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作者：Steven Strogatz 2022-1-24 譯者：zzllrr小樂 2022-2-2 無限求和是數(shù)學(xué)中最被低估但最強(qiáng)大的概念之一，能夠連接數(shù)學(xué)廣闊網(wǎng)絡(luò)中的眾多概念。 就純粹的才華而言，我們很難擊敗約翰·馮·諾依曼。作為現(xiàn)代計算機(jī)的建筑師和博弈論的發(fā)明者，馮·諾依曼是傳奇人物，尤其是因為他閃電般的心算。 傳說有一天，有人用一個謎題挑戰(zhàn)他。兩名騎自行車的人從一條 20 英里長的道路的兩端出發(fā)。每個騎自行車的人以每小時 10 英里的速度向?qū)Ψ叫旭偂．?dāng)他們開始時，一只坐在其中一輛自行車前輪上的蒼蠅起飛并以每小時 15 英里的速度向另一輛自行車飛去。一旦它到達(dá)那里，它立即轉(zhuǎn)身并飛回第一輛自行車，然后回到第二輛，依此類推。它不斷地來回飛行，直到當(dāng)自行車相撞時它最終在兩個前輪胎之間被擠壓。蒼蠅在被壓扁之前總共飛了多遠(yuǎn)？ 聽起來很難。蒼蠅的往返旅程由無數(shù)部分組成，每個部分都比前面的部分短。將它們加起來似乎是一項艱巨的任務(wù)。 但是，如果您考慮騎自行車的人，而不是蒼蠅，問題就變得容易了。在 20 英里長的道路上，兩個以每小時 10 英里的速度接近的騎自行車的人將在 1 小時后在中間相遇。在那一小時里，無論蒼蠅走哪條路，它一定已經(jīng)飛了 15 英里，因為它的時速是 15 英里。 馮·諾依曼聽到這個謎題，立刻回答說：“15 英里。”他失望的提問者說：“哦，你看到了訣竅。什么招數(shù)？”馮·諾依曼說：“我只是將無窮級數(shù)求了一下和。” 無窮級數(shù)——遵循特定規(guī)則的無限多的數(shù)字、變量或函數(shù)的總和——在微積分的偉大戲劇中扮演著小角色。雖然導(dǎo)數(shù)和積分正確地?fù)屃孙L(fēng)頭，但無窮級數(shù)謙虛地站在一邊。當(dāng)他們確實出現(xiàn)時，它已經(jīng)接近課程的尾聲，因為每個人都在拖著自己越過終點線。 那么為什么要研究它們呢？無窮級數(shù)有助于找到難題的近似解，并有助于說明數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的細(xì)微之處。但除非你是一個有抱負(fù)的科學(xué)家，否則這都是一個大大的哈欠。此外，無窮級數(shù)通常在沒有任何實際應(yīng)用的情況下呈現(xiàn)。少數(shù)確實出現(xiàn)的東西——年金、抵押貸款、化療方案的設(shè)計——對青少年受眾來說似乎很遙遠(yuǎn)。 學(xué)習(xí)無窮級數(shù)（或者我告訴我的學(xué)生）最令人信服的原因是它們是令人驚嘆的連接器。它們揭示了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的聯(lián)系，以及之前所有事物之間的意想不到的聯(lián)系。只有當(dāng)你進(jìn)入微積分的這一部分時，數(shù)學(xué)的真正結(jié)構(gòu)——所有的數(shù)學(xué)——才最終開始出現(xiàn)。 在我解釋之前，讓我們看看另一個涉及無窮級數(shù)的謎題。逐步解決它將闡明馮·諾依曼如何解決蒼蠅問題，并將為更廣泛地思考無窮級數(shù)奠定基礎(chǔ)。 假設(shè)您想從街頭小販那里購買一頂精美的帽子。他要價 24 美元。“12美元怎么樣？”你說。“讓我們平分差價，”他回答說，“18 美元。” 通常這樣會得到解決。平分差價似乎是合理的，但不適合你，因為你讀過同一份談判手冊，“無限討價還價的藝術(shù)”。你用你自己的提議來平分差價，除了現(xiàn)在它在 12 美元和桌子上的最后一個數(shù)字 18 美元之間。“那怎么樣？”你說，“15 美元，這是一筆交易。” “哦，不，我的朋友，讓我們再次平分差價，16.50 美元，”供應(yīng)商說。直到你收斂到相同的價格之前，這一直是荒謬的。最終價格是多少？ 答案是無窮級數(shù)之和。要了解它是什么，請觀察連續(xù)的報價遵循有序的模式： 24 他的要價 12 = 24 - 12 你的第一個報價 18 = 24 ? 