傅立葉變換的深入理解(轉帖）

專題討論四：關于傅里葉變換的討論[精彩]
有獎征集：大家討論一下傅里葉變換相關的內容：

1 變換的目的，意義，應用。

2 傅里葉級數與傅里葉變換的區別和聯系

3 連續傅里葉變換，離散時間傅里葉變換，離散傅里葉變換，序列的傅里葉變換，各自的定義，區別，聯系。

3 快速傅里葉變換的實質，常用的算法之間的區別和聯系，各自的優勢。

4 fft的應用
討論：
１、變換是時間變量函數變成相應變換域的某種變量函數，這樣使運算簡單，處理方便。變換域變換有ＦＴ（以頻域特性為主要研究對象）、ＬＴ與ＺＴ（注重研究極點及零點分析）、ＤＴＦＴ、ＤＦＴ、ＦＦＴ、ＤＴＷＴ等。
２、傅立葉變換是非周期信號作為周期信號的傅立葉級數（FST）一種極限。
　　傅立葉級數—周期信號，傅立葉變換—非周期信號
３、非周期連續—— FT ——連續非周期
         連續周期—— FST ——非周期離散
         非周期離散——DTFT ——連續周期
         離散周期——DFT ——周期離散
         離散傅里葉變換（DFT）與序列傅里葉變換（DTFT）都跟Ｚ變換有關，DTFT是單位圓上的Ｚ變換，DFT是Ｚ變換在單位圓的均勻抽樣。
4、快速傅里葉變換（FFT）的實質是“分而治之”，利用對稱性、周期性和可約性將某些項合并，將DFT序列分解為短序列，降低運算次數，提高運算速度。
5、快速傅里葉變換的應用十分廣泛，凡是可以利用傅里葉變換來進行分析、綜合、變換的地方，都可以利用FFT算法及運用數字計算技術來加以實現。FFT在數字通信、語音分析、圖像處理、匹配濾波等方面有廣泛的應用。
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時域上看不清，在頻域上也許會簡單，由于T與F的倒數關系，T上的采樣會在F上無限，反之也是如此。
宏觀與微觀之間的關系吧。

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從濾波關點看，復立葉變換相當于等寬帶的Q值不等的濾波器組對信號進行濾波，采用常數Q的濾波器組則是小波分析
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傅里葉變換（FT）是一種將信號從時域變換到頻域的變換形式。它在聲學、電信、電力系統、信號處理等領域有廣泛的應用。我們希望能在計算機上實現信號的頻譜分析或其它工作。計算機對信號的要求是：在時域和頻域都應該是離散的，而且都應該是有限長的。而傅里葉變換（FT）僅能處理連續信號，DFT就是應這種需要而誕生的。它是傅里葉變換在離散域的表示形式。但是一般來說，DFT的運算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里葉變換算法FFT之前，其應用領域一直難以拓展，是FFT的提出使DFT的實現變得接近實時。DFT的應用領域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的場合之外，FFT算法基本上可以滿足工業應用的要求。由于數字信號處理的其它運算都可以由DFT來實現，因此FFT算法是數字信號處理的重要基石。

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對傅立葉變換的理解
傅立葉變化是對信號的正交分解，e^jwt經過現行時不變系統后輸出信號的形式不變，這無論在理論上還是實踐上都有很大的意義。在數字信號出現后，DFT的快速形式FFT實現了計算機處理信號，提高了它的實用價值。
傅立葉級數是傅立葉變換的特殊形式，其所處理的信號是周期的。如果取出周期信號的一個周期作為時域有限信號，對它的變換進行可以得到級數形式。在鄭君里的《信號與系統》講得很透徹。
離散傅立葉變換和序列的傅立葉變換是相同的，
連續傅立葉變換（FT)時域和頻域都是連續的（周期信號的變換頻域離散），離散時間傅立葉變換(DTFT)時域離散，頻域連續且周期，離散傅里葉變換(DFT)是對鐵礬土的抽樣。
個人這么覺得
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傅立葉級數一般可以理解為：信號可展開成正交函數線性組合的無窮級數
     傅里葉變換就是對模擬信號進行數字化傅里葉處理，以便信號在處理后運算更方便。

