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有這樣的一個四位數，它的前兩位數字與后兩位數字相加得到的兩位數再平方后，恰好又等于這個四位數。 請你求出這樣的四位數都有哪些？（提示：有多個答案）  【解答】我們先設這個四位數的前兩位數為  ，后兩位數為 根據題目的信息，我們可以得到關系式：  接下來，將這個式子整理成一個關于 的一元二次方程，即 因為這個方程是有解的，所以其判別式應滿足  ，即 整理化簡后可得  求解后得  由此可得  的取值范圍是內的自然數。我們再根據求根公式解出 因為 都是整數，所以對于就應該是一個完全平方數。我們都知道完全平方數的末尾一定是0，1，4，5，6，9 由此我們就進一步可以將 的范圍縮小：0，1，4，5，6，9，10，11，14，15，16，19，20，21，24，25 通過檢驗排除錯誤的數值，可以得到 只能取1，25（提示：如果能夠熟練背誦50以內自然數的平方，在這里驗算就變得十分簡便了） 由此可以得到 的取值分別有因為 在四位數中占的后兩位，所以綜上可得該四位數分別是9601，3025，2025 看到這里，你的答案是不是和我的一樣呢？ 解：設這個四個位數的前兩位數和后兩位數分別為a和b，依題意得 (a+b)2=100a+b a=50-b±√(2500-99b) 因為a、b都為正整數，所以√(2500-99b)為正整數，即2500-99b為完全平方數 再根據完全平方數的末位數字只能為0、1、4、5、6、9并且列舉得b只能為1或25，所以a為98或20或30 所以這個四位數為9801或2025或3025 |
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