量子力學的理論結構通過對SG實驗的分析，我們已經盡可能平滑地引入了量子態及其疊加原理，討論了量子力學中測量的關鍵特征及理想模型：投影測量。 在進一步討論其它量子現象前，讓我們用量子力學的語言將自己武裝起來，以使我們的討論扎實可靠、不致把自己搞糊涂。相信我，掌握這一部分的內容將使你受益無窮。 右矢保羅·狄拉克（Paul Dirac）洞見到，無論是沃納·海森堡（Werner Heisenberg）的矩陣力學，還是埃爾文·薛定諤（Erwin Schr?dinger）的波動力學，態疊加原理允許我們統一用矢量描述量子態，稱作態矢量（state vector）。（【注】很多人可能都聽說過波函數，波函數是波動力學的核心，而矩陣力學則有些陌生。狄拉克告訴我們兩者并沒有界線，看下去你就會明白。） 不同于我們熟悉的實數域上的矢量（歐氏矢量），態矢量是復數域上的矢量。而且，我們在經典力學中熟悉的都是有限維的矢量，而態矢量常常是無窮維的。上一章討論的自旋態倒是只有二維，但因為系數可以是復數，所以需要不止兩個實數來確定一個自旋態矢量（【注】兩個復數=四個實數，但上一篇我們已經說過態要歸一化，歸一化后只需要三個獨立的實數——第四個實數可以用歸一化求出來。我們之后會看到，其實還可以再去掉一個自由度，只需要兩個獨立的實數就足以描述一個自旋態）。 狄拉克為此建立了一套優雅的符號，稱為狄拉克符號或 bra-ket 符號（取自英文單詞 bracket，即括號）。在這套符號下，一個量子態可由來表達，即用一條豎線和一個拉伸了的大于號將你給這個量子態取的名字包起來，如 等等，這被稱為右矢（ket），你可以將其看成像一樣的東西。它允許我們較為“輕松”地表述物理，如著名的薛定諤的貓態：  在上一章中我們已經“物理地”引入了這種符號，現在中我們將考察它作為矢量的數學性質。 在熟悉了狄拉克符號后，你會逐漸感到量子力學在數學上并不可畏，最終可以“像呼吸一樣自然”地用狄拉克符號討論量子力學問題，甚至帶著它回頭學習線性代數。 矢量性意味著兩個右矢可以做加法，結果還是一個右矢： （【注】如果和是歸一化了的，那顯然就不是歸一化的） 還可以做數乘，也得到一個右矢： 其中是任意一個復數，它寫在的左邊或右邊沒有區別。如果，那結果就將是一個零矢量，記為，顧名思義： 零矢量沒有“方向”，在不致引起混淆的情況下，也可與標量零不加區分地都寫為。 和我們熟悉的歐氏矢量一樣，右矢還滿足加法結合律、數乘的結合律和分配律等： 數學上，只要一個集合上定義了滿足上述性質的加法、數乘，那就是一個線性空間。右矢所在的空間稱為希爾伯特（Hilbert）空間，符號可寫為，為了不與后面將引入的哈密頓量相混淆，常改變字體使用等。 左矢與內積除了加法和數乘兩種基本運算，我們還可以進一步定義更高級的運算。在對SG 實驗的討論中，我們引入了一種表示“你中有多少我”的符號： 當時我們說“尖頭翻轉，再'相乘’”，并說明了作為一種符號游戲，它是自洽的，擁有正交性和可歸一化兩種性質——常合并稱為正交歸一性（orthonormality）。現在我們知道了右矢是矢量，那這種運算在數學上是什么呢？ 可見，點乘就是一種“你中有多少我”的運算，一個矢量除非和另一個矢量垂直，否則就能分出和另一個矢量平行的分量。在推廣到更一般的對象時，我們將“點乘”改為“內積”，將“垂直”改為“正交”。就稱為內積運算。 為了給態矢量定義內積，我們需要引入左矢（bra）（這里有些技術問題，見文末注）。左矢是一種對偶矢量（dual vector），對偶矢量是輸入矢量、輸出標量的映射。在量子力學中，對每一個右矢，我們都引入一個與之對偶的左矢： 全體左矢同樣組成一個復線性空間，也有加法和數乘。 即，態矢量的內積交換順序，結果差一個復共軛，這與我們熟悉的實數域上的歐氏矢量不同。 為什么？我們希望，一個矢量和自身的內積能表示其大小，如 由于只有實數可以比大小，自身內積的結果應該是實數。 其中表示取復數的實部。可見，共軛線性的要求保證了自身內積是一個實數。 實際上，自身內積不僅要是實數，還應當是一個非負實數，當且僅當為零矢量時為零。只有這樣，我們的符號才能容納玻恩的概率詮釋——自身內積即總概率，應當非負才能歸一化到區間中。 總結起來就是：
你大可以先將這三條作為游戲規則接受下來，上手應用，日后再仔細體會。  回看 SG 實驗，當時我們說 可見，雖然對我們行動于其中的歐氏空間，和是兩個相反的方向，指向這兩個方向的矢量平行，但相應的態空間中的態和卻是正交（垂直）的。  至于常見的另一種矢量運算，叉乘，其只在三維空間中有良好定義，而態矢量的空間往往并非三維（對自旋態是二維，而我們接下來會經常見到無窮維！），因此對右矢/左矢并沒有叉乘運算。今后為了區分起見，我們將對態矢量的運算專門稱為內積，而對歐氏矢量的運算專門稱為點乘。 文末注：內積與對偶矢量
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