從物理方面來討論
傅立葉變換是一個密度函數的概念，是一個連續譜，包含了從零到無限高，     頻的所有頻率分量， 各頻率分量的頻率不成諧波 關系
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還有一種說法，是我從別處看來的
1：（時域）周期信號的頻譜是離散的；離散的時間信號即（時間）序列的頻譜是周期的。2：傅里葉變換主要是針對連續時間信號，離散時間信號也可以應用；數字信號（離散時間信號）主要使用離散FT，因為便于數字運算。3：離散FT等效于FT在在頻域采樣，變換后在頻域也是離散序列。這樣更利于數字運算。4：有限長序列可以看成周期序列的一個周期，所以有限長序列與周期序列沒有本質區別（實際上就是一樣的）。這樣不論在時域還是頻域，都可以表示（有限長）。同時還可以FFT。

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從數學上看，離散傅立葉變換是一個特殊范德爾矩陣的變換，因為這種矩陣可以分解，才存在快速算法。
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1.傅立葉分析的思想最早來自傅立葉對周期函數的研究,通過傅立葉級數可以把周期函數展開成無窮級數的形式.
之后一百多年隨著電力,電子,計算機技術的逐漸發展,傅立葉分析也得到越來越廣泛的應用.
對于變換的思想我覺得根本來說是為了從不同的角度來認識信號,而對于不同的應用,也有不同的變換方法.
而與變換緊密相關的另一個就是卷積的概念.

2.傅立葉級數是以三角函數或指數函數為基對周期信號的無窮級數展開.
如果把周期函數的周期取作無窮大,對傅立葉級數取極限即得到傅立葉變換.
除了針對的信號不同,對于傅立葉級數,得到的是信號的頻譜(來源于物理學中譜的概念),而傅立葉變換得到的是信號的頻譜密度.
當然,在引入沖擊函數后,傅立葉級數是可以統一于傅立葉變換的.

3.傅立葉級數(FS)     對應時域連續周期信號
     傅立葉變換(FT)     對應時域連續非周期信號
     離散傅立葉級數(DFS)              對應時域離散周期信號
     離散時間傅立葉變換(DTFT)     對應時域離散非周期信號

     離散傅立葉變換(DFT)     更確切的說是把一個離散非周期信號(N點長的序列)周期延拓成周期信號后,取傅立葉級數的主值區間得到的,所以是一種近似的變換,但是這種方法卻方便計算機計算,隨后也就有了快速算法即快速傅立葉變換(FFT)

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DFT/FFT是將線性卷積轉為循環卷積的有用工具，將卷積關系轉為乘積關系,是絕大多數快速信號處理的出發點,幾乎長盛不衰
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最近畢設中用了下FFT的應用。
在信號分析中，通過傅立葉換可以在頻率中很容易的找出雜亂信號中各頻率分量的幅度譜和相位譜。幅度譜可表示對應頻率的能量，而相位譜可表示對應頻率的相位特征。這在生理電信號分析，雷達信號中都有應用。
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FT就是在另外一個DOMAIN來表示信號

確定F 空間的每一個點不僅要觀察T 空間的一個點,而且要觀察T 空間的所有的點以確定在該F 空間震動的強度(也就是頻譜的數值)
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TD-SCDMA
midamble碼信道估計利用了時域圓周卷積等效于頻域點乘特性，用到FFT
uppch檢測匹配濾波，循環相關，用到FFT
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對于連續時間周期信號而言，其Fourier級數就是他的一個周期的截取后的非周期信號的的傅立葉變換采樣，連續時間信號采樣后所得到的離散信號的DTFT可看成原來連續時間傅立葉變換在橫軸做一下模擬——數字頻率變換后進行周期延拓而成。離散傅里葉變換可以看成DTFT在主值區間（0到2*pi）的等間隔采樣
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今天才注意到這個帖子，談談我對連續信號的看法：
對于時域上無限，頻域上無限的連續信號，也就是最一般信號，
用傅里葉變換分析它（當然需要滿足傅里葉變換存在的條件）。

