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數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，需要縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求。數(shù)學(xué)研究既需要邏輯性、分析性和一般性，也需要直觀性、構(gòu)作性和個(gè)別性。雖然不同的數(shù)學(xué)分支強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，但這些互相對(duì)立的思維碰撞構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命力、實(shí)用性及其崇高價(jià)值。 數(shù)論（Number Theory）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究數(shù)的規(guī)律和整數(shù)性質(zhì)。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾寫道：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后”，數(shù)論研究中的各種猜想是數(shù)學(xué)皇冠上一顆顆璀璨的明珠。 11月8日，筆者在線聆聽(tīng)了張益唐在線講解學(xué)術(shù)論文“離散均值估計(jì)和朗道-西格爾零點(diǎn)”，又重新感受到了曾在博士期間經(jīng)受的數(shù)學(xué)研究帶來(lái)的快樂(lè)和煩惱。數(shù)論猜想可謂魅力無(wú)窮，幾代中國(guó)數(shù)學(xué)家也屢次收獲成果，其背后是吃苦耐勞、堅(jiān)韌不拔和不圖名利、追求真理的科學(xué)家精神。 “韓信點(diǎn)兵”，原來(lái)是一個(gè)關(guān)于數(shù)論的故事 數(shù)論是數(shù)學(xué)研究最古老的方向。信奉“數(shù)即萬(wàn)物”的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前6世紀(jì)就研究了整數(shù)的可除性問(wèn)題，提出奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、復(fù)合數(shù)、完全數(shù)和親和數(shù)等概念。 演繹體系的集大成者歐幾里得公元前4世紀(jì)發(fā)現(xiàn)自然數(shù)的基本規(guī)律，指出素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，每個(gè)復(fù)合數(shù)都可以唯一地表示成素?cái)?shù)的乘積，又求出兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法，建立了整除性的初步理論。 大約在公元前250年，埃拉托斯特尼發(fā)明了一種篩法，求出了不超過(guò)某個(gè)自然數(shù)N的全部素?cái)?shù)，這是陳景潤(rùn)和張益唐在研究“孿生素?cái)?shù)猜想”時(shí)使用的主要方法。 公元4世紀(jì)，希臘化時(shí)期的數(shù)學(xué)家丟番圖用初等數(shù)論研究了一系列不定方程的求解問(wèn)題，提出著名的丟番圖猜想。其著作《算術(shù)》的拉丁文譯本初刊于1621年，此后再版多次，成為17世紀(jì)以后歐洲學(xué)者研究并提出更多數(shù)論猜想的思想源泉。 中國(guó)人很早就有初等數(shù)論的研究和探討，在傳說(shuō)中和歷史文獻(xiàn)中均有相關(guān)記載。“韓信點(diǎn)兵”便是知名的數(shù)論故事。
公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中出現(xiàn)商高定理（勾股定理）；西漢初成書的《九章算術(shù)》標(biāo)志我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的完備化，其中的“五家共井”問(wèn)題，給出了不定方程組的整數(shù)解；公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問(wèn)題，求解一次同余式組，標(biāo)志著我國(guó)古代初等數(shù)論的程序化；公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》有“百雞問(wèn)題”給出幾組不同的整數(shù)解；南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》用“大衍求一術(shù)”解決了一次同余式組的求解問(wèn)題，傳之歐洲后被稱作“中國(guó)剩余定理”。秦九韶被德國(guó)數(shù)學(xué)史家康托爾稱為“最幸運(yùn)的天才”。“科學(xué)史之父”薩頓稱秦九韶“是他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。” 每個(gè)著名猜想背后，都閃爍著數(shù)學(xué)家的智慧 17世紀(jì)以后，西方學(xué)界開(kāi)始深入研究初等數(shù)論問(wèn)題。 1640年，費(fèi)馬在研讀丟番圖《算術(shù)》之后，提出一個(gè)數(shù)論命題：如果p是素?cái)?shù)，那么對(duì)于任何整數(shù)a，ap-a都是p的倍數(shù)，但他卻沒(méi)有給出證明。這個(gè)困擾數(shù)學(xué)界近100年的“費(fèi)馬小定理”，1736年由歐拉給出證明，又將它推廣到復(fù)合數(shù)的情形。 1772年，拉格朗日證明了費(fèi)馬提出的另一個(gè)定理：每一個(gè)正整數(shù)都可以用四個(gè)整數(shù)的平方和表示。1798年，勒讓德總結(jié)前人的數(shù)論成果，編著了第一部數(shù)論教科書。 1900年，希爾伯特在巴黎世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上做了題為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的經(jīng)典報(bào)告，提出了23個(gè)意義深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)難題，史稱“希爾伯特問(wèn)題”。期間，他特別指出費(fèi)馬大定理對(duì)于數(shù)論乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要意義。依據(jù)希爾伯特的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枌⒏咚沟膹?fù)整數(shù)理論推廣到代數(shù)數(shù)，引入了理想數(shù)與分圓數(shù)，開(kāi)創(chuàng)理想數(shù)論，開(kāi)啟了從代數(shù)數(shù)論出發(fā)證明的新路徑。