12 + 6 平分 12 和 24 之間的差 15 = 24 ? 12 + 6 ? 3 平分 12 和 18 之間的差 關(guān)鍵是等號左邊的數(shù)字是從右邊不斷加長的數(shù)字序列系統(tǒng)地建立起來的。序列中出現(xiàn)的每個數(shù)字（24、-12、6、-3…）都是前面數(shù)字的一半，但符號相反。因此，在限制范圍內(nèi)，您和小販達(dá)成一致的價格 P 是 P = 24 – 12 + 6 – 3 + … 其中三個點表示該數(shù)列將永遠(yuǎn)持續(xù)下去。 與其試圖圍繞這樣一個無限長的表達(dá)式，我們可以執(zhí)行一個巧妙的技巧，使問題變得簡單。它使我們能夠取消令人眼花繚亂的無限項集合，從而使我們的計算更加簡單。 微積分的先驅(qū)們發(fā)現(xiàn)，他們熟悉的所有函數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成“冪級數(shù)”的通用貨幣。 具體來說，讓我們將 P 加倍。這也會使右邊的所有數(shù)字都加倍。因此， 2P = 48 – 24 + 12 – 6 + ... 這有什么幫助？觀察到 2P 中的無限鏈與 P 本身中的鏈幾乎相同，只是我們有一個新的領(lǐng)頭的數(shù) (48)，并且我們原始數(shù)字的所有正負(fù)號都顛倒了。因此，如果我們將 P 的數(shù)列添加到 2P 的數(shù)列中，則 24 和 12 以及其他所有東西都會成對抵消（除了 48），它沒有對應(yīng)物可以抵消。所以 2P + P= 48，意味著 3P = 48，因此 P = 16 美元。 這就是你在永遠(yuǎn)討價還價之后為這頂帽子付出的代價。 蒼蠅和兩輛自行車的問題遵循類似的數(shù)學(xué)模式。稍加努力，你可以推斷出蒼蠅來回行程的每段旅程都是前一段旅程的五分之一。馮·諾依曼會發(fā)現(xiàn)對得到的“幾何級數(shù)”求和是小菜一碟，這是我們一直在考慮的一種特殊級數(shù)，其中所有連續(xù)項具有相同的比率。對于蒼蠅問題，這個比率是 1/5。對于討價還價問題，它是 -1/2。 一般而言，任何幾何級數(shù) S 的形式為 S = a + ar + ar2 + ar3 + ... 其中 r 是比率，a 是所謂的前導(dǎo)項。如果比率 r 介于 -1 和 1 之間，就像在我們的兩個問題中所做的那樣，上面使用的技巧可以通過不乘以 2 而是乘以 r 來調(diào)整，以表明級數(shù)的和是 S = a/(1–r) 具體來說，對于討價還價問題，a 為 24 美元，r 為 -1/2。將這些數(shù)字代入公式得出 S = 24/[1-(-1/2)]= 24/(3/2) = 16，與以前一樣等于 16 美元。 對于蒼蠅問題，我們必須做一些工作才能找到前導(dǎo)項 a。這是蒼蠅在來回旅程的第一站所經(jīng)過的距離，因此要計算它，我們必須弄清楚以每小時 15 英里的速度行駛的蒼蠅首先在哪里遇到以每小時 10 英里的速度接近它的自行車。因為它們的速度形成了 15:10 或者說 3:2 的比率，所以當(dāng)蒼蠅飛行了最初 20 英里間隔的 3/(3+2) 時，它們相遇，這告訴我們 a = 3/5 × 20 = 12 英里。類似的推理表明，每次蒼蠅轉(zhuǎn)身時，這一段旅程都會收縮 r=1/5。馮·諾依曼立即看到了這一切，并使用上面的 a/(1-r) 公式，找到了蒼蠅飛行的總距離： S = 12/(1?1/5) = 12/(4/5) = 60/4 = 15 英里。 現(xiàn)在回到更大的問題：像這樣的級數(shù)如何連接數(shù)學(xué)的各個部分？要看到這一點，我們需要擴(kuò)大對公式的看法，例如 1 + r + r2 + r3 + … = 1/(1?r), 這與之前的公式相同，a 等于 1。不要將 r 視為 1/5 或 -1/2 之類的特定數(shù)字，而應(yīng)將 r 視為變量。然后這個等式說明了一些驚人的事情；它表達(dá)了一種數(shù)學(xué)煉金術(shù)，仿佛鉛可以變成黃金。它斷言 r 的給定函數(shù)（這里是 1 除以 1 - r）可以變成更簡單的東西，即 r 的簡單冪的組合，如 r2 和 r3 等等。 