傅立葉變換是如何改變我們生活的？ ——四個(gè)角度告訴你答案

baoyisheng143 2021-02-17

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引子：
盡管沒(méi)有微積分那樣如雷貫耳的名聲，也沒(méi)有相對(duì)論那般獨(dú)辟蹊徑的創(chuàng)新，傅立葉變換卻悄悄地潛藏在我們生活中的方方面面，默默地改變著這個(gè)世界。

對(duì)于工科出身的讀者而言，傅立葉分析的第一印象可能是這樣的：

傅立葉變換的應(yīng)用之一——信號(hào)處理[1]

在金融分析師眼里，傅立葉變換是這樣的：

傅立葉變換的應(yīng)用之二——時(shí)間序列分析[2]

而在數(shù)學(xué)家眼里，傅立葉變換則像孫猴子一般擁有七十二變：

傅立葉變換的離散版——傅立葉級(jí)數(shù)

群的傅立葉變換——連接分析和數(shù)論的橋梁[3]

高效的傅立葉變換算法——快速傅立葉變換（FFT）[3]

傅立葉分析的進(jìn)化版——調(diào)和分析。

圖為L(zhǎng)ittlewood-Paley理論[4]

可見(jiàn)無(wú)論在理論還是應(yīng)用領(lǐng)域，傅立葉變換都是瑰寶級(jí)的工具。事實(shí)上在信號(hào)處理、股票預(yù)測(cè)、數(shù)值模擬、微分方程、數(shù)論乃至數(shù)據(jù)壓縮，它都扮演著無(wú)可替代的角色。

再浩瀚的江河也必有源頭；要想深入了解傅立葉變換，得從它的來(lái)源說(shuō)起。那么傅立葉到底是誰(shuí)呢？

因?yàn)椤案怠币彩前偌倚罩唬怨P者首次見(jiàn)到傅立葉變換時(shí)，還以為這又是中國(guó)古代的一大發(fā)明。直到看到傅立葉具有中世紀(jì)特色的方便面發(fā)型和似毛毯外裹的穿著，才知道他并不是中國(guó)人：

傅立葉。圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)

傅立葉（1768-1830）出生于法國(guó)，是著名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家[5]。除了傅立葉變換，著名的熱方程（Heat equation，最簡(jiǎn)單的擴(kuò)散方程）也出自于傅立葉之手。一個(gè)是積分變換，一個(gè)是微分方程，兩者貌似互不相關(guān)，實(shí)際上則存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，讀者們會(huì)在接下來(lái)文章中有所體會(huì)。此外，大氣溫室效應(yīng)也是他通過(guò)研究熱方程的解首次發(fā)現(xiàn)的（當(dāng)時(shí)傅立葉錯(cuò)誤地認(rèn)為海洋像大氣一樣也具有溫室效應(yīng)）[6-7]。

現(xiàn)在我們對(duì)傅立葉變換已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)。那么它是怎樣從一個(gè)高冷的數(shù)學(xué)概念“下凡”到日常生活中的呢？帶著這個(gè)疑問(wèn)，我們進(jìn)入第二部分。

天地萬(wàn)物皆循道，信號(hào)狼藉索周期

大家知道太陽(yáng)光、聲音和地震波等信號(hào)，都是由不同頻率的波（周期函數(shù)）混雜而成。

書(shū)架上書(shū)太多就得分類(lèi)，那么有沒(méi)有方法也把這些雜亂無(wú)章的信號(hào)分個(gè)類(lèi)，比如把波按頻率分類(lèi)出來(lái)呢？用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述，給定一個(gè)函數(shù)f（x）（x為實(shí)數(shù)），我們能不能把f（x）變成另一個(gè)和頻率k有關(guān)的函數(shù)

