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世居瑞士的伯努利家族 (Bernoulli family) 是數學史和科學史上最杰出的家族之一，他們從十七、十八兩世紀以來，三代中出現了八位非常了不起的數學家和科學家，在微積分的發展和應用上扮演著領導的角色，既使是對現代數學演變作最簡明的敘述，也無法把他們的貢獻一筆帶過。伯努利家族是于1583年為了躲避天主教徒對新教徒的大屠殺而由安特衛普（Antwerp，現為比利時北部的一海港）逃亡的許多新教家族之一。他們最初逃至法蘭克福，后來再遷往瑞士，在貝塞爾 (Basel) 地方定居下來，伯努利家族的先祖并與貝塞爾地方最古老的家族之一通婚，成為一個大商人。以下我們先將柏氏家族十七、十八世紀的世系表列出，然后再對他們加以個別介紹。在世系表中最上面的老尼古拉·伯努利（Nikolaus Bernoulli，1623-1708）就像他的祖父和曾祖父一樣是個大商人。除了他曾祖父之外，其他的先祖都是與商人的女兒結婚，并且累積了大批的財富。除了經商之外也有人脫離家族經商的傳統而從醫。數學天賦可能早已溶入這個精明的商人家族的血統中。 
當萊布尼茨關于微積分的論文發表于《Acta Eruditorum》后，雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705) 和約翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748) 兩兄弟就專注數學研究而成為數舉家，他們是最早體認到微積分的威力并且應用這工具于各類問題的少數數學家之一，從1687年直至他去世為止，雅各布一直是貝塞爾大學的數學講座。約翰本是個醫生，后來也改行成為數學家。于1697年成為格羅寧根大學 (Groningen University) 的數學教授，在雅各布于 1705年去世之后，約翰繼承他兄長在貝塞爾大學的數學講座職位，一直到他去世為止，這兩兄弟經常彼此刻薄地互責互謔但是卻一直保持與萊布尼茨交換意見并且相互交換意見。雅各布·伯努利于1654年出生于巴塞爾。他的父親想讓他學習神學并加入神師，他照做了，盡管他不顧家人的反對，同時學習數學和天文學。1676-82年間，雅各布周游歐洲，向當代最優秀的數學家學習。1683年，他回到巴塞爾，開始在當地的大學任教。1684年，他在巴塞爾大學獲得了數學學位論文。1687年，雅各布被任命為巴塞爾大學的數學教授。他在他的余生中一直擔任著這個職位，包括教學、旅行和研究。17世紀80年代中期，他開始輔導他的弟弟約翰，兩兄弟有幾年時間經常合作。然而，兩人后來發生了嚴重的爭吵，至死都沒有說話。雅各布于1705年死于肺結核。雅各布·伯努利對數學有很多貢獻，最重要的包括解析幾何、概率論和變分學(calculus of variation) 三大方面。他的概率論著作《Ars Conjectand》在他去世后八年即1713年才出版，該書內涵所包括理論有些至今仍甚具價值，廣泛地應用于保險業，統計和對遺傳的數學研究。雅各布一項研究就是他大大地豐富了微積分學。他繼續萊布尼茨的工作，對各種鏈線 (catenary curves) 作了相當詳盡的研究。這些雅各布所研究的數學后來廣泛地應用于建造吊橋和高電壓線路。在雅各布解決這類問題時，它們是嶄新且困難的問題，如今卻成為初等微積分教科書或力學教科書中的練習題。在數學上有些東西冠著雅各布·伯努利的名字，例如在統計和概率論上的 「伯努利分布」和「伯努利定理」;微分方程上的「伯努利方程式」；數論中的「伯努利數」和「伯努利多項式」，以及微積分上的「伯努利雙扭線」。雅各布?伯努利在1690年刊登于《Acta Eruditorum》上關于等容曲線 (isochrone curve) 問題的解答中。我們首度見到 integral（積分）這個字以微積分的意味出現。他是德國數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的朋友，在艾薩克·牛頓和萊布尼茨關于微積分發現的公開不和中站在了他一邊。萊布尼茨原先稱積分學為 Calenlus summatorius，1696年萊布尼茨和約翰·伯努利協議改稱它為 culus integralis。后來，他和弟弟約翰一起進行了大量的微積分研究。雅各布在研究一個復利問題的求解時發現了e。雅各布·伯努利的箴言是 Invito patre sidera verso (Against my father's will I study the stars，我違父意，研究群星)──以諷刺的口語紀念他父親徒然地阻止他學習數學和天文。他對于等角螺線 (equi-angular spiral) 在各種變換下的再生性深感興趣，因而效尤阿基米德，要求把這螺線刻在他的墓碑上，并且附注墓志銘 Eadem mutata resurgo (I shall arise the same, though changed，縱使改變，依然故我)。“Every science needs mathematics, mathematics needs none.”– Jacob I Bernoulli“每一門科學都需要數學，數學根本不需要。”–雅各布·伯努利