對于時域上有限的連續信號，同樣可以用傅里葉變換分析它，
但是用傅里葉級數的表示要簡潔得多，傅里葉級數分解可以理解為信號在
頻域上的采樣。即時域傅里葉級數分解對應于頻域采樣。

對于頻域上有限的連續信號，同樣可以用傅里葉變換分析它，
但是用時域采樣樣本內插的表示要簡潔得多，這其實就是在頻域上
對信號進行傅里葉級數分解。即時域采樣對應于頻域傅里葉級數分解。

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1.對于傅里葉級數，無論是連續信號或是離散信號，均是使用一組正交函數（正交集），對其進行加權求和，來逼近原始周期信號，通常來說，連續時間傅里葉級數的正交集中有無窮多個函數，而由于離散時間正交函數都是周期的，若周期為N，則離散時間傅里葉級數的正交集中只有N個函數。
      在加權求和過程中所使用的加權系數就構成了周期信號的系數譜，對于連續周期信號，其系數譜是非周期的；而對于離散周期信號，其系數譜則是以N為周期的。

2.傅里葉變換體現了信號的時域與頻域之間的一種變換關系，我們可以由傅里葉級數的表達式不是十分嚴格的推導出來，連續時間信號的頻譜是非周期的，而離散時間信號的頻譜則是以2*pi為周期延拓的。并且，我們可以看到，傅里葉級數的系數是對應主值區間的非周期信號頻譜的采樣值；換句話說，一個非周期其信號的頻譜是這個信號周期延拓所得信號傅里葉級數系數的包絡，兩者在采樣點上的值是相等的。
      值得注意的是，一個周期信號的傅里葉變換是在其基波頻率整數倍上的一串沖擊，加權系數恰好是信號傅里葉級數的系數。

3.DTFT與DFT的關系
     我們知道，一個N點離散時間序列的傅里葉變換（DTFT）所的頻譜是以（2*pi）為周期進行延拓的連續函數，由采樣定理我們知道，時域進行采樣，則頻域周期延拓；同理，如果在頻域進行采樣，則時域也會周期延拓。離散傅里葉變換（DFT）就是基于這個理論，在頻域進行采樣，一個周期內采N個點（與序列點數相同） ，從而將信號的頻譜離散化，得到一的重要的對應關系：一個N點的離散時間信號可以用頻域內一個N點序列來唯一確定，這就是DFT表達式所揭示的內容。
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我認為傅立葉的變換是對非周期信號的而言的　變換得到的是連續的譜密度函數　nw->W
在B P.lathi 的　線性系統與信號　（劉樹樘譯）中有詳細的講述
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付立葉變換是從付立葉級數推演而來的，付立葉級數是所有周期函數（信號）都可以分解成一系列的正交的三角函數，這樣，周期函數對應的付立葉級數即是它的頻譜函數，也就是分離的譜線。而為了分析非周期函數，引入了譜密度的概念，即非周期信號的譜函數無窮小，但是譜密度有值。這樣，將非周期信號看成是周期無限長的周期信號，并引入F(t)/T，即為非周期函數的譜密度函數。為了概念上的統一，引入了沖激函數的概念，這樣，周期信號也可以有付立葉變換，其譜密度函數為沖激。

付立葉變換對于連續時間信號的分析具有重要作用，用于分析信號的頻率分量，或將信號在頻域上進行處理。引用頻域概念后，通信與數學的結合就更加緊密了。通信的發展其實就是數學的發展。

至于離散付立葉變換，其實也是對數字信號變換到頻域進行分析處理，它對數字信號處理的作用相當大。數字信號處理脫離了模擬時期對信號進行處理完全依賴于器件的境況，可以直接通過計算來進行信號處理。如數字濾波器，只是用系統的系數對進入的數字信號進行一定的計算，信號出系統后即得到處理后的數據在時域上的表達。

