【原】中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第一部分專題七因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問(wèn)題

昵稱e7dgkhUc 2023-01-10 發(fā)布于浙江

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因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問(wèn)題

課前導(dǎo)學(xué)

線段和差的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的有兩類：

第一類問(wèn)題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．

兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“牛喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如圖1）．

三條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）．

兩條線段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng)．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即P′．

解決線段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問(wèn)題．

圖1 圖2 圖3

第二類問(wèn)題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．

如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE平分∠BAC交BC于E．點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么△BPQ周長(zhǎng)的最小值是多少呢？

如果把這個(gè)問(wèn)題看作“牛喝水”問(wèn)題，AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定啊．

第一步，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對(duì)稱點(diǎn)為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．

第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，FQ的最小值是垂線段FH．

這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．

圖4 圖5 圖6

例50 2014年湖南省郴州市中考第26題

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1 圖2

動(dòng)感體驗(yàn)

請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14郴州26”，拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)的正上方時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．拖動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)A、G、M三點(diǎn)共線時(shí)，GC＋GM最小，△CMG的周長(zhǎng)最小．

思路點(diǎn)撥

1．設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡(jiǎn)便．

2．連結(jié)OP，把四邊形ABPC的面積分割為三個(gè)三角形的面積和．

3．第（3）題先用幾何說(shuō)理確定點(diǎn)G的位置，再用代數(shù)計(jì)算求解點(diǎn)G的坐標(biāo)．

圖文解析

（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1, 0)、B(2, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－2)．

代入點(diǎn)C(0, 2)，可得a＝－1．

所以這條拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x²＋x＋2．

（2）如圖3，連結(jié)OP．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,－x²＋x＋2)．

由于S_△AOC＝1，S_△POC＝x，S_△POB＝－x²＋x＋2，

所以S_{四邊形ABPC}＝S_△AOC＋S_△POC＋S_△POB＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4．

因此當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時(shí)P(1, 2)．

（3）第一步，幾何說(shuō)理，確定點(diǎn)G的位置：

如圖4，在△CMG中，CM為定值，因此當(dāng)GC＋GM最小時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最小．

由于GA＝GC，因此當(dāng)GA＋GM最小時(shí)，GC＋GM最小．

當(dāng)點(diǎn)G落在AM上時(shí)，GA＋GM最小（如圖5）．

圖3 圖4 圖5

第二步，代數(shù)計(jì)算，求解點(diǎn)G的坐標(biāo)：

如圖6，，cos∠CAO＝，所以，E．

如圖7，由y＝－x²＋x＋2＝，得M．

由A(－1, 0)、M，得直線AM的解析式為．

作GH⊥x軸于H．設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為．

由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．

所以．解得．所以G．

圖6 圖7 圖8

考點(diǎn)伸展

第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．

因?yàn)椤?em>ABC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積也最大．

過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于F．

因?yàn)椤?em>PCF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時(shí)，△PCB的面積最大．

設(shè)點(diǎn)P(x,－x²＋x＋2)，F(x,－x＋2)，那么PF＝－x²＋2x．

當(dāng)x＝1時(shí)，PF最大．此時(shí)P(1, 2)．

例51 2014年湖南省湘西州中考第25題

如圖1，拋物線y＝ax²＋bx＋c關(guān)于y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C(－3,－3)均在拋物線上，點(diǎn)F在y軸上，過(guò)點(diǎn)作直線l與x軸平行．

（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D(x, y)是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)G，設(shè)線段GD的長(zhǎng)為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，線段GD的長(zhǎng)度h最大，最大長(zhǎng)度h的值是多少？

（3）若點(diǎn)P(m, n)是拋物線上位于第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF并延長(zhǎng)，交拋物線于另一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥l，垂足為S，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說(shuō)明理由；

（4）若點(diǎn)A(－2, t)在線段BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，MF＋MA的值最小．請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與MF＋MA的最小值．

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14湘西25”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動(dòng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，GD最大．點(diǎn)擊按鈕（3），拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△FNS保持直角三角形的形狀．點(diǎn)擊按鈕（4），拖動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，ME與MF保持相等，當(dāng)AE是垂線段時(shí)，ME＋MA最小．