量子力學必會數學基礎(第一篇)[Shankar量子力學chap.1]: 線性空間以及內積空間的基本概念

taotao_2016 2023-05-08 發布于遼寧

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系列序:
?我們知道, 量子力學是當代物理系的核心專業課, 相較于其它物理學的應用學科, 物理專業在量子力學這一現代物理學的支柱學科上無論是深度還是廣度都是具有相當區分度的(絕大多數工科不需要學習量子力學, 會用到量子力學的化學專業相較于物理專業而言也是比較粗淺的). 然而, 眾所周知, 量子力學是通過“線性代數”(實際上是泛函分析, 但這是物理學家的黑話了, 物理學家通常用微積分和線性代數泛指其用到的所有數學知識, 無論是拓撲學、微分流形、泛函分析還是其它, 畢竟它們歸根到底都可以視作是某種“微積分”或者“線性代數”, 當然, 頂多再加一份變質了的“概率論”)這套語言進行表述的. 然而, 大多數人接觸線性代數是在大學一年級的第一學期, 而接觸量子力學則要等到第四學期乃至于第五學期, 之間的很多內容其實只會用到很少的線性代數. 不僅如此, 國內的線性代數通常只有一個學期的課時, 講述的知識實際上無法覆蓋量子力學學習真正需要的部分, 特別是線性空間和線性算子相關, 而這些對理解量子力學至關重要.
?長久以來, 當有試圖學習量子力學的初學者向我咨詢參考書之時, 我都會向他們強烈推薦R. Shankar所著Principle of Quantum Mechanics, 相較于其他人習慣于推薦的Quantum Mechanics(by D. Griffith), 這本書從一開始就拋棄了傳統的波函數敘事, 而是直接使用了現代物理學家更熟悉的Dirac記號, 并且在這個記號的基礎上帶著讀者學習(或者復習)了一遍量子力學中最為基礎的那部分數學知識, 包括線性代數的相關知識以及一些積分相關的內容(另一本書則是Cohen Tannoudji的兩卷本, 這本書厚是厚了點, 但確實全面, 它的前三章對需要用到的數學也做了梳理, 但是還是默認讀者有著一定的線性代數基礎, 這就不如Shankar了, 畢竟Shankar直接假設讀者只有大學一年級的物理水平, 也就是只熟悉三維歐式空間的各種矢量而已, 頂多了解一點點低階矩陣, 這畢竟是AP課程的一部分). 最重要的是, 這本書自帶習題的解答, 這對自學而言至關重要. 事實上, 我往往推薦初學者至少閱讀完Shankar的第一章再轉入其它教科書的學習之中.
?為了方便初學者, 在這個系列中我會將Shankar書的第一章翻譯出來, 讀者如果覺得確實符合自己的胃口, 可以找到其原版書進行閱讀. 即便覺得不符合自己的胃口, 我也強烈建議讀者在閱讀完這一章之后再轉入其它教科書的懷抱. 另外, 我并不是完全直譯, 部分語段我可能會采用意譯的方式, 甚至會直接更改部分原文. 考慮到我自己語言水平不佳, 所有語句不順以及表述不清的問題, 其責任都在我. 還是那句話, 讀者若是覺著讀著不順或者難以理解, 請轉讀原書, 畢竟我只是個不合格的二道販子罷了.
本章序:
(這是原書第一章的章序言, 我認為讀者有必要時刻記住Shankar老先生的叮囑, 因此決定每一篇前都帶上這一章序.)
?本書目的在于從其公理開始向讀者介紹量子力學, 而本章的目的則在于使讀者具備必要(而且完整系統)的數學. 假定讀者對矢量以及矩陣的基本概念有一些了解, 從這些基礎開始, 我們需要的所有數學知識都可以在這一章學到. 書中給出了大量和經典力學相關的例子以及習題, 這既可以減輕數學上學習的負擔(畢竟這提供了充分的實例以及動機. —— 譯者注), 又證明這里提出的思想之廣泛適用性. 你們在這一章所付出的努力將是非常值得的: 它不僅幫你們做好學習量子力學這門課的準備, 而且還可以將你們零碎學到的很多思想統一起來. 要真正學習這一章, 你們必須像學習其他章節一樣, 完成附帶的習題.
學生須知:
(這是原書中序言的一部分, 我特別將其摘錄出來, 因為它提到了第一章的重要性.)
?盡你們所能完成習題, 越多越好 —— 特別是標有或者結果中帶有公式標號的那些. 每個習題的答案要么隨習題一道給出, 要么在本書的結尾給出.
?第一章極其重要. 不要匆匆跳過, 即便你們已經熟悉了那些數學, 也至少讀一讀, 熟悉一下符號.
?我并不是說這門課簡單, 但是我希望這本書能讓它合理一點.
?祝你們好運!
閱讀須知:
?這本書畢竟是一本物理書, 書中對諸多數學概念的處理充滿了“物理人”的“隨意”, 其嚴謹性相較于數學書欠缺了那么一點. 但無傷大雅, 因為只要你閱讀的是物理書, 大多數作者對數學概念的態度和本書是差不多的. 所以安心接受本書作者的說法就是.
?或許有人會覺得這里介紹的數學知識有點少, 畢竟線性代數至少還要學一學期呢, 這里介紹的內容甚至不足兩周的課時! 然而事實上, 學習量子力學這些知識足夠了! 其余需要的線性代數知識基本上我們都可以在這門課程中通過具體案例接觸, 而不必專門去學習.

