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一、原函數 【注】如果一個函數存在原函數，那么它有無窮多個原函數，而且其中任何兩個原函數之間只相差一個常數．對于不同描述形式的原函數，相差的常數可以通過取特定變量值來得到. 比如(1) 若函數在區間上連續，則在區間上存在原函數.(2) 如果在區間上函數有第一類間斷點和第二類無窮間斷點，則函數在該區間上沒有原函數；如果函數在區間上僅僅具有第二類振蕩間斷點，則有可能存在有原函數.例1 包含振蕩間斷點的區間內定義的函數可能存在有原函數. 如例2 包含第一類間斷點的區間內函數不存在原函數. 在點出分別為函數的第一類跳躍間斷點和可去間斷點，它們在區間上都不存在原函數. 對于，在處對應著分段函數的尖點位置；對于，假設有原函數，則在時，有，由可導必定連續，則，所以在內，從而有，從而與所設為的原函數矛盾.例3 包含第二類無窮間斷點的區間內函數不存在原函數. 如 在區間上不存在原函數，其中為函數的無窮間斷點. 雖然通常記 但這僅僅是一種形式上的記法，并不代表在區間上存在原函數，因為對數函數在處根本沒有定義，當然也就不可能存在導數. 三、不定積分 函數在區間上所有原函數的一般表達式稱為在上的不定積分，并且有- 稱為積分變量，即僅僅對變量求導數或微分，其余符號對于積分而言為常數．
【注】 不定積分是所有原函數的集合，結果一定不能缺少！沒有則僅僅是原函數集合中的一個元素. 四、不定積分基本性質 1、求導、微分與積分的互逆運算【注】 不定積分與求導、微分互為逆運算，交替使用相互“抵消”. 最后的一個運算決定結果形式，最后運算為不定積分，則結果不能忽略任意常數；為微分運算，則結果不能缺少.2、不定積分線性運算性質五、基本不定積分公式 由基本初等函數的導數基本公式，逆向推導有基本初等函數的不定積分基本計算公式，它們是求不定積分的基礎，必須熟記和掌握！具體基本積分表參見后面的課件或教材！【注1】基本不定積分基本公式表中的公式中的d就為微分運算符. 其中的積分變量符號x可以直接替換為任意可導函數表達式.不過記得一定是等式兩端所有x都換成相同的表達式. 如由此可知是的一個原函數. 這個結果的應用直接得到后面不定積分的“湊微分”法或第一類換元法. 【注2】對于不定積分結果在計算出來以后，一定要通過求導運算驗證其結果是否就為被積函數. 只要求導結果為被積函數，則不管結果的描述形式如何都為正確結果.
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