費(fèi)馬大定理歷時(shí)350年后，1995年由英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯給出了完美的證明。 國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)界或普通讀者都比較熟悉的哥德巴赫猜想，正是“希爾伯特問(wèn)題”中一個(gè)著名的猜想。其內(nèi)容是“任何不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，任何不小于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和”。這一問(wèn)題于1742年由德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出后，長(zhǎng)期被懸置，20世紀(jì)初由哈代和李特爾伍德給出部分證明，又經(jīng)我國(guó)陳景潤(rùn)等數(shù)學(xué)家的推進(jìn)，最終由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫等人解決。 在張益唐第一篇論文中解決的“孿生素?cái)?shù)猜想”，被稱作是“哥德巴赫猜想”的姐妹問(wèn)題，也是23個(gè)“希爾伯特問(wèn)題”之一，1849年由波林那克提出。 2013年5月，張益唐證明孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，取得突破性進(jìn)展。在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，他發(fā)現(xiàn)存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)。 其論文5月14號(hào)在網(wǎng)絡(luò)上公開(kāi)，5月21日正式發(fā)表。 7天后，這個(gè)常數(shù)下降到了6000萬(wàn)，10天后的5月31日，下降到了4200萬(wàn)，又過(guò)了3天（6月2日）變成1300萬(wàn)，次日成為500萬(wàn)。6月5日，40萬(wàn)。 9個(gè)月后，張益唐的7000萬(wàn)被縮小到246。在英國(guó)數(shù)學(xué)家蒂姆·高爾等人發(fā)起的“博學(xué)之人（Polymath）”計(jì)劃中，孿生素?cái)?shù)猜想成為21世紀(jì)數(shù)學(xué)工作者們利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行合作研究的一個(gè)典型案例。 人們不斷改進(jìn)張益唐的證明，推進(jìn)著最終解決孿生素?cái)?shù)猜想的距離。 百折不撓勇于進(jìn)取，歷代學(xué)人的優(yōu)秀品質(zhì)書寫學(xué)界佳話 楊武之是我國(guó)以數(shù)論研究獲得博士學(xué)位的第一人，也是中國(guó)現(xiàn)代數(shù)論研究的先驅(qū)和開(kāi)拓者。正是楊武之將現(xiàn)代數(shù)論引進(jìn)中國(guó)，并培養(yǎng)了大批人才。 柯召和華羅庚就是楊武之在清華培養(yǎng)的學(xué)生。新中國(guó)成立后，華羅庚在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所組建討論班，帶領(lǐng)王元、陳景潤(rùn)等人專門攻克哥德巴赫猜想。 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系成立之初便有數(shù)論課程，也培養(yǎng)了一批重要學(xué)者，潘承洞、潘承彪為其中的佼佼者。 上世紀(jì)50年代，潘承洞在研究中獲得關(guān)于算術(shù)數(shù)列中最小素?cái)?shù)的上界定量估計(jì)，其結(jié)果被國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)廣泛引用。60年代后，他主要從事哥德巴赫猜想的研究，為后來(lái)的證明打下了基礎(chǔ)。70年代在簡(jiǎn)化陳（景潤(rùn)）氏定理（1，2）時(shí)提出并證明了一條新的均值定理，是對(duì)邦別里定理的重要推廣與發(fā)展。1982年，他與陳景潤(rùn)、王元同獲國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。 張益唐于1978年考入北大數(shù)學(xué)系，1982年繼續(xù)攻讀研究生，攻克數(shù)論問(wèn)題，指導(dǎo)老師就是潘承彪。他以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)后赴美留學(xué)，本想師從著名數(shù)論學(xué)者亨里克·伊萬(wàn)涅茨，卻陰差陽(yáng)錯(cuò)做了別的數(shù)學(xué)研究。英雄相見(jiàn)恨晚，卻惺惺相惜，在屬于張益唐的2013年春天，伊萬(wàn)涅茨應(yīng)《數(shù)學(xué)年刊》主編之邀，審讀張益唐的論文，僅用三周時(shí)間看出其價(jià)值，推薦刊載于這個(gè)已有130多年歷史的數(shù)學(xué)界頂級(jí)期刊上。 張益唐2014年受邀在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做特邀報(bào)告，又獲羅夫·肖克數(shù)學(xué)獎(jiǎng)、弗蘭克·奈爾森·科爾數(shù)論獎(jiǎng)、麥克阿瑟天才獎(jiǎng)等諸多獎(jiǎng)項(xiàng)。近年，張益唐成為北大閔嗣鶴數(shù)論研究中心名譽(yù)主任、客座講席教授，還給數(shù)學(xué)系的學(xué)生們講授暑期課程。 張益唐能夠在數(shù)論方面取得舉世矚目的成就，與他在北大數(shù)學(xué)系打下的數(shù)論基礎(chǔ)密不可分。在今年11月8日的報(bào)告中，他也多次談到北大數(shù)學(xué)系潘教授對(duì)他的指導(dǎo)和影響。 “板凳要坐十年冷，文章不寫一句空”，獲得優(yōu)異學(xué)術(shù)成果的前輩學(xué)者們大都具備了不怕困難、百折不撓、勇于進(jìn)取的優(yōu)秀品質(zhì)，張益唐也不例外。 這種品質(zhì)要經(jīng)過(guò)艱苦錘煉才能形成，任何時(shí)候都不會(huì)過(guò)時(shí)。傳統(tǒng)數(shù)論研究是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化之中的瑰寶，其中蘊(yùn)含著前輩先賢的智慧。21世紀(jì)成為數(shù)學(xué)大國(guó)，也是時(shí)代給予中國(guó)年輕一代的光榮使命。 作者：薩日娜（作者為東京大學(xué)理學(xué)博士，上海交通大學(xué)教授） 編輯：朵拉 |
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