1.1 線性矢量空間基礎

?在這一節我們會學習線性矢量空間(linear vector spaces). 你們肯定對基礎物理中那些用于表示速度、力、位移、扭矩等的大小與方向的箭頭頗為熟悉了. 你們知道它們是如何相加的, 也知道它們如何與一個標量相乘, 并且知道這兩個運算所遵循的規則. 比如說, 你們知道標量乘法滿足分配律(原書第二版中是結合律, 應為筆誤. —— 譯者注): 矢量和的倍數等于其倍數的和. 我們要做的就是從這些簡單的例子出發抽象出一組基本特征或者說公理, 服從這組特征(或者公理)的任意對象的集合就構成一個線性矢量空間(按照現在的習慣, 我們或稱線性空間, 或稱矢量空間. —— 譯者注). 關鍵在于在推廣時保留哪些性質: 如果你們保留得太多, 就不會有其他滿足這些性質的例子; 但是保留的太少, 就又不會從這些公理中得到有趣的結果.

?下面我們將看到的就是經過數學家們精心挑選后構成矢量空間所必須的性質的列表. 當你們閱讀它們的時候, 請將其與你們熟悉的“箭頭世界”相比較, 確保它們確實是你們所熟悉的這些矢量所滿足的性質. 但是也請注意, 這些性質當中, “箭頭世界”中每個矢量都有其大小和方向的這一要求明顯缺失了, 而這是我們第一次聽到矢量這個概念后腦海中第一個也是最為顯著的特征. 因此你們或許會這樣認為: 舍棄該要求就是倒洗澡水時將孩子一同倒掉(Throw the baby out with the baby bath water, 這是一則廣泛流傳的俗語, 意思是不分精華糟粕而全盤否定. —— 譯者注). 然而, 你們有充足的時間欣賞這一選擇背后的智慧, 因為你們將會看到在矢量空間這一標題之下, 各種思想的偉大統一以及綜合. 你們會看到一些矢量空間的例子, 它們包含一些我們無法直觀感受的對象, 它們既沒有大小, 也沒有方向. 雖說你們應該對前面所述印象深刻, 但是煩請牢記, 通過箭頭來思考這些推廣, 并借此直覺來證明定理或者至少預見到它們, 這樣做并非壞事.

定義1(線性矢量空間): 線性矢量空間是一些稱作矢量(vector)的對象, , , , , , 的集合, 該集合之上存在
生成矢量之和的明確規則, 矢量和之和記作;
與標量等相乘的明確規則, 矢量與標量相乘記作;
并且這兩個運算滿足下述特征:
它們運算得到的結果還是該空間的矢量, 這一特征稱作封閉性(closure): , .
標量乘法對矢量加法滿足分配律(distributive in the vectors): .
標量乘法對標量加法滿足分配律(distributive in the scalars): .
標量乘法滿足結合律(associative): .
加法滿足交換律(commutative): .
加法滿足結合律: .
存在一個滿足的矢量, 稱作零矢量(null vector).
對于每個矢量, 存在其加法逆元使得.
對于標量, 我們有.

