FS、DFS、FT、DTFT、DFT、FFT、DCT變換的聯系與區別

前言

做圖像處理總是繞不過各種變換，在這里想把一些常見的容易混淆的變換整理一下，也是在查了不少資料。

傅里葉的兩個論點：1 周期信號都可以表示成諧波關系的正弦信號的加權和
2 非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來表示

總體可分為傅里葉級數（周期）和傅里葉變換（非周期），各自又有連續離散之分。

傅里葉級數（FS,DFS）：所以對于周期信號可以用一系列（連續周期為無窮個，離散周期為有限個）正弦波的疊加來表示。這些正弦波的頻率都是基頻的倍數。所以說周期信號的頻率是離散的。 而且，周期信號有一個特點，信號的周期越長，信號的基頻越小。當信號為周期信號時，傅立葉變換是不存在的，因為它不滿足離散信號序列絕對級數和收斂（連續傅立葉變換要求連續信號在時間上必須可積）這一傅立葉變換的充要條件。

傅里葉變換（FT,DTFT,DFT,FFT,DCT）:非周期信號可以看作周期無窮大的周期信號，那么它的基頻就是無窮小，這樣它的頻率組成就變成了連續的了。求這個連續頻率的譜線的過程就是傅立葉變換。
另外 連續對應變換后的非周期 離散對應變換后的周期

FS( 連續時間周期信號的傅里葉級數)

連續時間周期信號的傅里葉級數的諧波信號有無窮個，這是因為連續對應于非周期
即　原信號：連續周期
傅里葉級數展開：非周期離散（諧波系數（傅里葉系數）為非周期的，諧波頻率是離散的）

DFS（離散傅里葉級數）

離散傅里葉級數的諧波信號是有限的，這是因為離散對應于周期（第k個復指數序列和第N+k個是相等的。因此，離散周期函數的傅里葉級數只有N個頻率成分）
即　原信號：離散周期
傅里葉級數展開：周期離散（諧波系數（傅里葉系數）為周期的，諧波頻率是離散的）

這些序列的頻率等于周期序列的x[n]的基頻2π\piπ/N的整數倍，基波成分是

時域周期信號，頻域的頻率是基頻的倍數（離散的），且時域周期對應為基頻。

FT(連續時間非周期信號的傅里葉變換)

由FS變化而來，連續時間非周期信號可以看成連續時間周期信號的周期趨向于無窮大，此時傅里葉級數（FS）的頻率離散的諧波基頻趨于無窮小，離散頻率變成連續頻率。FS變為FT了。
即　　信號時域：連續非周期
FT變換頻域：非周期連續

這個Ω\OmegaΩ是角頻率,每秒轉過的弧度。

DTFT(離散時間傅里葉變換)

計算機只能處理離散信號，我們對圖（1）采樣，即乘以圖（3）變為圖（5），對應的頻域出現周期延拓，（2）與（4）卷積變為圖（6）。
即 　　信號時域：離散非周期
DTFT變換頻域：周期連續

這個ω\omegaω是數字域頻率，即角頻率×\times×時域采樣時間間隔，得到的是角度(即多少分之幾的π\piπ,是連續的)，與DTFT的角頻率（每秒轉過的弧度數）不同
假設時間采樣間隔是TsT_sTs,那么ejωn=ejΩTsne^{j\omega n}=e^{j\Omega T_sn}ejωn=ejΩTsn即ω=ΩTs\omega=\Omega T_sω=ΩTs

DFT(離散傅里葉變換)

對于DTFT時域是有限離散的可以被計算機處理，但頻域是無限連續的無法處理。此時需要頻域也是有限離散的，其實是周期離散取主值。
兩種理解：
1.我們同樣對頻域采樣，使得頻域也離散化。圖（６）與圖（８）乘積得到圖（10），時域周期延拓，即（5）與圖（7）卷積得到圖（9）。此時采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個數。
2.可以把有限長非周期序列假設為一無限長周期序列的一個主值周期，即對有限長非周期序列進行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS進行處理，即采用復指數基頻序列和此有限長時間序列取相關，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個"主值周期"的頻譜信息。即可以按DFS處理然后取主值區間。

即 　　信號時域：離散周期
DFT變換頻域：周期離散

FFT(快速傅里葉變換)

FFT的提出完全是為了快速計算DFT而已，它的本質就是DFT！我們常用的信號處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。過程相同結果不同。

DCT(離散余弦變換)

由于許多要處理的信號都是實信號，在使用DFT時由于傅里葉變換時由于實信號傅立葉變換的共軛對稱性導致DFT后在頻域中有一半的數據冗余。DCT變換共有8種。
一維（其中使用最廣泛的一種）：

其中N是一維數據的元素總數，c(u)系數使得DCT變換矩陣成為正交矩陣，正交特性在二維DCT變換中更能體現其優勢。一維DCT變換的復雜度是O(n^2)。

二維：將二維圖像從空間域轉換到頻率域。即計算出圖像是由哪些二維余弦波構成 。

我們將公式變換一下：

又有

其中F就是變換得到的系數，f是圖像的像素值，A是轉換矩陣，其中i為二維波的水平方向頻率，j為二維波的垂直方向頻率，取值范圍都是0-(N-1)，N是圖像塊的大小，

如發現錯誤，請指正，謝謝。
參考：1.https://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html
2.https://blog.csdn.net/clover13/article/details/79469851
3.https://blog.csdn.net/wordwarwordwar/article/details/66476646
4.https://www.jianshu.com/p/b923cd47ac4a
5.http://fourier.eng./e161/lectures/dct/node1.html
6.https://blog.csdn.net/qq_20613513/article/details/78744101