Ars conjectandi, 1713 (Milano, Fondazione Mansutti)約翰·伯努利出生于1667年，是尼克勞斯的第三個孩子。尼克勞斯想讓約翰接管家族生意，但他說服了他的父親允許他學醫。他進入巴塞爾大學學習醫學，同時他和他的哥哥雅各布一起秘密學習數學。1690年，約翰從巴塞爾大學畢業，獲得了醫學博士學位。這時，他和哥哥雅各布的關系正在惡化，因為兩人非常嫉妒對方的成就。1694年，約翰接受了格羅寧根大學的一個職位。他離開了巴塞爾，再也沒有和雅各布交談過，直到1705年雅各布去世后才回到巴塞爾。他接替了雅各布的空缺職位，并在他剩下的職業生涯中擔任數學教授。由于沒有兄弟成為他的對手，約翰把嫉妒轉向他的天才兒子丹尼爾，與他競爭直到他去世。約翰·伯努利以其對無窮小微積分的研究和工作而聞名。盡管萊布尼茨和牛頓在發現微積分方面受到了不同程度的贊揚，但約翰和雅各布是最早應用該理論并使用它來解決實際問題的數學家之一。約翰還因教授著名的數學家萊昂哈德·歐拉而聞名。約翰·伯努利在數學上的貢獻比他的哥哥雅各布·伯努利還多。雖然他是個善妒和好爭吵的人，卻是他那時代最成功的教師之一。他對微積分有很多貢獻，并且在引起歐陸人士對于微積分的威力的賞識頗具影響力。1696年洛必塔（Marquis de L'Hospital, 1661～1704）出版了第一本微積分的教科書，實際上是約翰·伯努利所編寫而在一種奇特的金錢協議下讓于洛必塔的。在這種情形下，計算不定式 0/0 的方法在后來的微積分教科書中被錯誤地命名為洛必塔法則。約翰·伯努利所從事的研究范圍相當廣博，包括與反射和折射相關的光學現象，曲線族垂直投射的決定，解析三角，冪數計算和其他一些問題。他較有名的頁獻是對于最速降線 (brachysto chrone) 問題的研究──重力場上一有重質點在兩已知點間由一點以最快速度下落至另一點所成曲線的決定，該曲線實為擺線 (cycloid curve) 的一弧。這個問題雅各布·伯努利也曾探討過。擺線同時也是同線 (tauto chrone) 問題的解答──決定一曲線使一有重質點無論由曲線上的那一點開始均在同一時間區間內到達曲線上固定點。約翰·伯努利有強烈的愛與憎。萊布尼茨和歐拉是他心目中的神，牛頓則深為他所憎惡及大大地低估。約翰是個精力充沛、頭腦清晰的人，在他八十高齡臨死的前幾天仍然勤奮不倦。“I recognize the lion by his claw.”– Johann Bernoulli, after reading an anonymous solution to a problem that he realized was Newton’s solution.[10]“我從獅子的爪子認出了它。”–·約翰·伯努利，在閱讀了一個匿名的問題的解決方案后，他意識到這是牛頓的解決方案。
尼古拉·伯努利一世 Nicolaus Bernoulli （有些地方也稱尼古拉）尼古拉一世（Nicolaus I, 1662-1716）也深具數學天賦，就像他的兄弟雅各布及約翰一樣，開始時選錯行。他十六歲就得到貝塞爾大學哲學的博士學位，并且在二十歲時得到法學的最高學位。在他成為圣彼得堡的數學教授之前，他原是伯恩 (Bern)的法學教授，他去世時曾獲得俄國凱瑟琳女王特賜國葬的殊榮。尼古拉一世的兒子尼古拉二世(1687-1759，呃，他們家三代都叫這個名字也是醉了~~) ，即雅各布和約翰的侄子，也在數學界頗有名氣。這個尼古拉曾擔任過巴杜亞大學 (Padua University) 的數學講座，這個職位曾為伽利略所有。尼古拉二世寫了許多關于幾何和微分方程方面的論文，后半世則改教授邏輯和法律。約翰·伯努利有三個兒子，尼古拉三世，丹尼爾和約翰二世。不出意料的是，尼古拉三世在巴塞爾大學學習數學，以及法律和哲學。他是個浪子，學習了好幾種語言，13歲開始上大學。他指導他的弟弟丹尼爾和約翰二世的數學，直到他們準備加入他在學院。1715年，尼古拉斯二世獲得了法學博士學位。從1719年到1723年，尼古拉斯擔任帕多瓦大學的數學系主任。在此期間，他還為父親約翰工作，協助他進行研究和通信。1725年，他和他的弟弟丹尼爾受到俄國彼得大帝的邀請，到他新開辦的圣彼得堡學院任教。不幸的是，不到一年后，尼古拉三世生病早逝。他發表過曲線，微分方程和概率方面的論文，有一個概率論上有名的問題，由于是他在圣彼得堡所提出，后來均稱其為彼得堡詭論 (Petersburg paradox)，問題如下：某甲投擲一枚硬幣，倘若第一次就擲得正面，則得 1 便士；在第二次才擲得正面，得 2 便士；第三次才擲得正面，可得 4 便士，如此類推。