由無窮級數(shù)直接衍生出來的歐拉公式現(xiàn)在是不可或缺的。 奇妙的是，科學(xué)和工程領(lǐng)域幾乎無處不在的大量其他函數(shù)也是如此。微積分的先驅(qū)們發(fā)現(xiàn)，他們熟悉的所有函數(shù)——正弦和余弦、對數(shù)和指數(shù)——都可以轉(zhuǎn)換為“冪級數(shù)”的通用貨幣，這是一種增強(qiáng)版的幾何級數(shù)，其中系數(shù)可以現(xiàn)在也變了。 當(dāng)他們進(jìn)行這些轉(zhuǎn)換時，他們注意到了驚人的巧合。例如，這里是余弦、正弦和指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)（不要擔(dān)心它們來自哪里；只要看看它們的外觀）： cos x = 1 – x2/2！+ x?/4！– x?/6！+ … sin x = x – x3/3！+ x?/5！– x?/7！+ … e? = 1 + x + x2/2！+ x3/3！+ x?/4！+ … 除了所有令人欣喜且當(dāng)之無愧的感嘆號（實際上代表階乘；例如，4! 表示 4 × 3 × 2 × 1），請注意 e? 的級數(shù)非常接近上述兩個公式的混搭它。如果只有 cos x 和 sin x 中正負(fù)號的交替能夠以某種方式與 e? 的所有正號相協(xié)調(diào)，那么一切都會匹配。 這種巧合，以及那種一廂情愿的想法，讓萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上最奇妙、影響最深遠(yuǎn)的公式之一：
其中 i 是定義為
的虛數(shù)。 歐拉公式表達(dá)了一種驚人的聯(lián)系。它斷言正弦和余弦（周期和波的體現(xiàn)），是指數(shù)函數(shù)（增長和衰減的體現(xiàn)）的秘密親屬——但只有當(dāng)我們考慮將數(shù)字 e 提高到一個虛數(shù)冪時（先不管那是什么意思）。由無窮級數(shù)直接產(chǎn)生的歐拉公式現(xiàn)在在電氣工程、量子力學(xué)和所有與波和周期有關(guān)的技術(shù)學(xué)科中都是不可或缺的。 走到這一步，我們可以采取最后一步，這將我們帶到通常被描述為所有數(shù)學(xué)中最美麗的方程，對于歐拉公式的特殊情況，其中 x = π：
它連接了一些數(shù)學(xué)中最著名的數(shù)字：0、1、π、i 和 e。每個都象征著數(shù)學(xué)的一個完整分支，因此可以將方程式視為光榮的匯合，證明數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。 0代表虛無、空虛，但這并不是數(shù)字的缺失——它是使我們整個書寫數(shù)字系統(tǒng)成為可能的數(shù)字。然后是 1，單位，開始，計數(shù)和數(shù)字的基石，以及所有小學(xué)數(shù)學(xué)。接下來是 π，象征圓形和完美，但也有神秘的陰暗面，在其數(shù)字的神秘圖案中暗示著無限，永無止境，難以捉摸。有 i，虛數(shù)，代數(shù)的象征，體現(xiàn)了創(chuàng)造性想象力的飛躍，使數(shù)字能夠打破僅僅數(shù)量級的桎梏。最后是 e，微積分的吉祥物，運動和變化的象征。 當(dāng)我還是個孩子的時候，我爸爸告訴我數(shù)學(xué)就像一座塔。一件事建立在下一件事之上。加法建立在數(shù)字之上。減法建立在加法之上。繼續(xù)前進(jìn)，從代數(shù)、幾何、三角學(xué)和微積分一直上升到“高等數(shù)學(xué)”——這是一座高聳的大廈的恰當(dāng)名稱。 但是一旦我了解了無限級數(shù)，我就不再將數(shù)學(xué)視為一座塔。它也不是一棵樹，就像另一個比喻所說的那樣。它的不同部分不是分裂并分道揚鑣的分支。不——數(shù)學(xué)是一張網(wǎng)。它的所有部分相互連接并相互支持。數(shù)學(xué)的任何部分都沒有與其他部分分開。它是一個網(wǎng)絡(luò)，有點像一個神經(jīng)系統(tǒng)——或者，更好的說法是，一個大腦。 |
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