|
日本的數學家們一直非常重視現代數學知識的整理和傳播，他們編寫了大量的介紹現代數學基礎知識的專業書籍。2019年筆者在日本旅游期間，著重考察了在東京的幾家大型書店里正在銷售的數學專業類新書的情況。本文記錄下了筆者在書店里所看到的拓撲學方面的大部分專業新書。 一、 拓撲學簡介經典的拓撲學理論大致可以分為點集拓撲、代數拓撲和微分拓撲這三大部分。點集拓撲是在康托的集合論的基礎上發展而成的，它主要研究拓撲空間，例如緊致性、連通性、商空間等內容。 早期不運用抽象代數的拓撲學也被稱為組合拓撲學。在20世紀的上半葉，人們引入了同調群的基本概念，這標志著代數拓撲的誕生，隨后數學家們建立了同調論和同倫論的基本理論。 微分流形的整體理論來源于對纖維叢與示性類的深入研究，而托姆（Thom）的協邊理論、米爾諾（Milnor）關于7維球面 上不同微分結構的發現，這些都導致了微分拓撲理論的產生。 在20世紀的后半葉里，逐漸形成了許多現代拓撲學的理論與分支。例如在1960年代形成的拓撲K理論就是一種廣義的上同調理論，它充分運用了向量叢的穩定類。 從阿蒂亞-辛格(Atiyah-Singer)的指標定理出發，數學家們系統地發展了指標定理理論，它在刻畫流形的拓撲性質方面具有很重要的作用。另一方面，人們對3維流形和4維流形的研究也已經取得了很大的進展。 動力系統理論最早起源于常微分方程的定性理論，后來數學家們運用了微分拓撲的方法，來研究微分流形上的常微分系統，建立了結構穩定性理論，由此促進了動力系統理論的發展。 紐結理論也是拓撲學領域中的一個很有趣的分支學科，它與低維流形的拓撲性質的研究密切相關。 目前在拓撲學領域中比較成熟的分支學科（或方向）有： “ 二、 拓撲學方面的新書下面分別對每張書店里的書架照片，從左至右地列出各本新書及其作者：
圖1：這里從左至右的數學新書是：《復超曲面及混合超曲面的奇點理論入門》、《微分拓撲講義》、《規范場理論與拓撲學》、《微分流形與莫爾斯（Morse）理論》、《拓撲學入門》、《從具體例子學習微分流形》、《拓撲學》、《微分流形（第2版）》、《微分流形基礎》、《微分流形入門》、《復流形講義》、《通向微分流形的道路》、《流形的拓撲學》、《第一次學習拓撲學》、《拓撲學的繪本》、《拓撲學》、《拓撲學的邀請》 1． 《復超曲面及混合超曲面的奇點理論入門》 奇點理論是現代幾何學的一個重要分支。 2． 《微分拓撲講義》 該書譯自J. Milnor寫的《Topology From the Differential Viewpoint（從微分觀點看拓撲）》，有人民郵電出版社的中、英雙語版。 3． 《規范場理論與拓撲學》 作者是深谷賢治。規范場理論又稱為“楊（振寧）-米爾斯理論”，它是研究自然界中四種相互作用力（電磁、弱、強、引力）的最基本理論，這個理論對于20世紀數學與物理學的發展都具有重要意義。規范場理論的數學基礎主要就是纖維叢的微分幾何，而規范場理論中的規范勢正好就是纖維叢上的聯絡。 4． 《微分流形與莫爾斯（Morse）理論》 莫爾斯（Morse）理論主要研究微分流形上函數的臨界點與流形的拓撲性質之間的密切聯系。 5． 《拓撲學入門》 該書譯自C. Kosniowski寫的《A First Course in Algebraic Topology（代數拓撲初級教程）》。這是一本寫得十分清楚易懂的拓撲學入門教材，很適合于數學本科學生。這本書的前面一半講點集拓撲，后面一半講代數拓撲，其中還介紹了很有意思的紐結理論。 6． 《拓撲學》 這本書也是一本翻譯讀物。 7． 《微分流形（第2版）》 在日語的數學文獻中，“多樣體”一詞可以有兩種解釋：微分流形或代數簇。