試問他的期望值應為若干？數學理論顯示某甲的期望值應為無限大，為一個實際上不可能的結果。丹尼爾是約翰·伯努利三個孩子中最出名的一個，1700年出生在荷蘭的格羅寧根，當時他的父親約翰就在那里教書。和約翰之前的父親一樣，他也試圖說服兒子學商業，理由是數學離賺錢還很遠。丹尼爾拒絕了，他走了他父親幾十年前的道路。然而，他的父親最終說服了他學習醫學，條件是允許丹尼爾和他的天才家人一起學習數學。他于1721年獲得了解剖學和植物學博士學位。成年后和父親的關系很糟糕，因為約翰嫉妒兒子的才能。約翰多次與他否認，把他趕出房子，抄襲他的作品，為丹尼爾的發現贏得贊譽。1725年，丹尼爾和他的哥哥去了圣彼得堡，在彼得大帝的新學校教書。他不情愿地在那里工作到1733年，然后回到巴塞爾大學，在那里度過了余生。丹尼爾·伯努利最關鍵的工作是關于能量守恒的主題，該能量守恒表明一個封閉系統的總能量保持不變。他制定了一個方程來表達能量守恒定律，該定律至今仍在使用。丹尼爾和歐拉是相當親密的好友，有時也是友好的對手。正如歐拉一樣，丹尼爾·伯努利曾經十度贏得法國學術院的獎金（有少數幾次是與其他競爭者合得）。1725年（當時他僅25歲）丹尼爾就繼承了大哥尼古拉在圣彼得堡的職位。但是當時的圣彼得堡仍是過著相當簡陋野蠻的生活，使他深感不適，因此在七年后第一次有機會離開時就趕快回到貝塞爾，在貝塞爾大學他曾任解剖學和植物學的教授，后來因對科學發生興趣，改為擔任物理學的教授，成為毫無保留地接受牛頓的宇宙觀的第一個非英籍科學家。他專注全力于概率：天文物理和流體力學方面的研究。在概率論方面他曾提出或然率期望值 (moral expectation) 的概念。在他1738年出版的《Hydrodynnmica》一書中，出現了流體力學的原理，在現今的初等物理學教科書上稱為「伯努利原理」。他并發表了有關潮汐的論文；建立氣體動能理論，研究弦的振動，并且是偏微分方程的拓荒者，以及許多其他應用數學上的問題：因此有人稱丹尼爾·伯努利為數學物理的奠基者。丹尼爾·伯努利年青的時候有一次出外旅行，遇見一位陌生人，兩個人談得很投機，于是丹尼爾自我介紹說：「我是丹尼爾·伯努利。」那人聽了，就用一種諷刺的口氣說「我是伊薩克·牛頓 (Isaac Newton，1642-1727)。這句話使丹尼爾終身引以為榮，認為是他所得到最大的恭維。“All birds need to fly are right-shaped wings, the right pressure, and the right angle.” (Daniel Bernoulli)“所有需要飛的鳥都是正確形狀的翅膀，正確的壓力，和正確的角度。”（丹尼爾·伯努利）
丹尼爾·伯努利的肖像畫，1720-1725年，太帥了吧約翰一世的幼子約翰二世(1710-1790)也是開始時并非專攻數學而是習法律的。他在繼承父親約翰一世在貝塞爾大學的數學教授職位之前，原是擔任修辭學教授 (professor of eloquence) 的職位。他的論著主要是物理，他曾三度奪得巴黎科學院征文獎金（通常能奪得一次就足以令數學家大感滿足了），他尤其對熱和光的數學理論感興趣。約翰二世的長子約翰三世 (1746-1807)重踏家族開始時選錯行的覆轍，跟他的父親一樣學醫。他立刻被認為是一個兒童天才，他本能地吸收了驚人的知識。13歲時就得到哲學的博士學位。19歲時被任命為柏林的皇家天文學家。他著有天文、概率學理、循環小數和不定方程式方面的論文。約翰二世的另一子雅各布二世 (1759-I789)開始時學習法律，在21歲時一度改為實驗物理，后來轉為學習數學，成為圣彼得堡學術院的數學和物理部門的一員。他的早夭（30歲時失足淹死）結束了他本來極有希望的事業，我們對他的了解不多，只知道他是和歐拉的孫女結婚。由于數學界的人才輩出，伯努利家族的子孫紛紛改習其他的學科，并且在各方面均有相當優異的表現，只是不像以上所談及的幾位那么出色就是了。關于有名的伯努利家族，人們盛傳著許多傳說和軼事，其中有一個故事是這樣的：這份資料的底稿好像來源于一個臺灣某大學的網站，很久整理的資料了，原址忘記備份了1.E. T. Bell:《Men of Mathematics》, Simon and Schuster New York 1937.2.Howard Eves:《An Introduction to the history of Mathematics》, 3rd edition, Holt, Rinehart and Winston, 1964.3.Isaac Asimov:《Isaac Asimov's Biographical Encyclopedia of Science and Technology》, New Revised edition, Avon Books, 1972.
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