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本篇要介紹的則是二次對稱型。 此種問題在人教版的八年級上冊教科書上面出現過。 就是下面第15題中牧馬人先牧馬再飲馬，最后返回的一個過程。 很多時候中考的壓軸題取材會來自教材。大家平時可以多關注教材中的一些典型問題，以及閱讀材料。這些常常會是中考的考點。也就是大家說的源于課本，要重視課本。 方法介紹可以看下面這篇文章： 【題1】 （2019·湘西州）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左側），點C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點M，點N是CD的中點，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3． （2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、F構成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長的最小值． 【分析】 本題中M與N兩個定點，而G與F是動點，與前面講的類型完全一致。 本題只需要作二次對稱即可． 【答案】拋物線的解析式為y=1/2x2﹣4x 如圖1，作點M關于x軸的對稱點點M'， 作點N關于y軸的對稱點點N'， 連接FM'、GN'、M'N'． ∵y=1/2x2﹣4x=1/2（x﹣4）2﹣8， ∴拋物線對稱軸為直線x＝4． ∵點C、D在拋物線上，且CD∥x軸，D（2，﹣6）， ∴yC＝yD＝﹣6，即點C、D關于直線x＝4對稱． ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）． ∴AB＝CD＝4，B（6，0）． ∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°， ∴∠BAM＝45°． ∴BM＝AB＝4． ∴M（6，﹣4）． ∵點M、M'關于x軸對稱，點F在x軸上， ∴M'（6，4），FM＝FM'． ∵N為CD中點， ∴N（4，﹣6）． ∵點N、N'關于y軸對稱，點G在y軸上， ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'． ∴C四邊形MNGF ＝MN+NG+GF+FM ＝MN+N'G+GF+FM'． ∵當M'、F、G、N'在同一直線上時，N'G+GF+FM'＝M'N'最小， ∴C四邊形MNGF ＝MN+M'N' =√((6-4)2+(-4+6)2 )+√((6+4)2+(4+6)2 ) =2√2+10√2 =12√2 ∴四邊形MNGF周長最小值為12√2． 【題2】 （2019·煙臺）如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y=6/x（x＞0）經過點D，連接MD，BD． （2）點N，F分別是x軸，y軸上的兩點，當以M，D，N，F為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F的坐標． 【答案】y＝﹣x2+2x+3，M（1，4），B（3，0）． 作M關于y軸的對稱點M'，作D關于x軸的對稱點D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點N、F， 則以M，D，N，F為頂點的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長； ∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3）， ∴M'D'直線的解析式為y=-7/3x+5/3． ∴N（5/7，0），F（0，5/3）． 下面這題的話， 相對反而會簡單一些， 只有一個定點． 本質上面相當于前面兩題中的兩個定點重合了． 【題3】 （2019·湘潭）如圖一，拋物線y＝ax2+bx+c過A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，√3）三點． （3）如圖二，過點C作x軸的平行線交拋物線于點E，該拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連結CD、CB，點F為線段CB的中點，點M、N分別為直線CD和CE上的動點，求△FMN周長的最小值． 【答案】 拋物線的解析式為：y=-√3/3x2+(2√3)/3x+√3． ∵C（0，√3），B，（3，0），D（1，0）， ∴OC=√3，OB＝3，OD，＝1， ∵F是BC的中點， ∴F（3/2，√3/2）， 當點F關于直線CE的對稱點為F′，關于直線CD的對稱點為F″，直線F′F″與CD、CE交點為M、N，此時△FMN的周長最小，周長為F′F″的長，由對稱可得到：F′（3/2，(3√3)/2），F″（0，0）即點O， F′F″＝F′O=√((3/2 )2+((3√3)/2 )2 )=3， 即：△FMN的周長最小值為3． 一般解答題以雙定點出現的頻率較高， 單定點的問題主要出現在選填中，比如上面的15年營口的中考題。 |
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