這種命名方式的一個明顯好處是強調了微分流形與代數簇的內在聯系，以及它們的一個共同特征：那就是整體的信息（例如拓撲性質）可以通過局部信息的“光滑”拼接來得到。 8． 《微分流形基礎》 作者是松本幸夫。 9． 《微分流形入門》 作者是松島與三（Y. Matsushima）。這本經典著作初版于1965年，后來在1972年被翻譯成了英語，書名是《Differentiable Manifolds（微分流形）》，是當時國際上比較流行的教材。 10． 《復流形講義》 該書譯自陳省身先生的復流形名著《Complex Manifolds Without Potential Theory（不包含位勢理論的復流形理論）》，有世界圖書出版公司的英文影印版。 11． 《通向微分流形的道路》 作者是夏本一之。 12． 《流形的拓撲學》 作者是服部晶夫、佐藤肇、森田茂之。該書是“幾何學百科”系列叢書中的第一卷，它比較完整地給出了拓撲學理論中的主要成果。該書系統地總結和整理了同調論、同倫論、微分拓撲學、示性類理論中所有主要的定理和研究結論。 13． 《第一次學習拓撲學》 作者是石谷茂。 14． 《拓撲學的繪本》 這是一本翻譯書。運用大量的繪畫，可以很好地直觀理解拓撲學的思想和理論內涵。 15． 《拓撲學》 16． 《拓撲學的邀請》 作者是寺澤順。
圖2：這里從左至右的數學新書是：《拓撲學·同調論》、《初等突變理論》、《積分幾何學》、《映射類群入門》、《拓撲學淺說》、《代數拓撲入門（上）》、《代數拓撲入門（下）》、《拓撲學講義》、《示性類講義》、《紐結理論的范疇論》、《紐結與素數》、《紐結理論及其應用》、《紐結與量子群》、《談談紐結》、《紐結理論》、《紐結不變量》、《紐結與對策》、《曲面的幾何構造與模空間》 17． 《拓撲學·同調論》 作者是中岡稔。 18． 《初等突變理論》 作者是野口廣等人。 19． 《積分幾何學》 作者是栗田稔。 20． 《映射類群入門》 21． 《拓撲學淺說》 作者是橫田一郎。 22． 《代數拓撲入門（上）》、《代數拓撲入門（下）》 該兩卷書都譯自W. Fulton寫的《Algebraic Topology:A First Course（代數拓撲初級教程）》（GTM 153），有世界圖書出版公司的英文影印版。 23． 《拓撲學講義》 該書譯自H. Seifert、W. Threlfall寫的經典名著《Lehrbuch der Topologie》，有人民教育出版社的中譯本，書名為《拓撲學》。 24． 《示性類講義》 該書譯自J. Milnor、J. Stasheff寫的名著《Characteristic Classes（示性類）》，有世界圖書出版公司的英文影印版。 25． 《紐結理論的范疇論》 作者是伊藤升。 26． 《紐結與素數》 作者是森下昌記。 27． 《紐結理論及其應用》 紐結理論是拓撲學中研究繩結、鏈鎖等幾何現象的一個分支，紐結理論在數學內外有不少的應用。 28． 《紐結與量子群》 作者是村上順。 29． 《談談紐結》 30． 《紐結理論》 作者是河內明夫。 31． 《紐結不變量》 32． 《紐結與對策》 33． 《曲面的幾何構造與模空間》 作者是上野健爾等人。
