|
在更帶分析味的方向上，我們得到了現在被稱為非交換調和分析的理論。這是Fourier理論的推廣，對于后者，Fourier級數或者是Fourier積分本質上對應于圓周和直線的交換李群，當我們用更為復雜的李群代替它們時，我們就可以得到一個非常漂亮、非常精巧并且將李群表示理論和分析融為一體的理論，這本質上是Harish-Chandra一生的工作。 在數論方面，整個“Langlands綱領”,現在許多人都這樣稱呼它，緊密聯系于Harish-Chandra理論，產生于李群理論之中。對于每一個李群，我們都可以給出相應的數論和在某種程度實施Langlands綱領。在本世紀后半葉，代數數論的一大批工作深受其影響，模形式的研究就是其中一個很好的例證，這還包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工作。 也許有人認為李群只不過在幾何范疇內特別重要而已，因為這是出于連續變量的需要。然而事實并非如此，有限域上的李群的類似討論可以給出有限群，并且大多數有限群都是通過這種方式產生的。因此李群理論的一些技巧甚至可以被應用到有限域或者是局部域等一些離散情形中。這方面有許多純代數的工作，例如與George Lusztig名字聯系在一起的工作。在這些工作中，有限群的表示理論被加以討論，并且我已經提到的許多技術在這里也可以找到它們的用武之地。 在這項研究中，有一個可以彌補缺點的優點。我在這里實際上指的是在所有的所謂“散在群”(sporadic groups)中，最大的被賦予了“魔群”名字的那一個。我認為魔群的發現這件事本身就是有限單群分類中最叫人興奮的結果了?？梢钥闯瞿菏且粋€極其有意思的動物而且現在還處于被了解之中。它與數學的許多分支的很大一部分有著意想不到的聯系，如與橢圓模函數的聯系，甚至與理論物理和量子場論都有聯系。這是分類工作的一個有趣的副產品。正如我所說的，有限單群分類本身關上了大門，但是魔群又開啟了一扇大門。 在十九世紀，Hamilton發展了經典力學，引入了現在稱為Hamilton量的形式化。經典力學導出現在所謂的“辛幾何”，這是幾何的一個分支，雖然很早已經有人研究了，但是實際上直到最近二十年，這個課題才得到真正的研究，這已經是幾何學非常豐富的一部分。幾何學，我在這里使用這個詞的意思是指，它有三個分支：Riemann幾何，復幾何和辛幾何，并且分別對應三個不同類型的李群。辛幾何是它們之中最新發展起來的，并且在某種意義下也許是最有趣的，當然也是與物理有極其緊密聯系的一個，這主要因為它的歷史起源與Hamilton力學有關以及近些年來它與量子力學的聯系，現在，我前面提到過的、作為電磁學基本線性方程的Maxwell方程，是Hodge在調和形式方面工作和在代數幾何中應用方面工作的源動力。這是一個非常富有成果的理論，并且自從本世紀三十年代以來已經成為幾何學中的許多工作的基礎。 以一種更具體和明顯的方式，結晶學的古典形式是與晶體結構的對稱性有關的。第一個被研究的實例是發生在點周圍的有限對稱群，這是鑒于它們在結晶學中的應用。在本世紀中，群論更深刻的應用已經轉向與物理的關系，被假設用來構成物質的基本粒子看起來在最小的層面上有隱藏的對稱性，在這個層面上，有某些李群在此出沒，對此我們看不見，但是當我們研究粒子的實際行為時，它們的對稱性就顯現無遺了。所以我們假定了一個模型，在這個模型當中，對稱性是一個本質性的要素，而且目前那些很普遍的不同理論都有一些象SU(2)和SU(3)那樣的基本李群融入其中并構成基礎的對稱群，因此這些李群看起來象是建設物質大廈的磚石。 并不是只有緊李群才出現在物理中，一些非緊李群也出現在物理中，例如Lorentz群，正是由物理學家第一個開始研究非緊李群的表示理論的。它們是那些能夠發生在Hilbert空間的表示，這是因為，對于緊群而言，所有不可約表示都是有限維的，而非緊群需要的是無窮維表示，這也是首先由物理學家意識到的。 在二十世紀的最后25年里，正如我剛剛完成闡述的，有一種巨大的從物理學的新思想到數學的滲透，這也許是整個世紀最引人注目的事件之一，就這個問題本身，也許就需要一個完整的報告，但是，基本上來講，量子場論和弦理論已經以引人注目的方式影響了數學的許多分支，得到了眾多的新結果、新思想和新技術。這里，我的意思是指物理學家通過對物理理論的理解已經能夠預言某些在數學上是對的事情了。當然，這不是一個精確的證明，但是確有非常強有力的直覺、一些特例和類比所支持。