【原】傅里葉變換，有史以來最偉大的數學發現之一，理解其背后的直覺

老胡說科學 2021-09-19

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傅里葉變換和傅里葉級數是有史以來最偉大的數學發現之一。它們幫助我們將函數分解成其基本成分。它們揭示了任何數學函數的基本模塊，并讓我們能夠使用這些模塊，以便更好地理解和運算它們。但是，傅里葉級數和傅里葉變換背后的想法究竟是什么，這些 "基本成分 "又是什么？

基本思想

傅里葉級數和傅里葉變換背后的直覺是相同的。

任何函數都可以寫成正弦函數之和。

這個想法很簡單，但卻非常深刻。

我們在高中時都學過什么是余弦和正弦。它們將直角三角形的一個角度與兩個邊長的比值聯系起來。另一種理解方式是，余弦和正弦分別是圍繞單位圓運動的一個點的x和y坐標。它們是人們能想到的最簡單的周期函數之一。

正弦和余弦函數的圖形

余弦和正弦作為繞單位圓運動的點的坐標

由這兩個函數組成的和，可以表示任何數學函數，這一事實讓人驚訝。

但是，傅里葉級數和傅里葉變換之間有什么區別呢？

傅里葉級數和傅里葉變換的區別在于，前者用于將周期性函數分解為正弦和余弦之和，而后者則用于非周期性函數。

現在讓我們來看看這兩者是如何運作的。

傅里葉級數

正如我們所說，傅里葉級數用于周期性函數。回顧一下，如果以下等式成立，一個函數f(t)被稱為是周期性的，其最小周期為T。

簡單地說，這意味著該函數以長度為T的時間間隔重復其數值。

周期性函數的例子

最后，我們將該周期函數的基本頻率定義為1/T，即周期的倒數。如果說周期告訴我們函數重復的頻率，那么頻率則告訴我們每單位時間有多少次重復。

現在我們有了定義傅里葉級數所需要的一切。

傅里葉級數是正弦函數的無限加權和，每個正弦函數的頻率都是原始周期函數的基頻(1/T)的整數倍。

傅里葉級數的公式如下：

周期性函數g(t)的傅里葉級數展開

這看起來有點復雜，讓我們把它分解一下。

分解

我們從基本周期為T的周期函數g(t)開始，然后將其表示為兩個無限和。一個是余弦之和，另一個是正弦之和。這兩個和都是加權的，這意味著它們所包含的每個余弦和正弦都有一個系數。在我們的例子中，這些系數分別用符號α_m和b_n表示。下標字母m和n是和的計數變量。因此，例如，當m變成1、2、3等時，每個余弦的系數從α_1變成α_2，α_3以此類推。

還有自變量t，它也是初始函數g(t)的自變量；常數2π，它的存在與對稱性有關；以及分母中的周期T。你可能已經注意到，我們可以用頻率f代替上式中的1/T比率，以避免使用分數。

我們在三角函數中遇到的最后一個符號是每個和的計數變量，m代表余弦，n代表正弦。它的存在所達到的目的是，在無限的和中，每個余弦和正弦將有不同的頻率。然而，這些都不是任意的頻率。它們是初始函數g(t)的頻率的整數倍。

計算系數α_m和b_n的公式在下面給出。我們不會多談它們，因為它們對我們的理解沒有幫助。

你現在知道如何將任何周期性函數擴展為余弦和正弦之和。

傅里葉級數的替代形式

在我們進入傅里葉變換之前，我想向你介紹一種替代的，也是等價的傅里葉數列的表示方法。這就是下面的內容。

傅里葉級數的指數形式

雖然它看起來與我們上面討論的三角函數形式大不相同，但實際上是等價的。我們所做的只是利用歐拉公式（該公式將余弦和正弦與復指數聯系起來），以更簡潔的形式重寫傅里葉級數。現在，我們不再有兩個和，而只有一個。

歐拉公式

傅里葉變換

如果你已經理解了我們所說的關于傅里葉級數的一切，那么傅里葉變換就會非常簡單了。這一次，我們關注的是非周期性函數。傅里葉變換的公式如下。

傅里葉變換

傅里葉變換的重要性

傅里葉變換的結果是一個頻率的函數。希臘字母omega，"ω"，是用來表示角頻率的，它是乘積2πf的名字。當初始函數f(t)是一個時間函數時，傅里葉變換給了我們該函數的頻率內容。

一個時間函數的傅里葉變換是一個頻率的復值函數，其大小（絕對值）代表了原始函數中存在的該頻率的數量，其參數是該頻率的基本正弦波的相位偏移。傅里葉變換不限于時間函數，但原始函數的域通常被稱為時域。

我們可以用逆傅里葉變換把初始函數找回來。

傅里葉和逆傅里葉變換

詳解

讓我們比較一下傅里葉逆變換和傅里葉級數。

首先，我們沒有使用余弦和正弦（這將產生兩個積分），而是使用一個復指數，以更簡潔的方式表示正弦函數。在積分前出現的系數1/2π是為了對稱。

我們立即注意到的另一件重要事情是，我們現在有了一個積分，而不是一個離散的 "西格瑪 "和。請記住，積分本身就是和，唯一的區別是在積分下被求的量是連續的，而不是離散的。由于初始函數f(t)是非周期性的，我們需要所有可能的頻率，從負無窮大到正無窮大來表示它。在傅里葉級數的情況下，我們只使用T的整數倍。由于我們現在沒有一個基本周期T，我們被迫使用所有的周期。

對于復指數的系數，我們得到了在每一個可能的頻率ω下函數的傅里葉變換的值。正如你所看到的，從傅里葉級數的概念到逆傅里葉變換的概念，有一個明顯的一一對應關系。

結束語

正如泰勒級數將一個函數分解為無限的單項式加權和一樣，傅里葉級數和傅里葉變換幫助我們將一個周期性函數表示為正弦信號的加權和。正弦信號在數學意義上很容易被運算。如果我們知道一個系統，比如可能是一個有彈簧的經典系統，是如何對正弦波輸入作出反應的，那么我們就可以用上述的想法將任何其他輸入表示為正弦波之和。因此，很大一部分分析已經完成，數學運算也變得容易多了。由于這個原因，傅里葉級數以及傅里葉變換在所有科學領域都有大量的應用，如電子工程、物理和生物。