前沿普及：齋藤毅講何為算術幾何學

4.虧格與有理點

19世紀代數曲線的幾何理論，也就是黎曼面的理論發展起來了，繼承這一發展，在20世紀將其應用于數論成為了潮流。有理系數方程  的有理數解  稱為由  定義的代數曲線  的「有理點」（rational point）。例如，「費馬大定理」 （Fermat's last theorem）可以這樣表述為關于代數曲線的有理點的定理：由方程  定義的代數曲線的有理點，當  為奇數時僅有  兩個，當  為偶數時僅有  四個。

代數曲線  作為黎曼面的形狀是幾何性質，而  的有理數解是數論性質，幾何性質統制著數論性質，這么說的話可能有點不可思議。事情是這樣的，在有些情形使用幾何性質可以有系統地構造出有理點，否則就能證明有理點很少。費馬大定理的證明方法也要區分兩種情形， 的情形只用虧格  的代數曲線就可以證明， 的情形就對應于虧格大于等于  的代數曲線。

從虧格  的情形開始。虧格  的代數曲線就是由二次方程

（ 是非零有理數）定義的「二次曲線」（conic curve）。這條曲線  上有一個有理點  的話，那么其余的有理點全部可以作為過點  且斜率為有理數的直線與  的交點以幾何的方式求出來。

例如，假設  由  所定義，過點  且斜率為  的直線與  交點的坐標是  （參見圖3）。這樣一來就得到了  與「射影直線」（projective line) 的同構。置  為既約分數  并消去分母，就可以解出如下問題。

圖3 二次曲線  的有理點

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問題3 假設  為方程  的整數解，且  的最大公約數為 。

1. 證明  與  中有一個為偶數。
2. 假設  為偶數，證明存在互素的整數  使得 。

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在存在有理點的情形，如上所示可以得到與射影直線  的同構；有理點的有無也可以比較簡單地判定出來。例如設  為素數，那么  上有無有理點，用  被  除的余數就能判定出來。可知  除以  余  或  時有有理點，余  或  時無有理點。證明無解不那么難，不過證明有解就沒那么簡單了。

一般地，我們知道如下事項。有理數域  是實數域  的子域，也可以認為是隨著每個素數  確定的 「 進域」(p-adic field）的子域。如果曲線有有理點，那么因為有理數想成實數也可以，想成  進數也可以，所以曲線也有坐標為實數的點與坐標為  進數的點。反之，如果二次曲線  有坐標為實數的點，并且對于所有素數  都存在坐標為  進數的點，那么我們就知道  上存在有理點。

于是我們就說，對于二次曲線的有理點成立「局部整體原理」 （local-global principle) 。一元函數域是代數曲線上的函數所成之域，類似地，把有理數域想成稱為  的幾何對象上的函數所成之域， 中的點就對應于素數。進一步朝  上添加一個對應于有理數域到實數域中嵌入的無限素點，就得到一個緊化的對象（圖4）。如果在這個對象的所有點處都有二次曲線  的點，那么  就有有理點。像這樣我們就可以認為從局部性質導出了整體性質。

圖4  與無限素點

下面來談虧格為  的情形。在此情形，如果有一個有理點，那么取那個有理點為無窮遠點  就可以選取恰好的坐標系使得曲線成為由方程

（ 是無重根的有理系數三次式）定義的橢圓曲線。之前我們把  上的橢圓曲線想成是復平面對于格子  的商 ，那么就確定了其上的「加法群」（additive group）結構，其實這個結構可以代數式地定義。

圖5 橢圓曲線上的加法  

對于由(8)定義的橢圓曲線  上的三點 ，規定當  三點共線時有 ，就可以幾何式地定義  的有理點全體所成之集合  上的加法群結構，在這個定義下無窮遠點  就成為加法群的零元。圖5即表示這種加法。此時我們知道  是有限生成阿貝爾群。這個結果稱為「莫德爾定理」 （Mordell‘s theorem）

對于無有理點的虧格  曲線，還有未解決的大問題?，F在知道的是，關于虧格  情形有理點的有無，局部整體原理不成立。在多大程度上不成立就是個問題，這是稱為「BSD猜想」（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) 的未解決問題的一部分。因為詳細解說需要太多預備知識，所以我們在這里就不作更多展開了。