圖3：這里從左至右的數學新書是：《曲面與紐結的拓撲學》、《微分幾何學講義：黎曼幾何與Finsler幾何》、《龐加萊拓撲學》、《充分理解拓撲學》、《幾何學的新觀點》、《微分拓撲學》、《向日葵中的黃金比》、《微分拓撲學》、《具有邊界流形的Dirac算子·Atiyah-Patodi-Singer指標定理》 34． 《曲面與紐結的拓撲學》 35． 《微分幾何學講義：黎曼幾何與Finsler幾何》 該書譯自陳省身、陳維桓、Lam寫的英文著作《Lectures on Differential Geometry（微分幾何講義）》，而這本英文著作的內容又主要翻譯自北京大學出版社出版的陳省身、陳維桓的《微分幾何講義》。 36． 《龐加萊拓撲學》 該書譯自龐加萊早期創立拓撲學的一系列奠基論文。 37． 《充分理解拓撲學》 38． 《幾何學的新觀點》 39． 《微分拓撲學》 該書譯自M. Hirsch寫的《Differential Topology》（GTM33），有世界圖書出版公司的英文影印版。 40． 《向日葵中的黃金比》 41． 《微分拓撲學》 該書譯自V. Guillemin、A. Pollack寫的《Differential Topology》。 42． 《具有邊界流形的Dirac算子·Atiyah-Patodi-Singer指標定理》 該書譯自R. Melrose的著作。 除了以上照片中的新書外，書店里還有下面的拓撲學新書： 43． 《拓撲學》 作者是河田敬義等人。 44． 《拓撲學》 作者是加藤十吉。 45． 《拓撲入門》 作者是小島定吉。 46． 《拓撲入門》 作者是管原正博。 47． 《拓撲數學入門》 作者是中岡稔。 48． 《距離空間與拓撲構造》 作者是矢野公一。 49． 《集合與拓撲》 作者是齋藤毅。 50． 《從證明到拓撲學》 作者是永田雅嗣。該書從讀者熟悉的數學分析中十分經典的證明語言入手，來逐步引入點集拓撲中拓撲空間的基本概念，這對初學者們來說是十分自然和容易理解的。 51． 《纖維叢》 該書譯自D. Husem?ller寫的名著《Fibre Bundles（纖維叢）》（GTM20），有世界圖書出版公司的英文影印版。纖維叢是現代微分幾何的基本概念，纖維叢理論對代數幾何與復流形有深刻的應用，它是表達物理學中的規范場理論的合適的數學語言。該書講了纖維叢、示性類、K理論等基本內容。 52． 《廣義上同調》 作者是河野明、玉木大。 53． 《廣義上同調理論》 54． 《微分拓撲學》 作者是足立正久。 55． 《幾何拓撲學》 56． 《層論》 層論主要研究如何從流形的局部信息得到流形的整體信息，它在代數幾何與復幾何中有許多應用。 57． 《層的上同調》 該書譯自B. Iversen的名著《Cohomology of sheaves》。 58． 《曲面的紐結理論》 作者是鐮田圣一。 59． 《構造穩定性與形態形成》 該書譯自R. Thom寫的《Stabilité Structurelle et Morphogénèse》。 60． 《動力系統入門》 作者是齊藤和彌。 61． 《混沌——動力系統入門1》、《混沌——動力系統入門2》、《混沌——動力系統入門3》 該三卷書都譯自K. T. Alligood、T. D. Sauer、J. A. Yorke寫的名著《Chaos:an Introduction to Dynamical Systems》。 62． 《動力系統與熵》 作者是青木統夫等人。 63． 《重點解說哈密爾頓動力系統》 作者是柴山允留。 64． 《一般動力系統與場的幾何學》 作者是大森英樹。 65． 《非平衡動力系統的數學基礎》 作者是西浦廉政。 66． 《指標定理》
圖4：《指標定理》與《廣義上同調》一起作為“巖波講座·現代數學的展開”叢書中的第11卷 67． 《Dirac算子的指標定理》 作者是吉田明好。 68． 《雙曲流形與Klein群》 雙曲流形是一種重要的3維流形。 69. 《4維微分幾何學概觀》 作者是松下太雄、鐮田博行、中田文憲。 70. 《4維幾何學》 4維幾何學是在上世紀70年代形成的微分幾何與拓撲學的交叉學科，它主要研究用微分幾何的方法來獲得4維流形的拓撲不變量。 文稿|陳躍 |
|
|