?記住這些要求有一個很棒的方法, 那就是順其自然(因為它們滿足的不過是我們希望加法和乘法所具有的運算律罷了. —— 譯者注).

定義2(矢量空間所在的數域): 定義1中定義矢量空間時所提及的數所在的空間稱作所在的數域(field).

?如果這個數域由所有實數構成, 我們就得到了一個實矢量空間(real vector space); 如果由所有復數構成, 我們就得到復矢量空間(complex vector space). 但是矢量本身既非實數也非復數 —— 這一形容詞是對標量而言的.

?我們要注意, 上述公理可以推出

是唯一的, 也就是說, 如果也有所滿足的性質, 則.
.
(這里應該理解為標量與的乘積. —— 譯者注).
是唯一的加法逆元.

它們的證明留作下面的習題. 它們的證明不是必須的, 但是你們必須知道這些結論.

習題1.1.1: 驗證上面的這些斷言.
提示: 對于第一個斷言, 考察, 然后依次使用這兩個零矢量所具有的性質. 第二個斷言則從考察開始. 第三個斷言應該從開始. 至于最后一個, 設也滿足. 因為是唯一的, 這就意味著. 然后從這里開始即可,

習題1.1.2: 考察所有形式為且均為實數的三元組的集合. 在其上定義加法和乘法如下:
寫出這一空間中的零矢量以及的加法逆元. 證明所有形式為的矢量不構成矢量空間.

?注意, 我們現在正在使用一個新的符號來表示一個一般的矢量. 這個東西讀作ket (雖然按理這里應該寫成右矢, 但是通常我們還是習慣于將右矢讀作ket. —— 譯者注), 稱作右矢(ket), 這一命名源于Dirac, 稍后我們會詳細討論他的這套記號. 作為讓你們擺脫“矢量是箭頭”的這一有限觀念的第一步, 我有意不采用的這套記號來表示矢量. 然而, 在你們看到足夠的非箭頭矢量并做好丟開“拐杖”的準備之前, 我并不反對你們將與類似箭頭的物件聯系起來.

?你們應當驗證箭頭的集合確實構成前面公理所確定的矢量空間. 接下來是一些你應當知道的關鍵想法. 矢量空間由箭頭組成, 其典型元素形如和, 它們的加法是我們所熟悉的: 取第二個箭頭的尾部, 將其放置到第一個箭頭的頂端, 它們的和就如圖1.1所示.

?而箭頭與標量的標量乘法就是將其拉伸一個因子. 這是一個實矢量空間, 因為拉伸一個復數因子是沒有意義的. (如果是負數, 我們可以將其解釋為改變箭頭的方向并拉伸一個因子.) 因為這些作用于箭頭的操作會給出更多的箭頭, 我們就有了封閉性. 加法和標量乘法顯然具有所有需要其滿足的結合律和分配律特征. 零矢量是長度為零的箭頭, 而一個箭頭的加法逆元就是與其方向相反且長度相同的箭頭.

?于是所有箭頭的集合就是一個矢量空間, 但是我們不能瞎擺弄(tamper)它. 比如說, 所有沿著軸正方向的箭頭就不構成矢量空間, 因為它們沒有加法逆元.

?請注意, 到目前為止, 我們都還沒有提到大小以及方向. 其原因在于雖然箭頭具有這些特性, 但是矢量空間的元素卻不必如此. 然而除非我能夠向你們提供一些例子, 否則該陳述毫無意義.

?考察所有矩陣的集合, 我們知道它們如何相加, 也知道如何將它們與標量相乘(即四個矩陣元都乘以該標量). 其加法規則和數乘規則也服從封閉性、結合律以及分配律. 零矢量就是零矩陣, 即所有矩陣元都是零的矩陣. 而一個矩陣的加法逆元就是其對應矩陣元相反數構成的矩陣. 你們必須承認現在我們確實得到了一個一般的矢量空間, 它由一些明顯沒有長度和方向的東西組成(當然, 我們可以人為加上長度和方向, 這只要規定參考方向, 然后取內積和模即可, 因此原文為沒有明顯的長度和方向. 我修改了一下語句使其語氣更為獨斷論一點. —— 譯者注). 當我們希望強調矩陣是一個矢量空間的元素之時, 我們就可以稱其為ket 4或者說.

