四年一次，數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)公布！

菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高獎(jiǎng)之一，常被稱作為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)，每四年頒發(fā)一次。剛剛，2022年度的菲爾茲獎(jiǎng)公布，授予4位對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家（年齡在40歲以下）。

（圖／IHES）

雨果·迪米尼-科潘改變了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中與相變有關(guān)的數(shù)學(xué)理論，他解決了幾個(gè)長(zhǎng)期存在的開放性問題，尤其是在三維和四維以及在二維的不可積的情況下。他的工作開辟了幾個(gè)新的研究方向。在這里我們只列舉他在這一領(lǐng)域的眾多成果中的一小部分。

迪米尼-科潘的最顯著的成果是三維和四維的伊辛型模型。他與合作者一起建立了三維相變的連續(xù)性和銳度，這些都是自80年代起就一直懸而未決的問題。在四維空間，他與艾森曼（Aizenman）一同證明了伊辛模型的平均場(chǎng)臨界行為，并證明了四維歐幾里得標(biāo)量量子場(chǎng)論的平凡性，這是一個(gè)自70年代以來就困擾物理學(xué)家的開放性猜想。

同樣，在二維相關(guān)的福圖因-卡斯特林滲流中，迪米尼-科潘與合作者一起證明了所有參數(shù)值變化的連續(xù)性或不連續(xù)性，以及在等角點(diǎn)輻射線圖上的臨界福圖因-卡斯特林模型的普適性。此外，通過證明臨界福圖因-卡斯特林模型的大尺度旋轉(zhuǎn)不變性，他朝著建立它們的大尺度共形不變性邁出了重要一步，這反過來又能為將它們嚴(yán)格與二維共形場(chǎng)論的世界相連提供重要的缺失部分。

（圖／Princeton University）

利用霍奇理論、熱帶幾何和奇點(diǎn)理論的方法，許埈珥和他的合作者改變了幾何組合學(xué)領(lǐng)域。許埈珥和王博潼利用代數(shù)幾何和相交理論的工具，證明了可實(shí)現(xiàn)擬陣的道林-威爾遜猜想。

卡里姆·阿迪普拉斯托（Karim Adiprasito）、許埈珥和埃里克·卡茨（Eric Katz）發(fā)現(xiàn)了霍奇理論的組合學(xué)類似，并證明了萊夫謝茨定理和任意擬陣的霍奇-黎曼關(guān)系。他們利用這些結(jié)果解決了關(guān)于擬陣的特征多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性的赫倫-羅塔-韋爾什猜想。

彼得·布蘭登（Petter Br?ndén）和許埈珥發(fā)展了洛倫茲多項(xiàng)式的理論，通過熱帶幾何連接了連續(xù)的和離散的凸分析。他們證明了擬陣的強(qiáng)梅森猜想，并發(fā)現(xiàn)了從射影代數(shù)幾何到統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的波茨模型等一系列不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

（圖／Academia Europaea）

詹姆斯·梅納德在解析數(shù)論方面做出了驚人的貢獻(xiàn)。他常常在那些看似無法用現(xiàn)有技術(shù)做到的重要問題上，帶來驚人的突破。

數(shù)論中的一些最著名問題與素?cái)?shù)的分布有關(guān)。雖說素?cái)?shù)的大尺度分布是由素?cái)?shù)定理支配的（或更準(zhǔn)確地說，是由黎曼猜想推測(cè)的），但許多自然問題是在稀疏尺度上處理的。在這類問題上，梅納德取得了許多顯著的成果。例如，他證明了當(dāng)素?cái)?shù)序列變得越來越稀疏時(shí)，就會(huì)存在無限個(gè)大小為任意固定值m的“素?cái)?shù)簇”，每個(gè)“素?cái)?shù)簇”都包含在一個(gè)（與m有關(guān)的）有界區(qū)間內(nèi)，這是對(duì)著名的當(dāng)m=2時(shí)的結(jié)果的顯著改進(jìn)。梅納德的方法既優(yōu)雅又有力，它以一種令人驚訝的方式推動(dòng)了篩法理論的邊界。梅納德在一個(gè)看似相反的方向上繼續(xù)證明，有時(shí)素?cái)?shù)比平均稀疏得多，這是在幾十年里都沒有任何質(zhì)的進(jìn)展的埃爾德什問題。

梅納德在丟番圖逼近方面也做了基礎(chǔ)性的工作，他與庫庫洛普洛斯（Koukoulopoulos）解決了杜芬-謝弗猜想。這個(gè)猜想于1941年提出，被認(rèn)為是對(duì)描述了一個(gè)典型的實(shí)數(shù)如何被有理數(shù)逼近的辛欽定理的終極推廣。

（圖／EPFL）

數(shù)學(xué)中一個(gè)長(zhǎng)期存在的問題是找到能夠在給定維度中，填裝相同球體的最稠密的方式。人們已經(jīng)知道，圓的六邊形填裝是二維空間中最稠密的。1998年，黑爾斯（Thomas Callister Hales）用計(jì)算機(jī)輔助證明了開普勒猜想，即面心立方格的填裝是三維空間中最稠密的。

其他任何維度上的最稠密填裝一直處于未知狀態(tài)，直到2016年，維亞佐夫斯卡證明了E?格在8維空間中具有最稠密的填裝。不久后，她與科恩（Cohn）、庫馬爾（Kumar）、米勒（Miller）和拉德琴科（Radchenko）一起，證明了利奇格在24維空間中具有最稠密填裝。

維亞佐夫斯卡的方法是建立在科恩和埃爾基斯（Elkies）的工作基礎(chǔ)之上的，他們利用泊松求和公式給出了任意維度上球體填裝的可能密度的上界。他們的工作表明，在8維和24維空間中，可能存在一個(gè)具有非常特殊的性質(zhì)的徑向施瓦茲函數(shù)，它能給出一個(gè)與已知格填裝的下界相等的上界。維亞佐夫斯卡基于模形式理論發(fā)明了一種全新的產(chǎn)生這樣的函數(shù)的方法。

維亞佐夫斯卡在其他方向發(fā)展了這些想法。她和拉德琴科一起證明了一個(gè)意想不到的結(jié)果，即任何其自身及其傅里葉變換會(huì)在每個(gè)非負(fù)整數(shù)的平方根處消失的偶施瓦茲函數(shù)，一定等于零。事實(shí)上，他們證明了對(duì)某些特殊函數(shù)an和bn來說，任意偶施瓦茲函數(shù)都可以被寫成：

與科恩、庫馬爾、米勒和拉德琴科一起，她證明了E?和利奇格不僅在8維和24維給出最優(yōu)的球體填裝，并且還最小化了每個(gè)在平方距離上完全單調(diào)的勢(shì)函數(shù)的能量。