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萊布尼茨研究的問題以及研究的手法與牛頓不同，但是在本質(zhì)上是一樣的，都用到了極限計(jì)算。萊布尼茨首先定義了函數(shù)，在他1673年的一部手稿中用到了function一詞，表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量的縱坐標(biāo)，然后他研究曲線的切線。曲線的切線與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，比速度更具有幾何直觀，并且與光學(xué)以及行星運(yùn)動(dòng)聯(lián)系密切。對(duì)于給定的曲線 y=f(x)和點(diǎn)x0，我們希望得到過點(diǎn)A(x0,f(x0))的曲線的切線。如下圖： 圖1 點(diǎn)A(x0,f(x0))在曲線y=f(x)上，其中f(x0)為對(duì)應(yīng)x=x0時(shí)y軸的坐標(biāo)。根據(jù)定義，切線是一條經(jīng)過點(diǎn)A并且在點(diǎn)A附件與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線。依據(jù)直線方程，我們只需要再求出切線的斜率就可以得到切線方程了。可是如何計(jì)算斜率呢？類似牛頓的思考，在x軸的x0處給一個(gè)增量h，于是在y軸的f(x0)處可以得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的增量m=f(x0+h)-f(x0)。如圖1所示，比值m/h為割線AB的斜率，其中B的坐標(biāo)為（x0+h，f(x0+h)）。顯然，當(dāng)增量h趨于0時(shí)增量m也趨于0。可以想象這是割線AB與曲線將會(huì)只有一個(gè)交點(diǎn)，于是萊布尼茨定義這時(shí)的比值為切線的斜率，并且用符號(hào)dy/dx表示。這個(gè)符號(hào)研用至今，我們稱dy/dx為函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。經(jīng)過大約十二年的努力，萊布尼茨于1684年在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了他的第一篇關(guān)于微積分的論文，這也是第一篇系統(tǒng)闡述微積分的論文。比較前文“微積分的思想分析---牛頓篇”中“瞬時(shí)速度=[f(t0+△t)-f(t0)]/△t ”可以看到，萊布尼茨的方法與牛頓的方法實(shí)質(zhì)是一樣的，并且與牛頓一樣，萊布尼茨也不能很好地解釋極限運(yùn)算地規(guī)則。但是萊布尼茨是一位偉大地哲學(xué)家，面對(duì)來自各個(gè)方面地“過分苛刻”的批評(píng)，他在1695年的《教師學(xué)報(bào)》的文章中給出了富有哲理的，今天仍有價(jià)值的回答：“過分的審慎步應(yīng)該使我們拋棄創(chuàng)造的成果。”同時(shí)，萊布尼茨進(jìn)一步思考了無窮小量的階，認(rèn)為當(dāng)h是一個(gè)無窮小量時(shí)，諸如h2，h3這樣的h的任意次冪將是更小的量，可以忽略。1699年他在給朋友的一封信中寫道： “考慮這樣一種無窮小量將是有用的，當(dāng)計(jì)算它們的比的時(shí)候，不把它們當(dāng)作零，但是只要它們與不可比較的大量一起出現(xiàn)時(shí)，就把它們舍棄。例如，如果我們有x+dx，就把dx舍棄。” 可以看到，萊布尼茨已經(jīng)說出了我們今天在分析學(xué)中經(jīng)常使用的高階無窮小的思想。如果曲線方程為y=ax2，類似前文“微積分的思想分析---牛頓篇”中 m/h=(39.2h+4.9h2)/h =39.2+4.9h 的計(jì)算可以得到dy/dx=2ax,如果令a=4.9和x=4，則dy/dx=39.2，這與上式計(jì)算的結(jié)果是一致的。 微分遠(yuǎn)沒有導(dǎo)數(shù)那樣直觀，但與導(dǎo)數(shù)有著密切的聯(lián)系。當(dāng)導(dǎo)數(shù)dy/dx=2ax時(shí)，對(duì)應(yīng)的微分形式為dy=(2ax)dx。