?第二個例子我們來考察定義在區間上的所有函數. 我們定義其與標量相乘的結果為. 而加法則定義為逐點相加: 函數和的和在點處的函數值為. 零矢量就是處處為零的那個函數(即零函數), 而的加法逆元就是.

習題1.1.3: 第二個例子中在端點和處為零的全部函數是否構成矢量空間? 滿足的所有周期函數(periodic function)呢? 滿足的所有函數呢? 如果它們之中某個不構成矢量空間, 請說明其不滿足哪一條性質.

?下一個概念就是矢量組的線性無關性(linear independence). 首先考察形式為

的線性關系(我們將的左邊稱作矢量組的線性組合. —— 譯者注).

?不失一般性, 我們可以假設左邊不含的倍數項, 因為如果左邊存在這么一項, 我們就可以將其移到右邊, 將其與相加我們就再一次得到了. (這里我們用到了的任意倍均為的事實.)

定義3(線性相關與線性無關): 如果線性關系成立只有平凡解 —— 即所有, 則稱這組矢量是線性無關(linearly independent)的. 如果一組矢量不是線性無關的, 我們就稱其線性相關(linearly dependent).

?方程告訴我們線性無關組中任意元素都不可能用其它元素(線性)表示出來. 另一方面, 如果矢量組是線性相關的, 這樣的關系就會存在, 并且至少有兩個非零的系數. 比方說我們設, 則我們就可以寫下

這樣我們就將用其它矢量表示出來了.

?一個具體的例子是這樣的(注意這里是在箭頭空間中討論問題. —— 譯者注): 我們考察平面上兩個不平行的矢量和, 它們就構成一個線性無關組. 我們沒有辦法將其中一個矢量寫成另一個矢量的倍數, 或者等價地說, 不可能將它們組合起來得到零矢量. 另一方面, 如果它們相互平行, 那么我們顯然可以將一個矢量寫成另一個矢量的倍數, 或者等價地, 將它們組合起來得到.

?注意我這里說的是而不是. 嚴格地說, 這樣做是不正確的, 因為矢量相加得到的必然是一個矢量而不是一個數. 然而, 將零矢量簡單地寫成是一種很常見的行為.

?假設我們在這個平面上引入第三個矢量. 如果它平行于前兩個矢量中的任意一個, 我們自然就得到了一組線性相關的矢量, 因此讓我們假設并非如此. 但即便如此, 我們仍然可以斷定這三個矢量是線性相關的. 這是因為我們可以將他們中的一個 —— 比方說—— 寫成另外兩個矢量的線性組合. 要找到該組合, 我們首先從的尾部沿著的方向畫一條線. 然后從的頂端畫一條與反向平行的線. 這兩條線必然相交, 因為根據假設, 和彼此不平行. 兩條線的交點就可以告訴我們希望得到的和的倍數是多少: 我們從的尾部出發通過的合適倍數抵達, 從的頂端出發通過的合適倍數抵達.

習題1.1.4: 考察所有實矩陣構成的矢量空間中的三個元素:
它們是否線性無關? 給出細節支持你的判斷. (注意我們稱這些矩陣為矢量, 因此使用右矢來表示它們, 以此強調其為矢量空間元素的身份.)

習題1.1.5: 證明行矢量, 以及是線性相關的. 證明, 和卻是線性無關的.

定義4(維數): 如果一個矢量空間最多容納個線性無關的矢量, 我們就稱其維數(dimension)為. 如果其數域為實數, 則將其記作, 如果數域為復數, 則將其記作.
譯者注: 原書用和表示實數和復數, 這是因為通常的教科書采用黑板粗體和實現這一目標, 但是我們已經用黑板粗體用來表示矢量空間了. 為了和常規書籍保持一致, 這里我們采用黑正體等表示數集, 畢竟這是另一套常見的數集符號.

