自然數集，整數集，有理數集等都有字母表示，為什么無理數集沒有

在網上翻到一個非常有意思的問題：

這個問題乍看起來無厘頭，但實際上是個非常深刻的問題，涉及到抽象代數(abstract algebra)的一些基本概念，因此我打算寫篇文章來詳細闡述一下。

人類的數學從數數開始，最早誕生的概念是自然數(natrual number)。后來隨著數學應用范圍的擴大，又產生了新類型的數。

初中時我們對數的體系做了詳細地介紹

到了高中我們又學了集合的概念，從集合的角度來研究數。為了敘述的方面，我們把由不同類型的數組成的集合用一個字母來表示，我們學過的有如下幾個：

• 自然數集：N

• 整數集：Z

• 有理數集：Q

• 實數集：R

• 復數集：C

相信很多小伙伴在這里也會碰到同這位網友一樣的疑問：無理數(irrational number)也是很重要的數的類型，為什么它們的集合沒有字母表示呢？是書上忘了講，還是說數學家懶得起名字？

其實，無理數集沒有用字母表示是有其中的道理的，要弄清楚這個道理，就得先弄清楚三個基本概念：集合(set)，二元運算(binary operation)，和封閉(closed)。

基本概念

• 集合

集合這個概念我們已經很清楚了，指的就是具有某些特定性質的元素做成的集體。當然關于集合的精確定義還有很多需要討論，但是理解到這個層次也就足夠了。

• 二元運算

二元運算我們其實也已經很熟悉了，但是之前沒有給它做出過精確的定義。用不太正式的語言來敘述，一個二元運算就是一種把兩個數變成一個數的對應法則。比如加法就是一個二元運算，因為他把1和1變成2，把2和3變成5等等。同樣道理，四則運算加減乘除都是二元運算。

不過我們一般把減法運算看作是加法運算的逆運算，把除法運算看作是乘法運算的逆運算，因此最基本的二元運算只有兩種。

于是有人就會問了，既然有二元運算，那有沒有一元運算呢？當然是有的，所謂的一元運算，無非就是把一個數變成另一個數唄，我們常見的，比如對數運算，開方運算，都是一元運算。但其實，所謂的一元運算，就相當于我們學過的函數。

同樣道理還會有三元運算，四元運算，n元運算等等，我們不再做過多討論。

• 封閉

“封閉”其實是理解本文最核心的一個概念。

封閉是建立在集合與二元運算的概念的基礎之上的。

對于某個數集和某種運算，如果從該數集里面任意挑兩個數，做二元運算所得到的結果仍然是這個集合中的數，就說該數集對于這個二元運算是封閉的。

比如舉個最簡單的例子，自然數集對加法就是封閉的，因為任意兩個自然數相加的結果，還是一個自然數。而自然數集對減法運算不封閉，比如我隨便就可以舉出兩個數來2和3，他倆都是自然數，但是2-3=-1，它就不是自然數了。

封閉

要回答本文提出的問題，就得從封閉這個概念來著手。

我們先來分析一下已知的集合對四則運算的封閉性。

• 自然數集N，對于加法運算和乘法運算都是封閉的，但是對于減法運算和除法運算不封閉。

• 整數集Z，對于加法運算，減法運算，乘法運算都是封閉的，但是對于除法運算不封閉。

• 有理數集Q，對于四則運算都是封閉的。

• 實數集R，對于四則運算都是封閉的。

• 復數集C，對于四則運算都是封閉的。

這里我想特別強調一下有理數集，有理數集對加減乘除4則運算都封閉，不是一件很明顯的事情，我們需要有嚴格的證明。

所謂有理數就是可以寫成兩個整數之比的數，所以我們假設有兩個有理數b1/a1，b2/a2，其中a1、b1、a2、b2都是整數，考察一下它們做四則運算的結果：

可以看出，四個運算結果依然都還是有理數，這就證明了有理數集對四則運算都是封閉的。

這里我想說的是，數學家們已經證明了：有理數集是對加減乘除四則運算都封閉的最小的數集。意思就是說任何比有理數還要小的集合，哪怕只比有理數集少一個數，就不再對加減乘除四則運算封閉了。

在抽象代數學中，我們把對加減乘除四則運算都封閉的集合稱為一個數域(number field)，可以看出，實數集和復數集都是數域。而我們上面提到的結論就是：有理數集是最小的數域。換句話說，任何數域都包含有理數集作為它的子集。

無理數集

分析完這些，我們就可以來看看無理數集了。我們會發現，無理數及對四則運算都不封閉。我們很容易就能舉出例子來：

• 對加法：√2和-√2都是無理數，但是加在一起等于0，0不是有理數。

• 對減法：√2和-√2的例子可以看成是√2-√2，結果也是0。

• 對乘法：√2×√2，結果是2，2不是無理數。

• 對除法：√2÷√2，結果是1，1不是無理數。

原來無理數集是個如此糟糕的集合！這就是我們不給它用字母表示的原因。

在現代代數學中，數學家們主要關注的就是集合及集合中元素的運算結構，產生了群(group)，環(ring)，域(field)等一系列概念。

一個集合上某個運算是封閉的，那么研究它才有意義，會有很多很美好的性質。但是如果運算不封閉，那么研究起來就會雜亂無章，并沒有太大意義。

對于前面五個集合，都存在至少一種運算使其封閉，我們就利用這種封閉性來得出不少新的性質，解決了很多數學問題，甚至構造出更多更復雜的結合。數學家們經常使用這五個集合，為了敘述上的方便，就拿五個字母來代替他們。

但是對于無理數集合，因為它對四則運算都不封閉，因此無法得到像前面五個集合那樣豐富的性質，使用起來也就不如它們頻繁，所以我們就沒有必要拿一個單獨的字母來命名它。

結束語

講到這里就不得不稍微提一下近世代數(modern algebra)的發展。

近世代數中最主要的概念——群，思想起源于19世紀法國數學天才伽羅瓦(Galois，1811～1832)。伽羅瓦利用群論的方法，徹底解決了五次及以上方程根式解的問題，是數學發展史上開天辟地的事情。我這位曠世數學天才卻因為意外而英年早逝，年僅21歲，是人類數學史上的一大憾事。

不過，我們現在在教科書上學到的代數學之所以長這個樣子，則主要歸功于20世紀德國女數學家，被譽為“現代代數之母”的艾米·諾特(Emmy Noether，1882～1935)。諾特是數學史上毫無爭議的最偉大的女數學家，他和他的學生所形成的“諾特學派”，徹底改變了代數學的全貌。