動點最值問題解法探析

一、問題原型：

（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1，要在燃氣管道上修建一個泵站，分別向、兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經典問題。解這類問題

二、基本解法：

對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置，計算線路最短長度。

三、一般結論：

(在線段上時取等號)（如圖1-2）

線段和最小，常見有三種類型：

（一）“|定動|+|定動|”型：兩定點到一動點的距離和最小

通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長。

1.兩個定點+一個動點。

如圖1-3，作一定點關于動點所在直線的對稱點，線段（是另一定點）與的交點即為距離和最小時動點位置，最小距離和。

例1（2006年河南省中考題）如圖2，正方形的邊長為，是的中點，是對角線上一動點，則的最小值是　　　　　。

解析：與關于直線對稱，連結，則。

連結,在中，，，則

　　故的最小值為

例2　（2009年濟南市中考題）如圖3，已知：拋物線的對稱軸為，與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，。

（1）求這條拋物線的函數表達式；

（2）已知在對稱軸上存在一點，使得的周長最小，請求出點的坐標。

解析：（1）對稱軸為，，由對稱性可知：。根據、、三點坐標，利用待定系數法，可求得拋物線為：

（2）與關于對稱軸對稱，連結，與對稱軸交點即為所求點。

設直線解析式為：。把、代入得，。當時，，則

2.兩個定點+兩個動點。

兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解。

例3　如圖4，河岸兩側有、兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？

解析：設橋端兩動點為、，那么點隨點而動，等于河寬，且垂直于河岸。

將向上平移河寬長到，線段與河北岸線的交點即為橋端點位置。四邊形為平行四邊形，，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。

例4　(2010年天津市中考)在平面角坐標系中，矩形的頂點在坐標原點，頂點、分別在軸、軸的正半軸上，，，為邊的中點。

（1）若為邊上的一個動點，當的周長最小時，求點的坐標；

（2）若，為邊上的兩個動點，且，當四邊形的周長最小時，求點，的坐標。

解析：作點關于軸的對稱點，則，。

（1）連接交軸于點，連接，此時的周長最小。由可知 ，那么，則。

（2）將向左平移2個單位（）到點，定點、分別到動點、的距離和等于為定點、到動點的距離和，即。從而把“兩個定點和兩個動點”類問題轉化成“兩個定點和一個動點”類型。

在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時值最小，則四邊形的周長最小。由、可求直線解析式為，當時，，即，則。（也可以用（1）中相似的方法求坐標）

（二）“|動定|+|動動|”型：

兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。

利用軸對稱變換，使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上（兩點之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線（連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。

例5　（2009年陜西省中考）如圖6，在銳角中，，，的平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為 4 。

解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，上動點關于的對稱點在上，，，當時，最小。

作于，交于，

∵，

∴

作交于，

例6　如圖7，四邊形是等腰梯形，、在軸上，在軸上，，，，，拋物線過、兩點。

（1）求、；

（2）設是軸上方拋物線上的一動點，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；

（3）當（2）中點運動到使取最大值時，此時記點為，設線段與軸交于點，為線段上一動點，求到點與到軸的距離之和的最小值，并求此時點的坐標。

解析：（1）由，，，可得：、、、；根據、的坐標可求出拋物線解析式為

（2）設，且，則，用零點分段法可求得，。當時，。

此時，則。

（3）軸與直線關于對稱，作軸于，動點關于的對稱點在直線上，，當垂直于直線時，的值最小。

，根據和可求直線的解析式，則有。由可知，。作，過點作軸的平行線，交于，那么。作于，則，，當是于的交點時，與重合，有最小值5。函數，此時，則，即。

3.“|定動|+|動動|+|動定|”型：兩定點到兩動點的距離、以及兩動之間距離和最小。

例7　（2009年漳州中考）如圖8， ，是內一點，，、分別是和上的動點，求周長的最小值。

解析：分別作關于、的對稱點、，連接，則，當、在線段上時， 周長最小，

∵ ，

∴ 。  則周長的最小值為

例8　（2009年恩施中考）恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖9建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（）和世界級自然保護區星斗山（）位于兩高速公路同側，，到直線的距離為，到直線和的距離分別為和。請你在旁和旁各修建一服務區、，使、、、組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。

解析：作點關于軸的對稱點，點關于軸的對稱點，連接，。當、在線段上時，最小。

過、分別作軸、軸的平行線交于。在中，，，交軸于，交軸于。

，而

∴  四邊形的周長最小值為：