1665年，牛頓從劍橋大學畢業了，英國爆發瘟疫，學校關閉，牛頓回到家鄉躲避瘟疫，在家鄉牛頓被蘋果砸了一下，發明了流數法、發現了色散，并提出了萬有引力定律。 牛頓當時提出的流數法，就是我們所說的微積分。但是牛頓當時并沒有把它看得太重，只是把它作為數學工具，是自己研究物理問題時的副產品，也沒有把這種方法公之于眾。 十年之后，萊布尼茨了解到牛頓的數學工作并在1684年，連續發表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，牛頓得知后通過英國皇家科學院公開指責萊布尼茨，沒有提及自己，于是之后在談到微積分公式，我們稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。 一、什么是微積分圓的面積公式是什么？ 其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。那么這個公式是怎么得到的？ 首先，我們畫一個圓，這個圓的半徑為R，周長為C。我們知道，圓的周長與直徑的比定義為圓周率，因此： 我們把圓分割成許多個小扇形，再然后，我們把這些扇形拼在一起，這樣就形成了一個接近于長方形的圖形。如下圖： 可以想象，如果圓分割的越細，拼好的圖形就越接近長方形。如果圓分割成無限多份，那么拼起來就是一個嚴格的長方形了。 而且，這個長方形的面積與圓的面積是相等的。 我們要求圓的面積，只需要求出這個長方形的面積就可以了。這個長方形的寬就是圓的半徑R，而長方形的長是圓周長的一半。 根據長方形的面積公式“長方形面積=長乘寬”，我們得到圓的面積公式： 其實，這個推導過程很簡單，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。 1. 微分由函數B=f（A），得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。 微分是函數改變量的線性主要部分，微積分的基本概念之一。 2. 積分對于一個給定的正實值函數，在一個實數區間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。 二、微積分的應用1. 王元買瓜不知道大家聽沒聽說過王元買瓜的故事：
這里稍微說一下，王元，著名數學家，院士，華羅庚數學獎得主，主要研究領域是解析數論。他曾任研究室主任、所長、所學術委員會主任、中國數學會理事長、《數學學報》主編，聯邦德國《分析》雜志編輯。 這里西瓜皮的體積計算就要用到多重積分的知識，這個問題其實是計算大球和三個小球體積和的大小比較。我們知道球體檢計算公式： 通過計算可得大球體積是小球體積的3.37倍，然后再根據球表面積計算公式： 通過計算可得大球表面積是小球表面積的0.75倍。那這樣算來，體積一樣，皮三個小瓜比一個大瓜大，那還是買大的劃算。 2. 薯片掉地上還能吃嗎薯片，大家都知道，一般都是一個弧面，一個弧面掉在一個平面上面，學霸說，這是一個相切接觸，相切接觸就是說兩個面其實是相交于一條線，而一條線在二維上面的面積積分等于零，那么問題解決了。 一個薯片掉在地上臟了嗎？臟了。臟了多少？臟了一根線。一根線的面積是多少呢？等于零，所以沒臟。 這就是微分理念里的無限小，最終無限趨近于零的理念。 《莊子·天下》所說的至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一。翻譯過來就是大到沒有外界，稱之為無窮大。小到沒有內含，稱之為無窮小。這里提出的概念正是早期數學家腦子里的無窮大無窮小。 總結微積分創立的直接推動力是現代科技的發展，有效的解決了變速運動的瞬時速度，比如行星橢圓軌跡運行時的瞬時速度、曲線上的某個點的切線；比如望遠鏡設計時要確定透鏡曲面的法線、函數的最大、最小值；比如計算炮彈的最大射程等……成為了研究數、圖形、運動以及變化的一把鑰匙。 目前的人工智能更多是基于機器學習，其中很多算法都需要微積分這個工具。 相關概念有凸優化、多元函數、偏導、神經網絡中反向傳播使用的鏈式法則、用多項式逼近描述高階導數的泰勒級數、牛頓法、梯度下降法等等。 |
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