，并且

用來(lái)表示

的各個(gè)頻率成分的表現(xiàn)呢？這就是傅立葉變換的主要任務(wù)，而

就稱之為

的傅立葉變換（不同地方的定義可能稍有不同，但本質(zhì)上都是一回事）：

在實(shí)際應(yīng)用中，我們一般要求具有一些“良好性質(zhì)”，例如平方可積

這樣

和

之間滿足Parseval恒等式。這個(gè)恒等式非常美妙，具體細(xì)節(jié)可參考[3]的第三章）。

然而在理論領(lǐng)域，這些函數(shù)通常不愿再“從良”，傅立葉分析就進(jìn)化成了更加一般的調(diào)和分析（Harmonic Analysis），以對(duì)付這些不聽(tīng)話的函數(shù)。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們先考慮聽(tīng)話的函數(shù)（平方可積函數(shù)）。為什么（1）式積分號(hào)下會(huì)出現(xiàn)

項(xiàng)呢？這一項(xiàng)里還有個(gè)虛數(shù)符號(hào)，看起來(lái)如少女心一般讓人難以捉摸，實(shí)際上歐拉恒等式可以告訴我們答案：

這樣一看就清楚多了——正弦和余弦都是具有周期性的！那么（1）式必然同周期性存在著某種聯(lián)系！如果讀者們還不太相信，下面的動(dòng)圖更加清晰地表現(xiàn)了

和

兩兄弟間的關(guān)系：

f（x）（紅色曲線）被分解為不同頻率，然后這些不同頻率又重新組合成

當(dāng)然傅立葉變換周期性還有很多其他應(yīng)用，下表是一個(gè)總結(jié)：

具體實(shí)例	傅立葉變換的作用
光譜分析	本質(zhì)上就是提取電磁波的頻率成分，可以用傅立葉變換完成。
時(shí)間序列分析	時(shí)間序列是和時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量，人們通常關(guān)注這些隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，所謂的譜分析正是因此而生（時(shí)間序列“譜”包含了隨機(jī)變量的相關(guān)性信息，和光譜有區(qū)別）。譜分析的關(guān)鍵就是對(duì)時(shí)間的傅立葉變換。
CT掃描（x光）	這類(lèi)問(wèn)題是已知波方程的解，要倒回去推導(dǎo)原來(lái)的方程長(zhǎng)什么樣（也就是估計(jì)原來(lái)方程的參數(shù)），數(shù)學(xué)上又稱為反問(wèn)題（Inverse Problem）或參數(shù)估計(jì)（Parameter Estimation）問(wèn)題。傅立葉變換在計(jì)算中起到關(guān)鍵作用。
雷達(dá)測(cè)距（無(wú)線電波）
地震測(cè)量（地震波）

微分積分各行事，傅式變換穿針線

在上一部分中，我們知道了傅立葉變換是如何與周期性，或者函數(shù)的頻率產(chǎn)生聯(lián)系的。事實(shí)上傅立葉變換的另一個(gè)重要作用在于解微分方程。傅立葉變換是積分變換，怎么運(yùn)用到微分運(yùn)算當(dāng)中去呢？一切都源于傅立葉變換的一個(gè)重要性質(zhì)：

這里表示對(duì)作傅立葉變換。大事化小小事化了，上面（3）式提示我們，傅立葉變換可以把復(fù)雜的偏微分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的常微分方程，也可以把常微分方程轉(zhuǎn)化更加簡(jiǎn)單的代數(shù)方程！例如考慮同出自傅立葉之手的熱方程：