虧格大于等于  的情況與虧格為  或  的場合不同，沒有了逐次構作有理點的幾何手段。于是在這種情形證明了有理點只有有限多個。這是稱為「莫德爾猜想」 （Mordell's conjecture）的問題，由法爾廷斯解決了。

5. 魏伊猜想

回到Zeta函數的話題。因為故事漸漸迫近核心部分了，所以會困難起來，要稍微用一些代數幾何的術語。設  為定義在有限域  上的射影「代數簇」（algebraic variety）。

不太熟悉這套話語的人暫且這么想就夠了： 是射影空間 內由一組齊次多項式  定義的，對于自然數 ，確定了有限集合

此處  的意義解說如下：考慮從有限域  上的  維線性空間  中除去  所得的集合，以及定義在這個集合上的“生成同一個  維線性子空間”的等價關系，那么  就是這個集合對這一等價關系的商集。

雖然  的Zeta函數也可以像（3）那樣用歐拉乘積來定義，不過此處用有限集合  的元素個數  來敘述。形式冪級數 定義為

在這個式子中代入 ，Zeta函數  就用 來定義。

想要寫成歐拉乘積的話，像問題1的解答那么做就可以了。像問題1的解答那么做也可以明白，如果  是  上的有限生成環，那么只要在式(9)中把  置換成環同態  的個數，就得到了式(3)中定義的Zeta函數  。

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問題4證明射影空間  的Zeta函數為

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對于由(4)式定義的環 ，設由  的齊次化  定義的橢圓曲線為 ，那么其Zeta函數  可以用式（5）中的整數  表示成

魏伊證明了關于有限域上代數曲線的Zeta函數的黎曼猜想的類比命題，他猜測其高維推廣也是成立的。魏伊啟發道，如果對于有限域上的代數簇也有性質良好的上同調理論的話，那么從中就可以導出這個猜想。為此格羅滕迪克構造了「平展上同調」 （étale cohomology），并且用它證明了「魏伊猜想」 （Weil conjecture) 的相當大一部分。

因為格羅滕迪克明白了能用于證明魏伊猜想的好的上同調理論中不可能以  為系數，所以他取一個不同于  的素數 ，構作了以  進域  為系數的 「 進上同調」 （-adic cohomology)。這是有限維的  線性空間，設  為  的維數 ，那么這些上同調對于  之外的  都是 。

把坐標變成自己的  次冪的「弗羅貝尼烏斯算子」（Frobenius operator)  的特征多項式定義為

那么由「列夫謝茨跡公式」（Lefschetz trace formula) 就知道

進一步假定  沒有「奇點」 （singular point），并且  是由整系數方程定義的射影非奇異簇  的「模  約化」（mod- reduction），那么在  的  進上同調與復流形  的奇異上同調之間存在同構 ，稱為比較同構。Zeta函數（5）的分子的次數與橢圓曲線的上同調的秩二者都是 ，其理由正在于這個同構。

黎曼猜想的類比是，假設  沒有奇點，置 ，則  作為復數的絕對值是 。德利涅證明了這條命題，完成了整個魏伊猜想的證明。如果認為要了解流形或簇的形狀只要知道上同調就夠了，那么從魏伊猜想及其由平展上同調而獲解決看來，數一數點的個數也就明白了簇的形狀。

6. 平展上同調

平展上同調的引入與魏伊猜想的解決為此后算術幾何學的發展開辟了道路。在此就其數論方面與幾何方面各簡單介紹一個正在研究中的話題。平展上同調在數論方面的重要應用是構造「伽羅瓦表示」 （Galois representation）。前一節中因為談論的是魏伊猜想，所以把常數域設為有限域，而平展上同調對任意域上的代數簇都可以定義。

在有理數域的情形，因為存在比較同構，所以就線性空間來說沒什么新穎的東西。

然而平展上同調可以代數式地定義，因此有「絕對伽羅瓦群」 （absolute Galois group)  自然地作用于其上。以此為研究對象，算術幾何學的新世界徐徐展開。