數學家們經常來檢驗這些由物理學家預言的結果，并且發現它們基本上是正確的，盡管給出證明是很困難的而且它們中的許多還沒有被完全證明。 所以說沿著這個方向，在過去的25年里取得了巨大的成果，這些結果是極其細致的，這并不象物理學家所講的“這是一種應該是對的東西”。他們說：“這里有明確的公式，還有頭十個實例（涉及超過12位的數字）”。他們會給出關于復雜問題的準確答案，這些決不是那種靠猜測就能得到的，而是需要用機器計算的東西，量子場論提供了一個重要的工具，雖然從數學上來理解很困難，但是站在應用的角度，它有意想不到的回報。這是最近25年中真正令人興奮的事件。 在這里我列一些重要的成果：Simon Dona1dson在四維流形方面的工作；Vaughan-Jones在扭結不變量方面的工作；鏡面對稱，量子群；再加上我剛才提到的“魔群”。 這個主題到底講的是什么呢？正如我在前面提到過的一樣，二十世紀見證了維數的一種轉換并且以轉換為無窮維而告終，物理學家超越了這些，在量子場論方面，他們真正試圖對廣泛的無窮維空間進行細致的研究，他們處理的無窮維空間是各類典型的函數空間，它們非常復雜，不僅是因為它們是無窮維的，而且它們有復雜的代數、幾何以及拓撲，還有圍繞其中的很大的李群，即無窮維的李群，因此正如二十世紀數學的大部分涉及的是幾何、拓撲、代數以及有限維李群和流形上分析的發展，這部分物理涉及了在無窮維情形下的類似處理。當然，這是一件非常不同的事情，但確有巨大的成功。 讓我更詳盡地解釋一下，量子場論存在于空間和時間中，空間的真正的意義是三維的，但是有簡化的模型使我們將空間取成一維，在一維空間和一維時間里，物理學家遇到的典型事物，用數學語言來講，就是由圓周的微分同胚構成的群或者是由從圓周到一個緊李群的微分映射構成的群。它們是出現在這些維數里的量子場論中的兩個非?；镜臒o窮維李群的例子，它們也是理所當然的數學事物并且已經被數學家們研究了一段時間。 在這樣一個1＋1維理論中，我們將時空取成一個Riemann曲面并且由此可以得到很多新的結果。例如，研究一個給定虧格數的Riemann曲面的?？臻g是個可以追溯到上個世紀的古典課題。而由量子場論已經得到了很多關于這些模空間的上同調的新結果。另一個非常類似的?？臻g是一個具有虧格數g的Riemann曲面上的平坦G-叢的?？臻g。這些空間都是非常有趣的并且量子場論給出關于它們的一些精確結果。特別地，可以得到一些關于體積的很漂亮的公式，這其中涉及到Zeta函數的取值。 另一個應用與計數曲線(counting curve)有關。如果我們來看給定次數和類型的平面代數曲線，我們想要知道的是，例如，經過那么多點究竟有多少曲線，這樣我們就要面臨代數幾何的計數問題，這些問題在上個世紀一直是很經典的。而且也是非常困難的?，F在它們已經通過被稱為“量子上同調”的現代技術解決了，這完全是從量子場論中得到的。或者我們也可以接觸那些關于不在平面上而在彎曲族上的曲線的更加困難的問題，這樣我們得到了另一個具有明確結果的被稱為鏡面對稱的美妙理論，所有這些都產生于1＋1維量子場論。 如果我們升高一個維數，也就是2-維空間和1-維時間，就可以得到Vaughan-Jones的扭結不變量理論，這個理論已經用量子場論的術語給予了很美妙的解釋和分析。 量子場論另一個結果是所謂的“量子群”?，F在關于量子群的最好的東西是它們的名字，明確地講它們不是群！如果有人要問我一個量子群的定義，我也許需要用半個小時來解釋，它們是復雜的事物，但毫無疑問它們與量子理論有著很深的聯系它們源于物理，而且現在的應用者是那些腳踏實地的代數學家們，他們實際上用它們進行確定的計算。 如果我們將維數升得更高一些，到一個全四維理論（三加一維），這就是Donaldson的四維流形理論，在這里量子場論產生了重大影響，特別地，這還導致Seiberg和Witten建立了他們相應的理論，該理論建立在物理直覺之上并且也給出許多非同尋常的數學結果。所有這些都是些突出的例子，其實還有更多的例子。 接下來是弦理論并且這已經是過時的了！我們現在所談論的是M一理論，這是一個內容豐富的理論，其中同樣有大量的數學，從關于它的研究中得到的結果仍有待于進一步消化并且足可以讓數學家們忙上相當長的時間。 二十世紀大致可以一分為二地分成兩部分。我認為二十世紀前半葉是被我稱為“專門化的時代”，這是一個Hilbert的處理辦法大行其道的時代，即努力進行形式化，仔細地定義各種事物，并在每一個領域中貫徹始終。正如我說到過的，Bourbaki的名字是與這種趨勢聯系在一起的，在這種趨勢下，人們把注意力都集中于在特定的時期從特定的代數系統或者其它系統能獲得什么。