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分多不要浪費! 積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種 1.0不定積分 設F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x) C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分. 記作∫f(x)dx. 其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式,C叫做積分常數(shù),求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分. 由定義可知： 求函數(shù)f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函數(shù),由原函數(shù)的性質(zhì)可知,只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),再加上任意的常數(shù)C,就得到函數(shù)f(x)的不定積分. 也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了導函數(shù),求原函數(shù). 2.0定積分 眾所周知,微積分的兩大部分是微分與積分.微分實際上是求一函數(shù)的導數(shù),而積分是已知一函數(shù)的導數(shù),求這一函數(shù).所以,微分與積分互為逆運算. 實際上,積分還可以分為兩部分.第一種,是單純的積分,也就是已知導數(shù)求原函數(shù),而若F(x)的導數(shù)是f(x),那么F(x) C（C是常數(shù)）的導數(shù)也是f(x),也就是說,把f(x)積分,不一定能得到F(x),因為F(x) C的導數(shù)也是f(x),C是無窮無盡的常數(shù),所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個,是不確定的,我們一律用F(x) C代替,這就稱為不定積分. 而相對于不定積分,就是定積分. 所謂定積分,其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面,下限b寫在∫下面).之所以稱其為定積分,是因為它積分后得出的值是確定的,是一個數(shù),而不是一個函數(shù). 定積分的正式名稱是黎曼積分,詳見黎曼積分.用自己的話來說,就是把直角坐標系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形,然后把某個區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來,所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積.實際上,定積分的上下限就是區(qū)間的兩個端點a、b. 我們可以看到,定積分的本質(zhì)是把圖象無限細分,再累加起來,而積分的本質(zhì)是求一個函數(shù)的原函數(shù).它們看起來沒有任何的聯(lián)系,那么為什么定積分寫成積分的形式呢? 定積分與積分看起來風馬牛不相及,但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐,使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系.把一個圖形無限細分再累加,這似乎是不可能的事情,但是由于這個理論,可以轉(zhuǎn)化為計算積分.這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式,它的內(nèi)容是： 若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b) 牛頓-萊布尼茲公式用文字表述,就是說一個定積分式的值,就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差. 正因為這個理論,揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系,可見其在微積分學以至更高等的數(shù)學上的重要地位,因此,牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理. 3.0微積分 積分是微分的逆運算,即知道了函數(shù)的導函數(shù),反求原函數(shù).在應用上,積分作用不僅如此,它被大量應用于求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的. 一個函數(shù)的不定積分（亦稱原函數(shù)）指另一族函數(shù),這一族函數(shù)的導函數(shù)恰為前一函數(shù). 其中：[F(x) C]' = f(x) 一個實變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分,是一個實數(shù).它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值. 積分 integral 從不同的問題抽象出來的兩個數(shù)學概念.定積分和不定積分的統(tǒng)稱.不定積分是為解決求導和微分的逆運算而提出的.例如：已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)f（x),求一條曲線y＝F（x）,x∈I,使得它在每一點的切線斜率為F′（x）＝ f（x）.函數(shù)f（x）的不定積分是f（x）的全體原函數(shù)（見原函數(shù)）,記作 .如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則 ,其中C為任意常數(shù).例如, 定積分是以平面圖形的面積問題引出的.y＝f（x）為定義在[a,b〕上的函數(shù),為求由x＝a,x＝b ,y＝0和y＝f（x）所圍圖形的面積S,采用古希臘人的窮竭法,先在小范圍內(nèi)以直代曲,求出S的近似值,再取極限得到所求面積S,為此,先將[a,b〕分成n等分：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,取ζi∈[xi-1,xi〕,記Δxi＝xi－xi-1,則pn為S的近似值,當n→＋∞時,pn的極限應可作為面積S.把這一類問題的思想方法抽象出來,便得定積分的概念：對于定義在[a,b〕上的函數(shù)y＝f（x）,作分劃a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,若存在一個與分劃及ζi∈[xi-1,xi〕的取法都無關(guān)的常數(shù)I,使得,其中則稱I為f（x）在[a,b〕上的定積分,表為即 稱[a,b〕為積分區(qū)間,f（x）為被積函數(shù),a,b分別稱為積分的上限和下限.當f（x）的原函數(shù)存在時,定積分的計算可轉(zhuǎn)化為求f（x）的不定積分：這是c牛頓萊布尼茲公式 微分 一元微分 定義： 設函數(shù)y = f(x)在x.的鄰域內(nèi)有定義,x0及x0 Δx在此區(qū)間內(nèi).如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 Δx) ? f(x0)可表示為 Δy = AΔx o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)）,而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小,那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的,且AΔx稱作函數(shù)在點x0相應于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy = AΔx. 通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分,記作dx,即dx = Δx.于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx.函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù).因此,導數(shù)也叫做微商. 當自變量X改變?yōu)閄 △X時,相應地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X △X),如果存在一個與△X無關(guān)的常數(shù)A,使f(X △X)-f(X)和A·△X之差關(guān)于△X→0是高階無窮小量,則稱A·△X是f(X)在X的微分,記為dy,并稱f(X)在X可微.函數(shù)可導必可微,反之亦然,這時A=f′(X).再記A·△X=dy,則dy=f′(X)dX.例如：d(sinX)=cosXdX. 幾何意義： 設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量,Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量,dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量.當|Δx|很小時,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段. 多元微分 同理,當自變量為多個時,可得出多元微分得定義. 運算法則： dy=f'(x)dx d(u v)=du dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du·v dv·u d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2 |
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