通常情況下只需要轉(zhuǎn)換為常微分方程就足夠了，沒(méi)有必要進(jìn)一步轉(zhuǎn)換

解一階常微分方程是非常容易的。不過(guò)不要高興太早，我們得到的解只是

關(guān)于x的傅立葉變換

，還得想辦法把

給還原出來(lái)。其實(shí)數(shù)學(xué)上我們可以證明

和它的傅立葉變換

具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此只要知道了

，熱方程的解

也就呼之欲出！這個(gè)結(jié)論可以參考文獻(xiàn)[3]的第四章。

因?yàn)椋?）中美妙的性質(zhì)（把微分變成指數(shù)），傅立葉變換在微分方程領(lǐng)域大顯身手。不過(guò)隨著自然科學(xué)領(lǐng)域各種問(wèn)題的復(fù)雜化，方程也開(kāi)始變得多種多樣（例如初邊值條件的差異和方程系數(shù)光滑性發(fā)生變化等等），方程的解也越發(fā)地奇形怪狀。上有政策下有對(duì)策，調(diào)和分析這一新興領(lǐng)域隨之破殼而出；盡管身份似已改頭換面，其核心思想仍然是傅立葉分析。本文第六部分還會(huì)對(duì)此展開(kāi)進(jìn)一步討論。

抽象代數(shù)示玄機(jī)，解析數(shù)論展天威

相信現(xiàn)在讀者們已經(jīng)了解到傅立葉變換的強(qiáng)大威力了：從光譜分析到CT成像，再到微分方程的解，可以說(shuō)只要和自然科學(xué)有關(guān)，傅立葉分析就無(wú)處不在。

然而這就是傅立葉變換的全部威力了嗎？非也！令很多人意外的是，在晦澀難懂的數(shù)論領(lǐng)域，傅立葉變換也發(fā)揮著至關(guān)重要的啟發(fā)性作用。

傅立葉變換不是定義在實(shí)數(shù)上的嗎，怎么能運(yùn)用到離散的數(shù)論上去呢？這就要靠數(shù)學(xué)家們的偉大創(chuàng)造力了——既然實(shí)數(shù)上可以定義傅立葉變換，那么我們也可以在代數(shù)群上定義傅立葉變換。

這種定義的難點(diǎn)在于代數(shù)群和實(shí)數(shù)不同，一般說(shuō)來(lái)前者是沒(méi)有“連續(xù)性”的概念的（這里不考慮連續(xù)群），所以不能通過(guò)積分來(lái)定義群的傅立葉變換。不過(guò)群表示理論里面的一個(gè)重要概念——特征標(biāo)（Character）為傅立葉變換的定義鋪好了道路。一個(gè)群G的特征標(biāo)定義為G上的某種函數(shù)：

其中“”表示群里面的抽象“乘法”運(yùn)算，不一定是實(shí)數(shù)的乘法。

表示一個(gè)圓圈，可以用

來(lái)表示（下圖是一個(gè)例子）。這樣，G中元素a的傅立葉變換就是

[3]。

把傅立葉變換移植到那么抽象的代數(shù)群上面干什么呢？事實(shí)上，用這個(gè)概念可以證明數(shù)論中一個(gè)非常美妙而簡(jiǎn)潔的結(jié)論：如果a和d是互素的整數(shù)，那么數(shù)列

中有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。這個(gè)結(jié)論又稱作狄利克雷定理[11]。

有高等數(shù)學(xué)背景的讀者也許對(duì)“狄利克雷”這個(gè)名字并不陌生。狄利克雷是德國(guó)數(shù)學(xué)家，比傅立葉晚幾十年出生，并且在解析數(shù)論（用復(fù)分析的方法研究數(shù)論）領(lǐng)域有很多杰出貢獻(xiàn)[12]。粗略地講，為了證明上面這個(gè)結(jié)論，狄利克雷對(duì)循環(huán)群（也就是正整數(shù)的同余類(lèi)）定義了一種特殊的特征標(biāo)——狄利克雷特征標(biāo)，并利用這個(gè)特征標(biāo)引入了L函數(shù)的概念：

通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)的斂散性，就能證明狄利克雷定理，有興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)[3]的最后一章。

砍瓜切菜破概率，化零為整道極限

眼看著傅立葉變換在工程、微分方程和數(shù)論等不同領(lǐng)域大顯身手，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們坐不住了：“有沒(méi)有辦法把傅立葉變換應(yīng)用到概率統(tǒng)計(jì)中呢？”答案是肯定的，這就是概率論中著名的特征函數(shù)（Character Function）。對(duì)于一個(gè)實(shí)值隨機(jī)變量X，概率分布函數(shù)為