二十世紀后半葉更多地被我稱為“統一的時代”，在這個時代，各個領域的界限被打破了，各種技術可以從一個領域應用到另外一個領域，并且事物在很大程度上變得越來越有交叉性。我想這是一種過于簡單的說法，但是我認為這簡單總結了我們所看到的二十世紀數學的一些方面。 二十一世紀會是什么呢？我已經說過，二十一世紀是量子數學的時代，或者，如果大家喜歡，可稱為是無窮維數學的時代。這意味著什么呢？量子數學的含義是指我們能夠恰當地理解分析、幾何、拓撲和各式各樣的非線性函數空間的代數，在這里，“恰當地理解”，我是指能夠以某種方式對那些物理學家們已經推斷出來的美妙事物給出較精確的證明。 有人要說，如果用天真幼稚的方式(naive way)來研究無窮維并問一些天真幼稚的問題，通常來講，只能得到錯誤的答案或者答案是無意義的，物理的應用、洞察力和動機使得物理學家能夠問一些關于無窮維的明智的問題，并且可以在有合乎情理的答案時作一些非常細致的工作，因此用這種方式分析無窮維決不是一件輕而易舉的事情。我們必須沿著這條正確的道路走下去。我們已經得到了許多線索，地圖已經攤開了：我們的目標已經有了，只不過還有很長的路要走。 還有什么會發生在二十一世紀？我想強調一下Connes的非交換微分幾何，Alain Connes擁有這個相當宏偉的統一理論，同樣，它融合了一切、它融合了分析、代數、幾何、拓撲、物理、數論，所有這一切都是它的一部分。這是一個框架性理論，它能夠讓我們在非交換分析的范疇里從事微分幾何學家通常所做的工作，這當中包括與拓撲的關系。要求這樣做是有很好的理由的，因為它在數論、幾何、離散群等等以及在物理中都有（潛力巨大的或者特別的）應用。一個與物理有趣的聯系也剛剛被發現。這個理論能夠走多遠，能夠得到什么結果，還有待進一步觀察，它理所當然地是我所期望的至少在下個世紀頭十年能夠得到顯著發展的課題，而且找到它與尚不成熟的（精確）量子場論之間的聯系是完全有可能的。 我們轉到另一個方面，也就是所謂的“算術幾何”或者是Arakelov幾何，其試圖盡可能多地將代數幾何和數論的部分內容統一起來。這是一個非常成功的理論。它已經有了一個美好的開端，但仍有很長的路要走，這又有誰知道呢？ 當然，所有這些都有一些共同點。我期待物理學能夠將它的影響遍及所有地方，甚至是數論：Andrew Wiles不同意我這樣說，只有時間會說明一切。 這些是我所能看到的在下個十年里出現的幾個方面，但也有一些難以捉摸的東西：返回至低維幾何，與所有無窮維的富有想象的事物在一起，低維幾何的處境有些尷尬。從很多方面來看，我們開始時討論的維數，或我們祖先開始時的維數，仍留下某些未解之謎。維數為2，3和4的對象被我們稱為“低”維的，例如Thurston在三維幾何的工作，目標就是能夠給出一個三維流形上的幾何分類，這比二維理論要深刻得多，Thurston綱領還遠遠沒有完成，完成這個綱領當然將是一個重要的挑戰。 在三維中另外一個引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本質上來源于物理的工作。這給了我們更多的關于三維的信息，并且它們幾乎完全不在Thurston綱領包含的信息之內。如何將這兩個方面聯系起來仍然是一個巨大的挑戰，但是最近得到的結果暗示兩者之間可能有一座橋，因此，整個低維的領域都與物理有關，但是其中實在有太多讓人琢磨不透的東西。 最后，我要提一下的是在物理學中出現的非常重要的“對偶”。這些對偶，泛泛地來講，產生于一個量子理論被看成一個經典理論時有兩種不同的實現。一個簡單的例子是經典力學中的位置和動量的對偶。這樣由對偶空間代替了原空間，并且在線性理論中，對偶就是Fourier變換，但是在非線性理論中，如何來代替Fourier變換是巨大的挑戰之一。數學的大部分都與如何在非線性情形下推廣對偶有關，物理學家看起來能夠在他們的弦理論和M一理論中以一種非同尋常的方式做到了這一點。他們構造了一個又一個令人嘆為觀止的對偶實例，在某種廣義的意義下，它們是Fourier變換的無窮維非線性體現，并且看起來它們能解決問題，然而理解這些非線性對偶性看起來也是下個世紀的巨大挑戰之一。 我想我就談到這里。這里還有大量的工作，并且我覺得象我這樣的一個老人可以和你們這么多的年輕人談談是一件非常好的事情。而且我也可以對你們說：在下個世紀，有大量的工作在等著你們去完成。 來源：人工智能科學與技術，本文僅用于學術分享，版權屬于原作者。若有侵權，請聯系， |
|
|
來自： taotao_2016 > 《數學》
