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將思考應用于實際，用自己的力量去推導面積、體積，這才是積分的樂趣，也是學習積分的真正意義。
小學所學的圖形面積、體積的計算，實際上是與積分世界相連通的。積分并不是高中教材中突然半路殺出的“程咬金”，初等教育中相關內容的學習，已經為邁入積分世界做了充分的熱身。 而對于微分，大部分人都感覺不是很熟悉。說起微分，就會提到“切線斜率”“瞬時速度”“加速度”，這些內容怎么理解都很難懂。這些東西我們無法直接用眼睛看到，很難直觀上去把握。 從歷史上來看，積分比微分要更早出現。 積分法的起源是“測量圖形的大小”。古時候圖形長度、面積、體積的計算方法，通過口傳心授得以流傳，經過歷代人的智慧的錘煉，進而發展成為現在的積分法。 探尋積分法誕生的歷史，大致可以追溯到公元前1800年左右。公元前200年的阿基米德時代1，在計算拋物線和直線圍成的圖形面積問題上，已經出現了與現在積分法十分相似的“窮舉法”。積分的歷史，還真是悠久。 到了12世紀，印度的婆什迦羅二世提出了積分法的“前身”方法。進入17世紀，牛頓綜合了微分法和積分法，嘗試從萬有引力理論來推導天體的運動規律。 總之，從積分出現到微分誕生，至少有長達1300年的間隔。 積分之所以會較早出現，是因為人類需要把握那些可見的東西，例如計算物體的面積、體積等。 初等教育中的圖形計算，通常只針對長方形、圓形等規規矩矩的圖形。而現實情況中，這些知識往往難以直接去應用。
這是因為，現實世界中存在的物質，并非都是學校中學習的那些規則的形狀。相反，那些規則的形狀可以說只是例外或理想化的情況。所以，對人類而言，測量現實情況中各種復雜圖形大小的技術非常必要。 日本小學的家政課會講授烏冬面、土豆塊兒等簡易料理的烹飪方法。之所以特地在學校中講授這些內容，是因為這些都是烹飪中的基礎方法。實際上我們自己做菜時，多會在商店中購買成品的烏冬面，也基本不會頻繁烹制土豆塊。但是，如果掌握了這些基礎烹飪方法的話，就能夠烹制出更多復雜的菜品。例如，烏冬面的烹飪方法可以運用到面包、比薩或者意大利面中，從土豆塊中學到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。 如果把在小學初中學的長方形、圓形的知識比作烏冬面、土豆塊，那么微積分就相當于面包、土豆沙拉等應用性料理。多虧有了積分法，人類才能夠計算各種圖形的面積和體積。使用積分，無論是多么奇怪的形狀，只要下功夫就能夠計算出結果，這真是巨大的進步。 將思考應用于實際，用自己的力量去推導面積、體積，這才是積分的樂趣，也是學習積分的真正意義。
01 所有圖形都與長方形相通
圖形的種類紛繁多樣，其中面積計算最為簡單的就是“長方形”了。 說到這里，大家是不是想起了小學時初學面積計算的情景？在圖形面積計算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長方形之后學習。長方形的面積僅用“長×寬”就可以計算，可以說是最簡單、樸素的圖形。順便提一下，在數學世界中，正方形被看作是“一種特殊的長方形”。
掌握長方形面積的計算方法后，就可以將其應用到三角形的面積計算中。反過來說，如果不知道長方形面積的計算方法，也就無法計算三角形的面積。 這是因為，三角形的面積可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長、該邊上的高為另一邊的長方形面積的一半”。根據圖2可知，三角形的面積正好是對應長方形面積的一半，也就是說“三角形的面積=底×高÷2”。
那平行四邊形是什么情況呢？平行四邊形可以看作是兩個以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。
梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個相同的梯形并列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長方形為基礎計算的，為“（上底+下底）×高÷2”。
從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個圖形看上去沒什么直接關聯，但它們的面積公式都是以長方形面積為基礎推導出來的。
02 近似的方法 積分的要領：將圖形看作小長方形的組合。 在小學算術課上，大家有沒有做過下面這樣的事情呢？如圖5所示，用圓規在方格紙上畫一個圓，然后數出圓中方格的個數。之后，再畫幾個大小不同的圓，并數出這些圓中方格的個數。
這項作業實際上與圓的面積公式相關。圓的面積公式是“半徑×半徑×3.14”，其中的3.14是圓周率的近似值，而“嘗試數方格的個數”就是一種講解圓周率推導的方法。 在這里，我們來重新回顧一下這種方法。 先來數一數圖6中，半徑為2 cm的圓中有多少個方格3（方格的邊長為1 mm）。雖然這種方法有些不精確，但是能讓小學生更容易理解。
圖6圓中的方格共有1189個，用面積表示的話為11.89 cm2。 圓的面積公式是“半徑×半徑×圓周率”。在方格實驗中，我們的目的是求圓周率，所以可以把這個公式變形，得到“圓周率=面積÷（半徑×半徑）”。在圖6的例子中，圓的半徑為2，所以用面積除以2的2次方4，得出圓周率為2.972 5。 與3.14相比，這個結果太小了。雖然有些遺憾，但實驗就是這樣的。即便如此，我們也會明白一件事情，即“圓周率，也就是π，粗略來說是接近3的數”。 再細分方格或者把圓變大的話，圓內方格面積的和，就會逐漸接近圓面積公式“半徑×半徑×3.14”，也就是說，圓周率
會逐漸接近3.14。像這樣，把圓的面積替換成方格的數量，逐漸求得接近待求值的方法叫作“近似”。我在小學時也做過這個實驗，數十年后的今天，我仍然清晰記得努力數完方格得出答案后，內心中洋溢的滿足感。 順便說一下，或許有人會產生以下疑問。
博士的回答是老師的常用手段，但是稍微有些糊弄的成分。因為這種回答還會遺留下面的疑問。 “不在意這些縫隙”具體是什么意思？事實上，不管是在意還是不在意，縫隙總是會存在的，不是嗎？ 這個疑問看上去似乎很無聊，但在高等數學中卻是一個很有意思的問題。從結論上來講，為了解決上述疑問，我們有必要使用“夾逼定理”（兩邊夾定理），從圓的內部和外部都取近似來研究圖形。即先計算出“圓內部的方格數”對應的圓周率，然后再用同樣的方法，計算出“包含圓邊界的方格數”（內部方格數加包含圓邊界的方格數）對應的圓周率。這樣一來，我們可以得到下面的結論： 圓內部方格數對應的圓周率 ＜ 圓實際的圓周率 ＜ 包含圓邊界的方格數對應的圓周率 如果將方格不斷替換為更小的方格，“圓內部方格數對應的圓周率”和“包含圓邊界的方格數對應的圓周率”，二者的數值會慢慢接近，都接近圓實際的圓周率，這就是“夾逼定理”。 在微積分中，不拘小節的精神同樣重要。
圖7是小方格組成的與圓近似的圖形。左邊是大方格，右邊是小方格。通過這兩個圖大概可以明白“把粗糙的圖形精細化，就會接近實際圖形（圓）”。精度非常高的鋸齒狀圖形，實際上很難在視覺上與平滑圖形區分出來。 電視、電腦的液晶顯示器，都是使用這個原理來顯示畫面的。液晶顯示器顯示的畫面實際上是鋸齒狀的。但是顯示器中鋸齒的精細度非常高，所以我們眼中看到的就是平滑的線了。 我們也可以這樣說，圓形實際上是由無數精細小方格組成的鋸齒狀圖形，即圓形是鋸齒狀圖形的“極限”。像這樣，“近似”在數學中是極其好用的方法。 如果執著于完美再現平滑的線，那么就不會出現液晶顯示器吧。多虧了非完美主義的近似方法，才誕生了劃時代的技術。
03 和變為了積分 計算圓的面積時，小學中采用的方法是用“正方形”來劃分圓的內部空間。這樣做的原因實際上很簡單，就是因為方格紙的方格是正方形。 求圓的面積，要領是精細地劃分圓。也就是說，劃分的形狀應該不限于正方形。因此，我們可以把圓分成“細長的短條”來求面積。比如圖8，我們嘗試把圓分成細長的短條，也就是長方形的組合。