我們已知導(dǎo)數(shù)時(shí)，微分是函數(shù)增量的一個(gè)近似表達(dá)，當(dāng)x得到一個(gè)增量dx時(shí)則y得到一個(gè)增量dy，這個(gè)增量是dx的一個(gè)線性函數(shù)，截距為0，斜率為導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，這個(gè)增量必須非常小，否則會(huì)引起較大的誤差。 積分最初的目的是計(jì)算被曲線圍成的區(qū)域的面積。這是一個(gè)非常古老的問題，一直可以追溯到古希臘的歐多克斯和阿基米德。到了17世紀(jì)，借助直角坐標(biāo)系，人們可以把這樣的問題闡述得更加清晰了。 圖2 如圖2，要計(jì)算曲線y=x2下，a≦x≦b的面積。因?yàn)槲覀儠?huì)計(jì)算矩形的面積，于是就從矩形出發(fā)思考解決問題的方法。把區(qū)間[a,b]分為n等分，分點(diǎn)分別為x1,...xn-1,xn，其中xn=b，這樣可以得到n個(gè)寬為(b-a)/n，高為yi=xi2的小矩形，這些小矩形面積之和為 (b-a)·(x12+...+xn2)/n （1） 這個(gè)面積之和顯然要大于曲線下的面積，但是，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，面積之差將會(huì)逐漸減少。與求瞬時(shí)速度的想法一樣，如果n趨于無窮大(等價(jià)于1/n趨于0)時(shí)，上述面積之和就等于曲線下的面積。 下面我們來計(jì)算（1）式，由定義知道，對(duì)i=1,...,n，有xi=a+i(b-a)/n，因此（1）式可以寫為 [(b-a)/n]·[a2+(2a/n)(b-a)∑i+[(b-a)2/n2]∑i2] 其中，∑i表示對(duì)i由1到n求和，我們知道這個(gè)和等于(1/2)n(n+1)；∑i2表示對(duì)i2由1到n求和，這個(gè)和等于(1/6)n(n+1)(2n+1)。通過計(jì)算我們可以得到上式為： (b-a)[a2+(1+1/n)a(b-a)+(b-a)2(1/3+1/2n+1/6n2)] 按照萊布尼茨的想法，高階無窮小1/n和1/n2的項(xiàng)都可以忽略，于是，我們得到區(qū)間[a,b]上曲線y=x2下的面積=(1/3)(b3-a3) 多么美妙的計(jì)算方法，多么美妙的結(jié)果！ 可以把上面的計(jì)算方法推廣到一般，如果我們要計(jì)算曲線y=f(x)下，a≦x≦b的面積，對(duì)應(yīng)于“瞬時(shí)速度=[f(t0+△t)-f(t0)]/△t ”式可以得到小矩形面積之和為 (b-a)∑(1/n)f(xi) 然后再計(jì)算求和，忽略高階無窮小。萊布尼茨是制造符號(hào)的高手，他把這一系列過程用一個(gè)拉長(zhǎng)∑符號(hào)代替，把(b-a)/n用他曾發(fā)明的微分符號(hào)dx代替，于是有區(qū)間[a,b]上曲線y=f(x)下的面積∫baf(x)dx 于是，積分就建立起來了。由解析幾何知道，一個(gè)函數(shù)總能與一條曲線對(duì)應(yīng)，于是積分就有了很好的直觀解釋：一個(gè)函數(shù)的積分就是對(duì)應(yīng)曲線下的面積。 但是從上面的運(yùn)算可以知道，求和并不是一件簡(jiǎn)單的事情，是否有更加簡(jiǎn)捷的方法來計(jì)算常見的函數(shù)的積分呢？還是來分析函數(shù)y=f(x)=x2，我們已經(jīng)知道了這個(gè)函數(shù)的積分，如果令F(x)=x3/3,那么，積分的結(jié)果就可以寫成F(b)-F(a)。容易驗(yàn)證，F(xiàn)(x)的導(dǎo)數(shù)恰為f(x)，于是就再導(dǎo)數(shù)（微分）與積分之間建立起了橋梁：如果F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，那么 ∫baf(x)dx=F(b)-F(a) 為了紀(jì)念牛頓和萊布尼茨的貢獻(xiàn)，人們稱這個(gè)公式為牛頓-萊布尼茨公式。 容易看到，積分的本質(zhì)也是利用了極限運(yùn)算，可是對(duì)于具有如此威力的極限運(yùn)算，人們依然不能清楚地表達(dá)這種運(yùn)算的規(guī)則，因此不能給出合理的解釋。對(duì)于這個(gè)問題，將在后續(xù)“極限理論的建立”中予以闡釋。 |
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