有一個「模形式」 （modular form)

稱為「拉瑪努揚Delta函數」（Ramanujan's delta function)。置 ，則此函數可以看作「上半平面」 （upper plane)  上的全純函數。 作為(6)式右邊的三次式的判別式 ，也與橢圓曲線聯系起來。所謂「拉瑪努揚猜想」 （Ramanujan’s conjecture) 是說，若  為素數，則 。

佐藤幹夫考察了名為久賀佐藤簇的「模曲線」 （modular curve）上的萬有橢圓曲線族的纖維積，德利涅使用其平展上同調構作了與拉瑪努揚Delta函數相伴的伽羅瓦表示，將拉瑪努揚猜想歸結到魏伊猜想。于是在魏伊猜想得證的同時，拉瑪努揚猜想也就證明了。

像這樣自守形式（模形式）與伽羅瓦表示之間的關聯稱為「朗蘭茲對應」 （Langlands correspondence），作為「類域論」 （class field theory）的高維推廣，是當今數論的中心研究課題。拉瑪努揚猜想的解決是沿著從自守形式出發構造伽羅瓦表示的方向，反之懷爾斯通過證明與伽羅瓦表示相聯系的自守形式的存在性而解決的問題，就是費馬大定理。

設  為大于  的素數，假定方程  有非平凡整數解，用這個構成橢圓曲線 ，研究從  出發構造的伽羅瓦表示 ，從中導出矛盾，這就是證明的大致輪廓。這一證明的核心部分在于證明與伽羅瓦表示  相聯系的自守形式的存在性。

懷爾斯在費馬大定理的證明中導入的手法在此后20年間得到了極大的擴張，在那以前甚至被認為是夢想的伽羅瓦表示的自守性也不斷得到了證明。在此雖然不能詳細介紹，不過可以提一下，關于拉瑪努揚Delta函數的「佐藤-泰特猜想」 （Sato-Tate conjecture) 也是用這種手法得證的定理之一。

現在轉到幾何方面。平展上同調的理論不僅僅是對每個代數簇  定義其  進上同調 ，而且在每個代數簇上構成  進層的范疇及其「導出范疇」（derived category)，把它們通過順像、逆像等函子連接起來。格羅滕迪克因著加減乘除四則運算，將這些函子稱為「六則運算」 (six operations）。

與格羅滕迪克創立平展上同調大約同時，在京都由佐藤幹夫、柏原正樹等人創立了「 ?！?/strong> （-module)的理論。所謂 模，是用層的語言來記述復流形上的線性偏微分方程組。雖然其起源與平展上同調無關，但是完成后的理論非常相似，在此也出現了六則運算。

德利涅研究了在  模理論與  進層理論兩方面都出現了的「傅立葉變換」 (Fourier transform），特別留意了  模的「非正則奇點」（irregular singularity) 與  進層的「非馴分歧」 （wild ramification) 的類似。兩個理論雖然有這樣的類似之處，可也有不同的地方。

在  模理論中所謂「微局部分析」 （microlocal analysis）的定義在「余切叢」 (cotangent bundle）上的「特征閉鏈」（characteristic cycle）是很重要的，可在  進層理論中特征閉鏈剛剛才好不容易定義出來。在德利涅的研究、使用創自加藤和也的高維類域論的方法的先驅性研究等基礎之上，特征閉鏈的研究正開始取得重大進展。

術語集

復分析

• 正則函數，或稱全純函數：定義在復平面中的開集上的復數值函數 ，在其定義域的每個點處都可微分。
• 解析延拓：把定義在復平面的開集  上的全純函數  的定義域擴充到包含  的開集上。
• 極點與零點：對于全純函數 ，滿足  的點  是  的極點，滿足  的點  是  的零點。
• 黎曼面：把復平面的開集通過全純函數粘合起來而得到的曲面。通過引入黎曼面，就可以從函數論中消去“多值”函數了。