, 它的特征函數(shù)（傅立葉變換）被定義為：

特征函數(shù)是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)極為強(qiáng)大的工具，很多著名的結(jié)論都是通過(guò)特征函數(shù)來(lái)證明的。例如中心極限定理，強(qiáng)大數(shù)律等。傅立葉變換之所以能在概率統(tǒng)計(jì)也能自成一派，究其根底，是源于它的另一個(gè)性質(zhì)（把兩個(gè)測(cè)度或函數(shù)的卷積變?yōu)槌Ｒ?guī)乘法）：

其中

表示

和

的卷積（Convolution）。卷積在概率統(tǒng)計(jì)中是非常重要的——假設(shè)X和Y是獨(dú)立隨機(jī)變量，分別是對(duì)應(yīng)的概率分布函數(shù)，那么新隨機(jī)變量Z := X+Y的概率分布函數(shù)就是

。

以此類(lèi)推，假設(shè)

是n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量（不要求同分布），那么

的分布函數(shù)就是

。卷積涉及到積分運(yùn)算，很麻煩，有沒(méi)有辦法把卷積化簡(jiǎn)稱為一般的乘積呢？

也許一些聰明的讀者已經(jīng)看出來(lái)了，如果對(duì)

進(jìn)行傅立葉變換，不就變成了n個(gè)函數(shù)的乘積么！

這樣一來(lái)，

的分布函數(shù)似乎就沒(méi)有那么復(fù)雜了。這便是概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域許多經(jīng)典結(jié)論的思想精髓所在。

純理論的分析總是抽象的，那么我們來(lái)實(shí)戰(zhàn)一下。以中心極限定理為例：

摘選自文獻(xiàn)[13]

這個(gè)定理是說(shuō)，當(dāng)隨機(jī)變量個(gè)數(shù)增加以后，漸進(jìn)服從正態(tài)分布。這個(gè)定理的核心思想，就是求出的特征函數(shù)（傅立葉變換），然后證明這個(gè)特征函數(shù)趨近于正態(tài)分布的特征函數(shù)即可（用泰勒展開(kāi)可證）。

在本文第三部分中，筆者提到傅立葉變換是可逆的，因此特征函數(shù)可以完全決定概率分布函數(shù)。具體證明可參考文獻(xiàn)[14]（這本書(shū)從三級(jí)數(shù)定理出發(fā)，推導(dǎo)出了更普遍的中心極限定理和相關(guān)估計(jì)，但核心思想都是特征函數(shù)）。

不僅僅是傳統(tǒng)

到此為止，傅立葉分析這個(gè)上天入地上無(wú)所不能、無(wú)孔不入、無(wú)處不在的數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)讓不少讀者大開(kāi)眼界了。不過(guò)這還滿足不了數(shù)學(xué)工作者們的胃口——上文介紹的內(nèi)容，大都屬于經(jīng)典范疇，數(shù)學(xué)系老司機(jī)們對(duì)此都已經(jīng)耳熟能詳了。

然而對(duì)于這么一個(gè)強(qiáng)有力的工具，傅立葉分析的野心絕不僅限于經(jīng)典數(shù)學(xué)。除了上文提到的這些“元配”，傅立葉分析和現(xiàn)代數(shù)學(xué)之間也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。例如：

周期性與信號(hào)處理：

基于傅立葉變換和函數(shù)周期性的關(guān)系，人們發(fā)展出了小波分析（Wavelet Analysis）和壓縮感知（CompressionSensing）等新興數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

例如小波分析，本質(zhì)上就是把把模擬（連續(xù)）或數(shù)字（離散）信號(hào)從時(shí)空域轉(zhuǎn)換到頻域，用以提取信號(hào)的頻率特征，因而是信號(hào)處理過(guò)程的關(guān)鍵。著名的香農(nóng)采樣定理（Shannon samplingtheorem）給出了信號(hào)最小采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)和信號(hào)頻率間的關(guān)系，成為小波分析領(lǐng)域的關(guān)鍵定理。

