不留神就又跌回到牛頓的思維里去了。然后就鬧出了一堆悖論、佯謬和各種奇奇怪怪的東西，這里也一樣。

21微分的重建

萊布尼茨當年認為導數是兩個無窮小量dy和dx的商，所以他用dy/dx來表示導數。雖然現在導數不再是這個意思，但是萊布尼茨當年精心發明的這一套符號確實是非常好用，于是我們就繼續沿用了下來。

也就是說，我們今天仍然用dy/dx表示導數，但是大家一定要注意，dy/dx在現代語境里是一個極限，不再是兩個無窮小量的商。

如果不熟悉微積分的歷史，就很容易對這些符號產生各種誤解，這也是很多科普文、教科書在講微積分時的一大難點。因為思想是新的，符號卻是老的，確實很容易讓人犯糊涂。

于是，在萊布尼茨那里，他是先定義了代表無窮小量的微分dx和dy，然后再用微分的商定義了導數dy/dx，所以那時候導數也叫微商。

但是現在劇情完全反轉了：我們現在是先用ε-δ定義了極限，然后從極限定義導數dy/dx。這里壓根沒有微分什么事，只不過由于歷史原因我們依然把導數寫成dy/dx這個樣子。

那么，dx和dy這兩個之前被當作無窮小量的微分的東西，現在還有意義么？

答案是有意義！

這個dx和dy還是有意義的，當然，有意義也肯定不可能再是以前無窮小量的意思了。那么，在ε-δ極限這種全新的語境下，dx和dy在新時代的意義又是什么呢？請看下圖：

藍色切線的斜率表示在P點的導數，如果我們繼續用dy/dx表示導數的話，那么從圖里就可以清楚的看到：dx表示在x軸的變化量，dy就剛好表示藍色的切線在y軸的變化量。

也就是說，當自變量變化了Δx的時候，Δy表示實際的曲線的變化量，而微分dy則表示這條切線上的變化量，這就是新的語境下函數微分dy的含義。而自變量的微分dx，大家可以看到，就跟x軸的變化量Δx是一回事。

由于切線是一條直線，而直線的斜率是一定的。所以，如果我們假設這條切線的斜率為A，那么dy和Δx之間就存在這樣一種線性關系：dy=A·Δx。

這些結論都可以很容易從圖中看出來，但是，一個函數在某一點是否有微分是有條件的。我們這里是一條很“光滑”的曲線，所以在P點有微分dy，也就是說它在P點是可微的。但是，如果函數在P點是一個折點，一個尖尖的拐點呢？那就不行了。因為有拐點的話，你在這里根本就作不出切線來了，那還談什么Δy和dy？

關于函數在一點是否可微是一個比較復雜（相對科普的復雜~）的問題，判斷曲線（一元函數）和曲面（二元函數）的可微性條件也不太一樣。直觀地看，如果它們看起來是“光滑”的，那基本上就是可微的。

微分的嚴格定義是這樣的：對于Δy是否存在著一個關于Δx為線性的無窮小A·Δx（A為常數），使它與Δy的差是較Δx更高階的無窮小。也就是說，下面這個式子是否成立：

o(Δx)就表示Δx的高階無窮小，從字面上理解，高階無窮小就是比無窮小還無窮小。當Δx慢慢趨向于0的時候，o(Δx)能夠比Δx以更快的速度趨向于0。比如當Δx減小為原來的1/10的時候，o(Δx)就減小到了原來的1/100，1/1000甚至更多。

如果這個式子成立，我們就說函數y=f(x)在這點是可微的，dy=A·Δx就是函數的微分。因為這是一個線性函數，所以我們說微分dy是Δy的線性主部。

這部分的內容好像確實有點乏味，萊布尼茨時代的微分dy就是一個接近0又不等于0的無窮小量，理解起來非常直觀。但是，我們經過ε-δ的極限重新定義的函數的微分dy竟然變成了一個線性主部。這很不直觀，定義也挺拗口的，但是這樣的微積分才是現代的微積分，才是基礎牢固、邏輯嚴密的微積分。

為了讓大家對這個不怎么直觀的微分概念也能有一個比較直觀的概念，我們再來看一個非常簡單的例子。

我們都知道半徑為r的圓的面積公式是S=πr2。如果我們讓半徑增加Δr，那么新的圓的面積就應該寫成π（r+Δr）2，那么，增加的面積ΔS就應該等于兩個圓的面積之差：

大家看到沒有，這個式子就跟我們上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一樣的。只不過我們把x和y換成了r和S，A在這里就是2πr，這里的π（Δr）2是關于Δr的平方項，這不就是所謂的高階（平方是2階，Δr是1階，2比1更高階）無窮小o(Δx)么？