離散付立葉變換在理解上與連續信號的付立葉變換不太相同，主要是離散信號的付立葉變換汲及到周期延拓，以及圓周卷積等。

快速離散付葉變換其實是一種對付立葉變換的算法，它的出現解決了離散付立葉變換的計算量極大、不實用的問題，使付立葉變換的計算量降低了一個或幾個數量級，從而使離散付立葉變換得到了廣泛應用。另外，FFT的出現也解決了相當多的計算問題，使得其它計算也可以通過FFT來解決。
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意義 傅里葉變換具有惟一性.傅氏變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內在聯系.討論傅里葉變換的性質,目的在于
了解特性的內在聯系; 用性質求F(ω); 了解在通信系統領域中的應用.
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傅氏級數與傅氏變換
目前我們熟悉的是信號幅度隨著時間變化而變化的常見表示方式，比如正弦信號的幅度隨著時間按正弦函數的規律變化；另一方面，對于正弦信號，如果知道其振幅、頻率和相位，則正弦信號的波形也惟一確定。根據這個原理和傅里葉級數理論，滿足一定條件的周期信號都可以分解為不同頻率的正弦分量的線性組合，從而我們用各個正弦分量的頻率-幅度、頻率-相位來表示周期信號的描述方式就稱為周期信號的頻譜表示，隨著對信號研究的深入，我們將周期信號的頻譜表示又推廣到非周期信號的頻譜表示，即通常的傅里葉變換。
對于周期信號，其頻譜一般用傅里葉級數表示，而傅里葉級數的系數就稱為信號的頻譜.
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快速傅里葉變換

fast Fourier trans formation

　　進行有限離散傅里葉變換(DFT)的快速算法。簡稱FFT。一個復雜的波形可以分解為一系列諧波。針對這一物理現象，在數學上建立并發展了一套有效的研究方法，這就是傅里葉分析。利用電子計算機進行傅里葉分析，主要處理離散函數的傅里葉展開，也就是三角函數的插值問題 。一維DFT所作的工作主要是把一個N元數組A（i）（i＝0，1，…，N－1）通過一種線性變換變成另一個N元數組X（i）（i＝0 ，…N ，-1 ） 。如果直接計算全部數組元素大約需要進行 N2次的乘法和加法運算，當N很大時其計算量是很驚人的 。1965年美國人庫利和圖基提出一種能大幅度減少運算次數的快速算法，即FFT算法 ，它的基本原 理是將一個變換分解為兩個變換的乘積，并利用三角函數的周期性質，將原先的變換公式重新組合為新的公式 ，從而把運算次數減少到 Nlog2N 的量級 。這就是說，FFT算法比DFT算法提高工效 N／log2N倍 ，例如N＝220時，約提高5萬倍速度，可見當N很大時，這是一個了不起的提高。FFT技術在譜分析、數字濾波、結構分析 、系統分析、圖像與信號處理，以及物探、天線、雷達、衛星 、醫療等眾多技術領域已獲得成功的應用。
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１．這些變換的實質都一樣,都是將一個復雜信號在一正交系中進行分解,不同在于選擇的基不同.付氏變換選擇的是復指數與三角基，小波變換選擇了其它的基．
２.信號在時域與頻域具有對偶性.一個域的周期性與連續性對應于另一個域的與非周期，比如對于周期性信號連續信號，具絕對可積條件時，在可以進行級數展開，得到了離散的非周期頻譜．
３．ＤＦＴ，ＤＴＦＴ，ＤＦＳ，ＦＦＴ的聯系與區別
ＤＦＴ與ＦＦＴ是一個本質，ＦＦＴ是ＤＦＴ的一種算法．
ＤＦＳ是discrete fourier seriers,對離散周期信號進行級數展開.DFT是將DFS取主值,DFS是DFT的周期延拓.
DTFT是對Discrete time fourier transformation,是對序列的FT,得到連續的周期譜,而DFT,FFT得到是有限長的非周期離散譜,不是一個.
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傅立葉級數是周期信號的另一種時域的表達方式，也就是正交的級數，它不同頻率的波形的疊加。
而傅立葉變換就是完全的頻域分析。

本文來自CSDN博客，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/muyuyuzhong/archive/2008/06/22/2574864.aspx