?鑒于早先的討論, 我們知道平面是二維的, 而所有不限于該平面的箭頭的集合定義了一個三維矢量空間. 那矩陣的全體呢? 它們構成了一個四維的矢量空間. 這里有一個證明: 下面的矢量是線性無關的:

因為它們中間任意三個的線性組合都不可能給出第四個矢量, 畢竟第四個矢量中非零矩陣元所在的位置處其余三個矢量的矩陣元都是零. 因此這個矢量空間至少是四維的. 維數可以更高一點嗎? 不可以! 因為任意一個矩陣都可以用它們四個表示出來:

?如果標量都是實數, 我們就得到了一個實四維空間, 如果它們都是復數, 則我們就得到了一個復四維空間.

定理1: 若是維矢量空間中的矢量, 則它可以寫成個線性無關的矢量的線性組合(linear combination).

?茲證明如下: 如果存在一個矢量使得其不成立, 則我們將其加入到已有的線性無關矢量組中就得到個線性無關矢量構成的矢量組, 根據定義這在維空間中是不可能的.

定義5(基): 我們將維矢量空間中個線性無關矢量構成的矢量組稱作該矢量空間的一組基(basis).

?于是, 在上面的定義下, 定理1可以寫作

其中這些矢量構成一組基.

定義6(矢量在基下的分量): 矢量在一組線性無關的基(比如中的)下線性展開的系數(比如中的)稱作該矢量在這組基下的分量(component).

定理2: 給定矢量和一組基, 其形如的展開是唯一的.

?假設這個展開不唯一, 我們就可以找到第二個展開式

用減去我們就得到(也就是給第二個式子乘以標量, 然后兩個式子相加)

這就推出

因為基矢量是線性無關的, 它們之間只存在平凡的線性關系. 注意給定一組基后分量是唯一的, 但是如果我們換一組基, 對應的分量就會發生改變. 我們將視作是抽象矢量, 它自身存在, 且滿足與其它矢量的各種關系. 當我們選定好一組基后, 抽象矢量就以其分量表示出來, 而矢量之間的關系就用分量之間滿足的關系表示. 打個比方, 假想平面上有三個箭頭, 和, 它們之間依照箭頭的加法法則滿足. 到目前為止我們還沒有選定好一組基, 我們也不需要一組基來證明這些矢量構成一個閉合三角形. 現在, 我們選定一組基, 并且將每個矢量以其分量表示. 那么這些分量就會滿足, . 如果我們選擇另一組基, 這些分量的數值也會發生變化, 但是它們之間的關系 —— 表示這個量與其余兩個矢量之和相等 —— 在新的分量下仍舊成立.

?在非箭頭矢量的情況下, 如初等情形那樣將它們的分量相加以實現矢量相加要歸功于那些公理. 如果

且

則

這里我們用到了那些公理(確切地說, 用到了交換律來將同一基的倍數放到一起, 然后逆用分配律提出因子. —— 譯者注)來重組那些項. 最終結論如下:

兩個矢量要相加, 只需讓它們的分量相加.

?這里沒有提到將一個矢量的尾部添加到另一個矢量的頂端等操作, 因為一般的矢量并沒有頂部和尾部. 當然, 如果我們處理的是箭頭, 并希望求它們的和, 我們既可以采用基于它們尾部與頂部的慣常操作, 也可以在一組基下簡單地將它們的分量相加.

?同樣的方式, 我們有

換句話說,

矢量與標量相乘, 只需將其所有分量與該標量相乘即可.

1.2 內積空間

?有了矩陣和函數的例子, 你現在應該可以相信存在其元素沒有預先定義的長度以及方向的矢量空間了. 但是, 我們可以構造出這樣一些量, 它們與箭頭情形下箭頭的長度與夾角滿足相同的性質. 第一步是定義箭頭點積的合理類比. 在箭頭的情形中, 點積定義為

由此我們可以得到箭頭的長度為, 而兩個箭頭和夾角的余弦值為. 現在你可能會這樣反對: 如果點積本身需要用到長度和夾角, 我們又怎么可以用點積來定義長度和夾角呢? 其回答是這樣的: 回憶點積可以由分量給出其與等價的第二種表達式:

我們的目標是在已經有矢量在一組基下的分量這一概念之后, 為點積的一般情況定義一個類似的公式. 為此, 我們回憶上面的點積之主要特征:

(對稱性, symmetry).
且等號成立的充要條件是(半正定性, positive semidefiniteness).
(線性, linearity).