所以，它的微分ds就是2πr·Δr這一項：

它的幾何意義也很清楚：這就是一個長為2πr（這剛好是圓的周長），寬為Δr的矩形的面積，好像是把這個圓“拉直”了所得的矩形的面積。

好了，微分的事情就說到這里，剩下的大家可以自己慢慢去體會。畢竟這是一篇關于微積分的科普文，再寫太多就成教材了。

22收官的勒貝格

關于微積分的重建，我們已經看到了如何在ε-δ定義的新極限下重新定義了積分和微分，也看到了在這種新的定義下，積分和微分的概念跟以前有什么不同。沿著這條路，我們還能非常嚴格的證明微積分基本定理，也能很好地處理連續性、可微性、可導性、可積性等問題。雖然在具體的計算方式上跟以前的差別不大，但是微積分的這個邏輯基礎已經跟以前發生了翻天覆地的變化，這個差別大家要仔細體會。

在魏爾斯特拉斯給出極限的ε-δ定義之后，微積分的邏輯問題基本上解決了，但還有一些其它的問題。比如，有了微積分，數學家們當然就希望盡可能多的函數是可以求出積分的，但是你像來砸場子的狄利克雷函數（x為有理數的時候值為1，x為無理數的時候值為0）就沒法這樣求積分。

不信你想想，一個在有理數為1，無理數為0的函數你要怎么去切塊？它在任何一個地方都是不連續的，你甚至連它的圖像都畫不出來，怎么用矩形去逼近？所以，這里就有一個棘手的問題：一個函數到底要滿足什么條件才是可以求積分的呢？

這個問題一直拖到20世紀初才由大神勒貝格解決。勒貝格把我們常見的長度、面積概念做了一個擴展，得到了更一般的測度的概念。然后，他基于這種測度定義了適用范圍更廣的勒貝格積分，于是，原來無法求積分的狄利克雷函數在勒貝格積分下就可以求積分了。然后，勒貝格基于測度的理論也給出了一個函數是否可積的判斷條件，完美收官！

于是，我們這段跨越兩千多年，從阿基米德到勒貝格的微積分之旅就要告一段落了。

23結語

古希臘人和古代中國人都知道用已知的多邊形去逼近復雜曲線圖形，阿基米德用窮竭法算出了一些簡單曲線圍成的面積，劉微用正多邊形去逼近圓，也就是用割圓術去計算圓周率。

牛頓和萊布尼茨發現了“微分和積分是一對互逆運算”這個驚天大秘密，正式宣告了微積分的誕生。

柯西和魏爾斯特拉斯用ε-δ語言重新定義了極限，把風雨飄搖中的微積分重新建立在堅實的極限理論基礎之上，徹底解決了幽靈般的無窮小量的問題，解決了第二次數學危機，也在數學領域解決了芝諾悖論。

勒貝格基于集合論，對積分理論進行了一次革命，建立了定義范圍更廣的勒貝格積分，并且進一步把這場革命推進到了實分析。

我的文章雖然以勒貝格結尾，但這絲毫不代表微積分在勒貝格這里就走向了完結，即便這時候已經是20世紀初了。

20世紀60年代初，有一個叫魯濱遜的德國人重新撿起了萊布尼茨的無窮小量。他把實數擴展到非實數，直接把無窮大和無窮小變成了非實數域里的一個元素。所以他的理論可以直接處理無窮小量，這是第一個嚴格的無窮小理論。

我們知道，幽靈般的無窮小量在微積分建立初期掀起了腥風血雨，后來經過柯西和魏爾斯特拉斯的拼命搶救，才終于在堅實的ε-δ極限理論之上重建了微積分。柯西和魏爾斯特拉斯的這一套讓微積分嚴密化的方法被稱為標準分析。

而魯濱遜認為，無窮小量雖然不嚴謹，但是大家基于無窮小量做的微積分計算卻也都是正確的，這至少表明無窮小量里應該也包含著某種正確性。ε-δ極限是一種繞彎解決無窮小量不嚴謹的方法，但是這種方法并不是唯一的。魯濱遜選擇直接面對無窮小量，直接建立了另一種讓微積分嚴密化的方法。因此，與柯西和魏爾斯特拉斯的標準分析相對，魯濱遜的這種方法被稱為非標準分析。

提出了不完備定理的數學大神哥德爾就對非標準分析推崇備至，他認為非標準分析將會是未來的數學分析。他說：“在未來的世紀中，將要思量數學史中的一件大事，就是為什么在發明微積分300年后，第一個嚴格的無限小理論才發展起來。”

我們現在就處在哥德爾說的未來的世紀中，各位看官對這個問題有沒有什么看法呢？如果我的這篇文章能夠讓大家對微積分，對數學感興趣，進而開始自己獨立的思考這些問題，那就善莫大焉了~

此外，我希望長尾科技的這篇文章也能多多少少改變一下大家對數學的看法：數學不等于計算，數學也不等于應用，絕妙而深刻的數學思想（比如發現微分和積分是互逆過程）和嚴密的邏輯（如使用ε-δ定義極限）反而是更重要的。而且，數學的壯觀之美也往往需要站在后面兩個角度上才能體會到，我很難相信有人會覺得重復的做計算是很有趣的，這也是很多人不喜歡數學的原因。

但是，我絕對相信那些真正認識了數學的人，他們是發自內心的覺得數學美麗動人。

并不是那些數學大神們很奇怪，而是他們確實看到了常人沒能看到的絕美風景。