代數學

• 域：非零環的交換環，除  以外的所有元素關于乘法都是可逆的。例如有理數域、實數域、復數域與有限域等。
• 有限次擴張：把域  作為子域包含起來的域 ，如果看作  線性空間時是有限維的，那么就說  是 的有限次擴張。例如  是  的有限次擴張。
• 主理想整環：所謂整環，就是可以成為域的子環的環。由一個元素生成的理想稱為主理想。如果一個整環中所有理想都是主理想，那么這個整環就稱為主理想整環，簡寫為PID (principal ideal domain) 。例如整數環  以及域上的一元多項式環等等。
• 極大理想，素理想：如果交換環  的理想  使得商環  是域，那么  稱為  的極大理想。如果商環  是整環，就說理想  是素理想。
• 素元分解：整環  的非零元  在  中生成的理想  如果是素理想，那么就稱  為  中的素元。如果整環  中所有非零元都可以分解為有限多個素元的乘積，那么就稱  為唯一析因整環，簡寫為UFD (unique factorization domain），PID是UFD。
• 有限生成：如果用環  的有限個元素可以把環  的所有元素都表示為這有限個元素的整系數多項式，那么就說環  在整數環  上是有限生成的。
• 秩：與  同構的阿貝爾群的秩是 。
• 對偶： 模或者說阿貝爾群  的對偶是  線性映射 的全體所成之集，其上有一個自然確定的加群結構。
• 絕對伽羅瓦群：有理數域的絕對伽羅瓦群是全體代數數所成之域  的域自同構的全體所成的緊群。

拓撲學

• 奇異上同調：拓撲空間通常的上同調。定義為從單形到拓撲空間的連續映射的復形的上同調群。
• 列夫謝茨跡公式：把流形到自身上的連續映射的不動點的個數通過在上同調上的作用的跡的交錯和表示出來的公式。

代數幾何

• 代數曲線：由二元多項式定義的幾何對象。代數曲線及其有限覆蓋所成的范疇等價于一元代數函數域及其有限次擴張所成范疇的對偶范疇。復數域上的代數曲線可以看作緊黎曼面。
• 橢圓曲線：帶有一個指定有理點的虧格  代數曲線。以指定的點為原點，可確定一加群結構。復數域上的橢圓曲線可以看作復平面對于其上格子的商。
• 奇點：設  維簇由方程組  定義，若偏微分組成的矩陣  在簇上的某點處的秩小于  ，則該點為簇的奇點。

【參考文獻】

1. 小木曾啟示《代數曲線論》朝倉書店（2002 年）
2. 桂利行 《代數幾何入門》 共立出版（1998 年）

數論

•  進域：有理數域在由素數  確定的  進拓撲下的完備化所得的域 。
• 模形式：定義在上半平面上的正則函數，滿足關于  或其子群作用的變換公式。

【參考文獻】

1. 加藤和也，黑川信重，齋藤毅 《數論 I ——費馬之夢與類域論》 巖波書店（2005年）
2. J.-P. 塞爾（彌永健一 譯）《數論講義》 巖波書店（2002 年）

參考書

• 巖澤健吉 《代數函數論》 巖波書店（1952年）
  作為代數曲線論的名著評價很高，不過可能會感覺稍微有點困難。
• J.-P. Serre, Zeta and L-functions, ?uvres Collected papers, Vol.11, Springer (1986), pp.249-259
  簡潔地總結了概形的Zeta函數。
• 齋藤秀司，佐藤周友 《代數閉鏈與平展上同調》丸善出版（2012年）
  要用和書學習平展上同調的話就選這一本了。
• 加藤和也 《費馬大定理?佐藤-泰特猜想解決之道（類域論與非交換類域論1）》巖波書店（2009年）
  從費馬大定理得證的經過與佐藤-泰特猜想的解決開始直到其后的發展，以作者的獨特口吻娓娓道來。
• 齋藤毅 《費馬猜想》巖波書店（2009 年）
  為了讀者正式學習費馬大定理的證明與證明中用到的伽羅瓦表示等等而寫作了本書。
• 高木貞治 《近世數學史談》巖波文庫（1995 年），《復刻版近世數學史談? 數學雜談》共立出版（1996年）
  栩栩如生地描繪了黎曼之前活躍在算術幾何學中的人物。

問題解答

（略）