雖說如此，但既然說到了符號，從現在開始我們就嘗試使用積分符號吧。公式也會從此處開始出現，不過內容和剛才的講解是完全一致的，所以請輕松地讀下去。和業界人士使用行業術語講話一樣，使用數學符號講解數學，相同的內容在表達上也會看起來非常優雅。 在圖9中，我們把圓裁切成非常窄的短條。水平方向為x軸。這時，圓的裁切方向和x軸正好是垂直關系。 在此基礎之上，我們選取一條寬度為Δx的短條。Δ是希臘字母，讀作“德爾塔”（Delta），多用作“差”（difference）的符號，表示非常小的數值。 現在，我們用公式來表示這條短條的面積。
短條的面積=短條在x值對應的長度×Δx 若問為什么要算出短條面積，這是因為我們要從這里開始計算圓的面積。把這些細長短條的面積相加，就是圓的面積。具體來說，把從左端到右端的短條全部相加就可以了。 在這里，我們逐漸縮小短條的寬度，縮小到再也不能縮小的程度。這樣一來，短條與其說是長方形，倒不如說看起來更像“一條線”。無數根“線”相加，其結果逐漸接近“圓的面積”。用積分符號來表示的話，可以寫成以下形式。
公式中那個像把字母S縱向拉長的符號音同integral（積分）。積分原本就是“和”的意思，因此積分符號也是取自拉丁語中“和”的單詞Summa的首字母S。這是一位叫作萊布尼茨的數學家（兼哲學家）提出的。
在此簡單補充一點兒德爾塔（Δ）和d的內容。 Δ和d，這兩個符號都源于“差”（difference）。二者的不同之處在于，Δ是“近似值”，而英文小寫字母d是“精確值”。 “精確值”是什么意思呢？例如圓周率π，3.14是其近似值，無限循環的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精確值”。近似值在某種情況下必定是不正確的，而精確值在任何情況下都是正確的。 所以，我們可以這樣理解dx：“將原本用短條寬度Δx計算的數值，看作趨向于0的'精確值’。” 總結一下，德爾塔（Δ）和英文小寫字母d分別在以下情況中使用。 德爾塔（Δ）——當存在寬度（寬度大于0）之時。 英文小寫字母d——當寬度趨向于0，計算極限數值時。 另外，雖然微積分中會出現各種各樣的公式、符號，不過初學者最開始不太理解這些東西也沒有關系，對Δ和d也同樣如此。
04 何為“接近精確值”
我們將短條的寬度不斷縮小，然后嘗試計算圓的面積。為了便于之后的計算，假設圓的半徑為1 cm（圖10）。如果在這個圓的內部排列短條并計算其總面積，結果會怎么樣呢？ 在這里，設短條的條數為N。用直徑2（半徑為1，直徑是半徑的2倍，所以直徑為2）除以短條的條數（N），就能夠得出每一條短條的寬度Δx。也就是說，Δx是2/N
寬度為Δx的短條的面積總和，在短條條數（N）增加時會如何變化呢？我們來實際確認一下。逐一計算不同條數下所有短條的總面積很麻煩，不過使用計算機的話可以一下子解決，結果如表1所示。
在表1中，我們計算了短條數從10條到20 000條時的短條總面積。條數（N）為20 000時，每條短條的寬度Δx是半徑的1/10 000，只有0.000 1 cm。 我們從表1的結果中可以發現，條數為10時，總面積是2.637 049，這個數值和3.14…迥然不同；當條數為20 000時，總面積則成了3.141 391。怎么樣？是不是可以切實感受到，當短條的條數增加時，短條的總面積會逐漸接近3.141 592 6…=π。 另外，雖然短條寬度為0.000 1 cm已經是纖細至極，但在分割圖形時并不算是“精細”的尺度。實際計算積分時，會使用比0.000 1 cm更精細、更接近0的尺度。 轉載內容僅代表作者觀點 不代表中科院物理所立場 |
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