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數(shù)系的擴(kuò)充——復(fù)數(shù)
在人類歷史發(fā)展過程中,為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要,數(shù)的概念在不斷地發(fā)展著。為了計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了正整數(shù),為了測量等需要產(chǎn)生了分?jǐn)?shù),為了刻畫具有相反意義的量產(chǎn)生了負(fù)數(shù),為解決不可公度的問題產(chǎn)生了無理數(shù)等等。 在數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的解決過程中,可以清楚地看到,數(shù)集是在按某種“規(guī)則”不斷擴(kuò)充的。在自然數(shù)集中,加法和乘法總可以實(shí)施。但是,由于小數(shù)不能減大數(shù),方程x+4=0無解，為此引入了負(fù)數(shù),數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集。在整數(shù)集中,加法、減法和乘法總可以實(shí)施。但是,由于除法只能解決整除的問題,方程3x-2=0無解，為此引入分?jǐn)?shù),數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集。在有理數(shù)集中,加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不為零)總可以實(shí)施。但是,開方的結(jié)果可能不是有理數(shù),方程x2-2=0無解，為此引入無理數(shù),數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。在實(shí)數(shù)集中,加、減、乘、除(除數(shù)不為零)總可以實(shí)施,并解決了正數(shù)的開方問題。 從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集,每一次數(shù)的概念的發(fā)展,新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)而得來的。在新的數(shù)集中,原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用,同時解決了某些運(yùn)算在原來數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾。 現(xiàn)在,在實(shí)數(shù)集中,我們又面臨方程x2+1=0無解,負(fù)數(shù)不能開平方的問題。這表明,數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展,實(shí)數(shù)集要進(jìn)一步擴(kuò)充。 實(shí)數(shù)集應(yīng)怎樣擴(kuò)充呢？ 為了使方程x2+1=0有解,使實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算總可以實(shí)施,實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充就從平方等于-1的“新數(shù)”開始。 為此,我們引入一個新數(shù)i,叫做虛數(shù)單位(imaginary unit),并規(guī)定:①i2=-1;②i與實(shí)數(shù)一起可以按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行四則運(yùn)算。 《標(biāo)準(zhǔn)》指出:數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求,復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充；要求學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性,學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識,體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。從內(nèi)容上可以看到,在復(fù)數(shù)基本概念引入、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義等方面,《標(biāo)準(zhǔn)》和《大綱》的要求是一致的。而在數(shù)系的擴(kuò)充過程、體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾等方面,《標(biāo)準(zhǔn)》的要求較高。《標(biāo)準(zhǔn)》不僅僅為了追求知識,關(guān)鍵是通過知識的發(fā)生、發(fā)展過程,讓學(xué)生感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。同時,我們也看到,《標(biāo)準(zhǔn)》在復(fù)數(shù)內(nèi)容上少于《大綱》,尤其是對復(fù)數(shù)的三角形式未做介紹。 在復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算的教學(xué)中,《標(biāo)準(zhǔn)》建議:避免繁瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練,對復(fù)數(shù)感興趣的學(xué)生,可以給他們安排一些引申的內(nèi)容,如求x3=1的根，介紹代數(shù)學(xué)基本定理等。 三、相關(guān)鏈接 (1)嚴(yán)士健等主編:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀》 第九章 選修系列1、系列2 (2)有關(guān)復(fù)數(shù)的教學(xué)(略) |
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