壓縮感知?jiǎng)t是一種信號(hào)采樣的技巧，目的在于通過(guò)盡可能少的采樣點(diǎn)恢復(fù)出原有信號(hào)。壓縮感知產(chǎn)生于上世紀(jì)90年代，其核心算法就是在當(dāng)時(shí)紅頭一邊天的Lasso方法（這種方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)明的，能夠減少數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)）。壓縮感知最引人注目之處在于，它很好地利用了信號(hào)的頻率特點(diǎn)，甚至突破香農(nóng)采樣定理中的最小采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)限制[16]。

微分方程的解：

由于傅立葉分析只能對(duì)付性質(zhì)良好的函數(shù)（如L2函數(shù)），無(wú)法滿足許多實(shí)際問(wèn)題，于是人們逐漸發(fā)展出了武藝更為高強(qiáng)的調(diào)和分析（Harmonic Analysis），有興趣的讀者可以參考這一領(lǐng)域的經(jīng)典著作[8]。

至于調(diào)和分析如何運(yùn)用于微分方程，則可以參考苗長(zhǎng)興教授的兩本著作[4]和[9]。調(diào)和分析的最新應(yīng)用之一，則是陶哲軒于2014年用證明了某種弱化版三維Navier-Stokes方程（千禧年七大數(shù)學(xué)難題之一）解的存在性和爆破性[10]（Finite-time blowup），其中的關(guān)鍵就是運(yùn)用了傅立葉變換中的思想（具體說(shuō)來(lái)叫做Fourier Multiplier，可參考[8]）。

數(shù)論與組合：

筆者在第五部分末提到了L函數(shù)的概念。事實(shí)上L函數(shù)是解析數(shù)論中的核心課題之一，黎曼猜想（另一個(gè)千禧年七大數(shù)學(xué)難題）中出現(xiàn)的zeta函數(shù)就是L函數(shù)的特例。

此外，陶哲軒在2008年證明了“素?cái)?shù)集合中包含任意長(zhǎng)度的等差數(shù)列”這一結(jié)論（稱作Green-Tao定理），算是狄利克雷定理的某種推廣，有興趣的讀者可以參考[15]；而這篇文章中一個(gè)重要思想，便是把傅立葉分析的思想運(yùn)用到拓?fù)淙海扔腥航Y(jié)構(gòu)又有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此可以同時(shí)用分析和代數(shù)兩種手段研究它）上[17]。作為數(shù)學(xué)界中罕見(jiàn)的全能手，傅立葉分析或許正是陶哲軒最重要的思想源泉。

概率論：

自從用特征函數(shù)法證明了中心極限定理以后，人們感受到了傅立葉分析在概率統(tǒng)計(jì)中的神奇功效。

概率論一大分支——概率極限理論（Asymptotic Theory）中的許多結(jié)論就是通過(guò)特征函數(shù)的方法證明的，例如Berry-Essen中心極限定理。該定理可視作中心極限定理的某種加強(qiáng)，因?yàn)樗o出了中心極限定理中漸進(jìn)正態(tài)的速度（隨著隨機(jī)變量個(gè)數(shù)當(dāng)增加，這些變量會(huì)以怎樣的速度近似于正態(tài)分布）。具體證明可參考文獻(xiàn)[14]。

結(jié)語(yǔ)

到此為止我們已經(jīng)強(qiáng)烈感受到，傅立葉變換在不同領(lǐng)域都有著非凡的價(jià)值。為加深讀者們的印象，最后對(duì)本文大體內(nèi)容做一總結(jié)：

