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把波動分解成三角函數(shù)是一種將任意周期性函數(shù)分解成一系列三角函數(shù)的方法。這種方法在信號處理、音頻處理、圖像處理等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。 在波動分解成三角函數(shù)的方法中，我們首先需要了解傅里葉級數(shù)的概念。傅里葉級數(shù)是一種將周期函數(shù)分解成一系列正弦和余弦函數(shù)的方法。具體來說，對于一個周期為T的函數(shù)f(x)，它的傅里葉級數(shù)可以表示為： f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx)
+ bn*sin(nωx)) 其中，a0、an、bn是系數(shù)，ω=2π/T是角頻率，n是正整數(shù)。這個式子的意思是，任意一個周期為T的函數(shù)都可以表示成一個常數(shù)項a0和一系列正弦和余弦函數(shù)的線性組合。 在實際應(yīng)用中，我們通常只需要保留前幾項的傅里葉級數(shù)，就可以近似地表示原函數(shù)了，例如我們認(rèn)為五次諧波就可以近似的恢復(fù)出一個脈沖波。這個近似的程度取決于保留的項數(shù)，通常保留的項數(shù)越多，近似的程度就越高。 矩形波 矩形波是一種周期為T、幅度在某個時間間隔內(nèi)保持不變，而在其他時間內(nèi)歸零的波。這個函數(shù)可以描述許多實際問題，例如脈沖信號傳輸和數(shù)字通信中的調(diào)制技術(shù)。激光在光纖中的傳輸也可以用矩形脈沖來模擬。 舉個例子，假設(shè)我們有一個周期為2秒的矩形波，幅度為1。在0到1秒的時間段內(nèi)，波的值為1；在1到2秒的時間段內(nèi)，波的值為-1。使用傅立葉級數(shù)展開這個矩形波，我們會得到一系列奇次頻率的正弦函數(shù)分量，每個分量都有不同的振幅和相位。這些分量合在一起，形成了原始的矩形波形。
三角波 三角波是一種周期為T、連續(xù)上升和下降的波形。它類似于音樂中的提琴聲或合成器上的三角波形振蕩器。三角波有許多應(yīng)用，例如在電路中產(chǎn)生頻率可控的信號、音樂合成和圖像處理。 假設(shè)我們有一個周期為1秒的三角波，幅度在0到1秒的時間內(nèi)從0線性上升到1，然后在1到2秒的時間內(nèi)線性下降回0。將這個三角波展開為傅立葉級數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)它包含了無限多的正弦和余弦分量，每個分量都有不同的振幅和相位。通過組合這些分量，我們可以逼近原始的三角波形。
方波 方波是一種周期為T，幅度在某個時間間隔內(nèi)保持不變，而在其他時間內(nèi)反轉(zhuǎn)的波形。方波在數(shù)字邏輯電路和通信系統(tǒng)中廣泛使用，例如時鐘信號的生成和數(shù)字調(diào)制技術(shù)。 假設(shè)我們有一個周期為2秒的方波，幅度為1。在0到1秒的時間段內(nèi)，波的值為1；在1到2秒的時間段內(nèi)，波的值為-1。將這個方波展開為傅立葉級數(shù)，我們會看到它由一系列奇次頻率的正弦函數(shù)分量組成。每個頻率分量的振幅逐漸遞減，反映了方波形狀中的快速變化。
鋸齒波
此類物理現(xiàn)象，在電子工程師的日常工作中經(jīng)常能夠看到，我們習(xí)以為然的規(guī)律需要大量的數(shù)學(xué)論證。 傅里葉的科學(xué)成就主要在于他對熱傳導(dǎo)問題的研究，以及他為推進(jìn)這一方面的研究所引入的數(shù)學(xué)方法。傅里葉對熱理論的研究開始于1803 年前后，1807 年底向巴黎科學(xué)院呈交了一篇題為《熱的傳播》的論文，1811年傅里葉又送上了重新修改后的論文《熱在固體中的運動理論》，但被當(dāng)時科學(xué)院的審查委員會質(zhì)疑不嚴(yán)密，而未能及時發(fā)表。直到 1822 年出版《熱的解析理論》，才將論文的第一部分編入其中。 《熱的解析理論》是傅里葉數(shù)學(xué)和物理貢獻(xiàn)的代表作，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的經(jīng)典文獻(xiàn)之，對數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。在書中，一方面，傅里葉按照18世紀(jì)的傳統(tǒng)方式思考數(shù)學(xué)，另一方面他所留下的問題又對19 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情況下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅里葉的名字命名。 任何函數(shù)都可以寫成正弦函數(shù)之和。(后來證明需要滿足狄利克雷條件) 這個想法很簡單，但卻非常深刻。 這里面包含三個問題： 1、 為什么要分解？ 將一個函數(shù)做傅里葉變換或者展開為傅里葉級數(shù)，可以幫助我們求解線性微分方程，或者從實際意義來說，可以幫助我們分析一個線性系統(tǒng)對外界做出如何響應(yīng)。 在我們?nèi)粘９ぷ髦薪?jīng)常碰到的：我們把輸入信號分解成正弦波，很容易根據(jù)濾波器的特性，分析得出輸出波形的形態(tài)。
2、 為什么是三角函數(shù)正弦余弦波，為什么不是其他的波？
因為三角函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)好！用正弦函數(shù)定義頻率，首先是因為正弦函數(shù)是最簡單的連續(xù)有周期性的函數(shù)。其次，它在求導(dǎo)算子作用下周期不會變。求導(dǎo)算子的特征函數(shù)是e^{ix}，看看傅里葉變換的核函數(shù)，這說明傅里葉變換在微分方程上做處理很方便，感覺跟數(shù)論里的模運算很相似。最后在有限的閉區(qū)間上所有連續(xù)或者間斷點可數(shù)的函數(shù)構(gòu)成的空間可以用正弦函數(shù)構(gòu)成的空間逼近，這是空間分解和構(gòu)成的問題，是信號分析的主要問題。e 的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是e的指數(shù)函數(shù)。其他函數(shù)求導(dǎo)后的變化趨勢格式各異，問題變得復(fù)雜。 思考了一個問題：我們知道一個時域上是正弦波的電信號，在頻譜分析儀上看到是一個單一頻譜。那么我們的單一頻譜的信號，在波形上為什么是正弦波？而不是一個方波、三角波、半圓波？這是因為我們看到的頻譜就是根據(jù)傅里葉級數(shù)進(jìn)行分解展開的，我們看到的單一頻譜自然就是正弦波。這是一個“循環(huán)論證”。。。有這個死循環(huán)的想法的原因：我們用頻譜分析的時候，就是用正弦波，所以已經(jīng)習(xí)以為常了用三角函數(shù)展開了。。。。 3、如何能證明滿足條件的任意函數(shù)都可以展開成傅里葉級數(shù)？ 這個證明很復(fù)雜，屬于泛函分析證明，需要考慮各種情況嚴(yán)格的證明非常繁瑣，此處跳過。這個證明在高數(shù)書上直接運用了假設(shè)，證明過程也是略過的。總之，他可以，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了。 |
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