經典不等式鏈的一些拓展理解

經典不等式鏈： 

1. 第一部分：調和平均數（HA: harmonic average）

即n個量的倒數的平均數的倒數；

應用場景：樣本自變量和因變量的乘積相等的情況下，改變每個樣本的自變量，而不改變自變量的總和，隨之變化的因變量為調和平均數.

實際例子：

例一：一道小學6年級題目。一項工程甲單獨完成需要4天，乙單獨完成需要6天，問甲乙一起完成需要幾天？

              此題對于一些六年級孩子而言應該不算難題。他們所熟練使用的做法，也是現在很多人第一時間想到的方法便是設“1”法。即需要：

這是我們第一次無意識得接觸調和平均數。當然大部分人也只是按公式去理解：總工程量設為x,則甲乙工作效率分別是,所以兩個人得工作效率為,進而消去x便得到我們上述結果。

對比該例和我們對調和平均數的應用場景，這里總體的工程量是不變的，所求的工作時間為因變量，自變量為工作效率（和不變）。所求時間即為調和平均！

       調和平均可以通俗理解為“能者多勞”，或者說是“壓榨能人”。即能力強的（干活快的）不怕吃虧，大家都埋頭苦干就好了（是不是很符合我們的共產主義目標(*^_^*)）。對于每個變量的“能力調和”。

注意：1. 使用簡單的調和平均要滿足“大家一起”這個條件，如果不滿足將變為另一種“調和”，如下面例二。

2.自變量與因變量乘積要保持不變。但有些問題中的不變量并不是那么明顯，如下面的例三

例二：與例一條件相同，甲單獨4天，乙單獨6天，現在要求每天甲干前半天，乙干后半天。問完成整個工程需要多少天？

       此時問題相對例一就變得復雜了很多，當然思考清楚后發現我們可以興奮得發現每天的工作量是不變的：.那么我們只需要求()。

       這里的出現其實可能很多讀者已經感覺到了所謂平均的意義（滑稽臉）。對！就是對變量按權重取期望（看不懂就跳過吧），可以思考下如果是“甲工作前1/3天，乙工作后2/3天，結果又該怎么算”，祝你能快速理解。

       如果上述你能理解，那么下面例三對你便小菜一碟！

例三：小明繞著跑道跑了3圈，同一圈時保持勻速，三圈速度分別為.求小明的平均速度。

很多六年級孩子接觸這道題時，當時就懵圈了，直接就得到.

對于有點知識基礎的我們而言，我們其實可以發現此時的問題與例二類似（只需要改變例二條件為兩人輪換分別每人干一整天），用總路程除以總時間，設一圈為S，則總路程為3S，總時間為,所以：

終于出現了我們開頭所介紹的形式！

在例二的最后我介紹了平均的本質就在于加權的期望，這里我把上式改寫一下形式希望對讀者理解起來有幫助。

即按三部分的時間比例分配權重給速度，求速度的期望。

最后給一個網上的生動解釋：

在實際中，往往由于缺乏總體單位數的資料而不能直接計算算術平均數，這時需用調和平均法來求得平均數。

2. 第二部分：幾何平均數（GA：geometrical average）

        : 形式上很簡單，n個變量的乘積開n次方。

       什么時候使用幾何平均數呢？注意不論什么平均數都是描述這些變量的統計學特征（PS:統計學參數還包括中位數，眾數，方差，極差等）。

       思考一個具體的數學例子：首項為1，公比為2的等比數列{}.求一個統計學量表示這10個數的分布情況，若采用從小到大最常用的算術平均數（即），你將會發現這個量十分接近。仔細思考下便知道由于指數型增長的關系，算術平均將受后面較大數很嚴重的影響。這樣的統計量不合理，也很不公平。在這里，其實中位數便是一個很不錯的值！當然此時幾何平均數也脫穎而出，自行計算可以發現此時幾何平均與中位數很接近。

       這里我們應該有個初步感覺，幾何平均貌似把一些很大很大的數作用給縮小了，同時把比較小的作用稍微調大了

       那么什么時候用幾何平均呢？考慮下面一個更為實際的例子。假設一個公司評選優秀員工，參考兩項指標，一項是百分制，一項十分制。現在甲得分為(78,6),乙得分為(87,3)；那么甲乙誰更優秀呢？這里思考快的讀者估計已經發現問題了，如果用傳統的算術平均，則甲平均為42，乙平均為45，我們會推斷乙平均更優秀，但這樣合理嗎？很明顯不合理！把第二項指標換也換算成百分制，則兩人的得分應該是（78，60），（87，30）.此時再求平均得到甲平均為69，乙平均為58.5;甲超出乙很多！而且這種做法很符合我們的公正性。我們對原數據（78，6）和(87,3)用幾何平均數試試，可以得到甲的幾何平均為21.63，乙幾何平均為16.15

       到這里可能大家都發現幾何平均的第一個應用了：對不同標準的量可以進行權重的調整（類似于馬氏距離與歐氏距離的關系），又一次說明了平均即為帶權重的期望，使得平均數更有說服力。

       但對于上述問題要注意，幾何平均一般是沒有單位的。比如兩個人身高體重分別是(180cm,80kg)和(160cm,70kg).這時用幾何平均比較兩個人的平均身體水平是合適的，但平均數是沒有單位的，只能比大小。

       幾何平均更多用于金融學的復利上，舉一個簡單例子，一個基金連續5年的年利率分別為1%，2%，3%，4%，5%。求平均年利率。我們列式子便能得到:

       這里不再計算，可以明顯得到x的求法并不是單純的.

3. 第三部分：算術平均數（AA： arithmetic average）

       終于到了我們最最最熟悉的算術平均，雖然前面一直在diss算術平均，但不得不承認算式平均用途很廣！

       這里不再獻丑，只是說明一下，算術平均其實就是上面我所提到的期望哈哈哈。剛剛懵逼的讀者現在估計要打我了。

       另外在第二部分幾何平均時我們發現，算術平均的一大缺點就是很容易受到某些相對于其他量，自身極高或者極低的量影響。所以如果對于實際情況時我們往往去除最高分和最低分來控制隨機誤差。

4. 第四部分：平方平均數（QA：Quadratic average）

        :平方取平均再開方.該平均數用途過少，這里不再贅述。

總結：

      1. 不同尺度的比率：使用幾何平均數（或在標準化的數據上應用算術平均數）；周期一致的復合比率：使用幾何平均數。

      2. 不同周期或長度上的比率：使用調和平均數（或加權平均數）。

      3. 如果數據體現出相乘結構和/或包含較大的離散值：幾何平均數或調和平均數可能更合適（中位數可能也比較合適）

      4. 使用幾何平均數可能損失有意義的尺度或單位。包含0的數據集無法應用幾何平均數或調和平均數，包含負數的數據集意味著無法應用幾何平均數

      5. 不需要把調和平均和幾何平均看得很神秘。不同尺度評分的幾何平均數有時保留了這些值標準化至同一尺度后的算術平均數的次序。此外，由數學公式，我們可以得到幾何平均其實可以看做取對數后的算術平均（然后再取反函數變回來）。這一點與調和平均一樣，開頭我們介紹調和平均時就展示了它本身就可以理解為變量取倒數后的算術平均（然后再取倒變回來）。

      6. 算術平均，幾何平均，調和平均統稱為畢達哥拉斯平均數。

最后放一張圖供大家享用：

A:算術平均； Q:平方平均； H:調和平均； G:幾何平均