應(yīng)用領(lǐng)域	所涉及的傅立葉變換性質(zhì)
頻率分析及譜分析	提取對(duì)應(yīng)函數(shù)的頻率（周期）信息，或者通過(guò)函數(shù)的頻率信息推導(dǎo)出原函數(shù)的表達(dá)式。
微分方程	把微分轉(zhuǎn)化為指數(shù)，并且這一轉(zhuǎn)化是可逆的。
數(shù)理統(tǒng)計(jì)	把卷積轉(zhuǎn)化為普通乘積，并且這一轉(zhuǎn)化是可逆的。
解析數(shù)論	把離散的代數(shù)群轉(zhuǎn)換到連續(xù)的復(fù)平面上，把數(shù)論問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析問(wèn)題。這一轉(zhuǎn)化也是可逆的。

從以上總結(jié)不難看出，盡管傅立葉變換的應(yīng)用領(lǐng)域看似毫不相關(guān)，實(shí)際上它們都有一個(gè)共同點(diǎn)——即都運(yùn)用到了傅立葉變換的可逆性。正是這個(gè)原因，傅立葉變換才能作為一條暗藏的主線，把各行各業(yè)都串聯(lián)了起來(lái)。表面上抽象難懂實(shí)際上簡(jiǎn)潔普適，這正是數(shù)學(xué)的魅力和精髓所在。

其實(shí)數(shù)學(xué)上的積分變換還有很多，例如拉普拉斯變換（實(shí)數(shù)版的傅立葉變換），希爾伯特變換（把正弦變成余弦，在相位分析中很有用）以及更一般的蓋爾范德變換（通過(guò)算子代數(shù)的觀點(diǎn)看傅立葉變換）等等。它們?cè)谧匀豢茖W(xué)界中獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，各有風(fēng)采，相互間又有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。因此只要抓住了傅立葉變換的基本思想和特點(diǎn)，其它的積分變換也都變成了囊中之物。

從19世紀(jì)初的法國(guó)誕生到現(xiàn)在，傅立葉變換依然是科研界非常活躍的話題。或許今后傅立葉變換會(huì)有更多用武之地，但這不僅僅要依靠數(shù)學(xué)家的獨(dú)特創(chuàng)造力，還要靠整個(gè)科學(xué)界的共同努力合作，畢竟科學(xué)是不存在嚴(yán)格分界線的。

盡管分支眾多，不同學(xué)科之間都是緊密相連的

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數(shù)學(xué)讓人擺脫了愚昧，而物理則推動(dòng)了文明，它就在我們的生活中。了解了物理才開(kāi)始立足于這個(gè)星球...我們不妨從探究物理開(kāi)始，去尋找蘊(yùn)藏其中的奧妙。

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作者簡(jiǎn)介：楊夕歌，浙江大學(xué)本科和美國(guó)俄亥俄州立大學(xué)數(shù)學(xué)博士畢業(yè)，現(xiàn)在成為了一名光榮的打工仔。雖然已經(jīng)離開(kāi)學(xué)術(shù)圈，但和其他棄筆從戎的打工仔不一樣，我不太關(guān)注去哪搬磚工資更高，怎樣升職為包工頭等等——我依然喜歡在搬磚之余瀏覽各種有趣的學(xué)術(shù)文章，同朋友交流各種各樣有趣的科技點(diǎn)子。希望能和大家有更多學(xué)術(shù)上的交流 ^_^

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參考文獻(xiàn)：

[1] https://en./wiki/Fourier_analysis.

[2]http:///Documentation/FEEDbk_docs/2007/01/TradersTips/TradersTips.html.

[3] E.M. Stein, Fourier Analysis – an Introduction.

[4] 苗長(zhǎng)興，《調(diào)和分析及其在偏微分方程中的應(yīng)用(第二版)》。

[5] https://en./wiki/Joseph_Fourier.

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[10] T. Tao, Finite time blowup for an averagedthree-dimensional Navier-Stokes equation.

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[12] https://en./wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.

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來(lái)自： baoyisheng143 > 《數(shù)學(xué)》

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