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人類社會進步的車輪滾滾向前，在前進的過程中，思想變革與技術革新總是同步進行。歷史上最恢宏的思想變革莫過于文藝復興。 11至14世紀，歐洲經濟復蘇并發展，城市興起，中南歐的市民和部分知識分子想用一種新的文化體系代替當時保守的基督教，便尊崇古希臘與古羅馬文化，文藝復興開始。經過幾個世紀的演變，文藝復興在16世紀達到頂峰。同時，生產力飛速發展，資本主義開始萌芽，人類需求向自然科學提出了眾多課題，迫切需要力學、天文學等基礎學科給予解答。歸納起來，有兩個基本問題： 1.已知路程求速度； 2.已知速度求路程。  笛卡爾 此時，一個高歌“我思故我在”的神學者將幾何與代數相結合，創立了“解析幾何學”，他就是笛卡爾（R. Descartes）。這是一個極端了不起的工作，這讓他成為了人們常說的“解析幾何之父”。但是他還有另一個更為響亮的名頭——“近代科學的始祖”（由于在哲學方面的杰出貢獻，黑格爾稱他是“現代哲學之父”）。在笛卡爾通透的直角坐標系中，描述運動的函數關系可以和幾何中曲線和曲面問題的研究完成驚人的統一。和力學的兩個問題對應，還有兩個基本幾何問題： 1.已知曲線求切線； 2.已知曲線求面積。 我們現在當然知道，所謂的力學和幾何的兩個基本問題，其實對應了微積分中的微分與積分，但是在它們出現之前，還有這許多的故事。 1615年，開普勒在其《酒桶的立體幾何學》一書中，利用阿基米德的“窮竭法”求出387種旋轉體體積； 1635年，意大利數學家卡瓦列利（B. Cavalieri）在其《不可分連續量的幾何學》一書中，引入了所謂的“不可分量”，提出卡瓦列利原理，它是計算面積和體積的有力工具； 1656年，英國人沃里斯（J. Wallis）把卡瓦列利的方法系統化，使“不可分量”更接近于定積分的計算，并在其《無窮算術》中提出了極限的思想； 1638年，最著名的業余數學家費馬在其《求最大值和最小值的方法》一書中，給出了求曲線的切線和函數極值的方法； 牛頓在劍橋大學的老師巴羅（I. Barrow）不僅給出了求曲線切線的方法，還揭示了求曲線切線和求曲線所圍成的面積這兩個問題的互逆性。  萊布尼茨和牛頓 高潮來了，17世紀還出現了兩個大牛人，牛頓和萊布尼茨。牛頓大家都很熟悉，是歷史上最偉大的數學家，沒有之一，也是偉大的物理學家，另外還是一個神學家。此外，他還是英國的皇家學會會長和皇家鑄幣廠廠長，渾身散發著貴族的光芒。相反，萊布尼茨是一個典型的屌絲式牛人，本來姓萊布尼茨（Leibnitz），但是他經常自稱男爵，便把名字改為萊布尼茲（Leibniz），顯得有貴族氣質（身為中國人，我承認我看不出來），可惜后來無人知道他到底是否擁有此頭銜。大家知道的事實是，作為律師的他經常往返各大城鎮，很多數學公式都是在顛簸的馬車上推導出來的。 不管是貴族還是屌絲，牛頓和萊布尼茨兩人最終獨立地創立了微積分。其中牛頓是從力學的角度出發，而萊布尼茨是從幾何學的角度出發。牛頓于1665年創造了流數法，并據此從行星運動三大定律推出了萬有引力定律；萊布尼茨則從變量增量引入微分，突出了切線的概念。牛頓的“流術”其實就是導數，而萊布尼茨玩的是微分，它們的本質是一樣一樣的。 微積分橫空出世，立刻顯示出強大的威力，解決了很多的實際問題。但是微積分當時并沒有確切的數學定義，而且一些基本公式的推導有一些明顯矛盾的地方。  上述這些運算看起來有很大的隨意性。馬克思挖苦說：“這種新發現的計算法，就是通過數學上肯定是不正確的途徑得出了正確的結果”。很容易就可以看出，導致矛盾的原因在于：“無窮小量”到底是零不是零？ 可惜，當時牛頓和萊布尼茨兩位大牛都無法回答這一問題，英國主教還曾刻薄地說“無窮小量是逝去的量的鬼魂”。這樣就導致了歷史上的第二次數學危機。 一百多年來，大家好像是達成了共識，三緘其口，統一回避這一尷尬的事實。但是，隨著“熱傳導”這一大課題的研究，這一問題到了無法回避的地步。 “避無可避，無需再避。” 轟轟烈烈的微積分基礎重構過程開始了。 1811年，傅里葉提出了三角級數，可以將任意函數表示成無窮項三角函數之和的形式； 1821年， 法國數學家柯西（Cauchy）在《分析教程》一書中，給出了極限概念比較精確的分析定義，并以極限概念為基礎，給出了無窮小量、無窮級數的“和”等概念的較為明確的定義； 1855年，德國數學家維爾斯特拉斯（K. Weierstrass）（數學家都喜歡他，大一學生都痛恨他）總結了前人的工作，給出了極限的嚴格定義。 至此，微積分根基重建工程才算基本結束。維爾斯特拉斯后來還與德國數學家戴德金（R. Dedekind）和康托（G. Cantor）一起創立了實數理論。康托還建立了一般集合理論，很可惜這一理論在一些深刻的悖論的沖擊下千瘡百孔，導致了“第三次數學危機”，這是后話了。  維爾斯特拉斯 從1665年牛頓創造流數法，到1855年維爾斯特拉斯給出極限的嚴格定義，經歷了190年；從我國魏晉時期的割圓術算起，經歷了1600多年；若從阿基米德的“窮竭法”算起，經歷了2000多年。這一事實告訴我們：人們對客觀世界的認識是逐步深化的，而一個理論的誕生，需要許多人艱辛的努力。 |
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