?點積線性性質的示意圖見圖1.2.

?我們希望在任意兩個矢量和之間定義一種點積的推廣, 并稱之為內積(inner product)或者標量積(scalar product). 我們用符號來表示它(確切地說, 是, 我們把中間的兩條豎線合并為一條了. —— 譯者注). 它依舊是一個依賴于兩個矢量的數(通常是復數). 我們要求其滿足下述公理:

(斜對稱性, skew-symmetry).
且等號成立的充要條件是(半正定性, positive semidefiniteness).
(對右矢線性, linearity in ket).

定義7(內積空間): 帶有內積的矢量空間稱作內積空間(inner product space).

?注意, 我們目前還沒有給出一個可以用來實際計算標量積的具體規則 —— 我們只是要求我們提出的任何一個計算規則都必須滿足這些性質. 為了找到這樣一條規則, 讓我們首先熟悉熟悉公理. 第一條公理和點積所滿足的第一條公理稍有不同, 這使得內積對參與運算的兩個因子的順序很是敏感, 不同的順序之間相差了一個復共軛. 在實矢量空間中, 這條公理就給出了兩個矢量交換時點積所滿足的對稱性. 就目前而言, 我們需要注意到這條公理保證了是實數.

?第二條公理則指出不僅是實數, 它還是半正定的, 它只在矢量自身為零時等于零. 如果我們要將矢量的長度定義為該矢量與其自身內積的算術平方根(就如同點積那樣), 那么這個內積最好是實數, 并且對于所有非零矢量為正數. (因此第二條公理保證了這樣定義是合理的. —— 譯者注)

?最后一條公理表述了當標量積的第二項中出現矢量的線性疊加(linear superposition)時內積的線性性質. 我們業已討論其于箭頭情形時的有效性(圖1.2).

?那當內積的第一個因子中出現線性疊加時 —— 也就是—— 又是怎么樣呢? 這由第一條公理予以確定:

這就給出了內積關于其第一個因子的反線性(antilinearity)性質(通常數學書中也稱之為共軛線性性質. —— 譯者注). 換句話說, 如果矢量的線性疊加出現在內積的第二個因子中, 則它關于另一個矢量的內積就是各自內積的線性疊加, 如果矢量的線性疊加出現在內積的第一個因子中, 則它關于另一個矢量的內積就是各自內積系數取復共軛后再線性疊加. 這種不對稱性在實矢量空間中是見不到的, 但是隨著課程的進行你會慢慢熟悉它.

?讓我們繼續討論內積. 即便我們目前試圖擺脫“矢量就是箭頭”這一觀念的限制, 在尋求點積這一概念的推廣時我們仍舊要使用一些相同的術語.

定義8(正交、垂直): 如果兩個矢量的內積為零, 則稱它們正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular).

定義9(范數、長度): 我們將稱作矢量的范數(norm, 這里也可以譯作模)或者長度. 如果矢量具有單位長度, 即范數為, 則稱其為歸一化矢量(normalized vector).

定義10(正交歸一基): 一組范數為且彼此正交的基矢的集合稱作一組正交歸一基(orthonormal basis).

?我們也經常將內積或者標量積稱作點積(但我在翻譯之時都盡可能在非箭頭情形避免使用點積一詞了. 不過不排除某些地方我沒注意到. —— 譯者注).

?現在我們就可以準備得出用分量表述的內積的具體公式了. 給定矢量和如下:

由內積滿足的公理我們可以得到

要想更進一步, 我們就必須知道基矢之間的內積. 這就取決于基矢的具體細節, 而我們唯一能夠確定的就是它們是線性無關的. 此情況對箭頭也是成立的. 考察這樣一個二維問題: 基矢是兩個線性無關且彼此不垂直的箭頭. 如果我們將所有箭頭用這一組基表示, 那么它們之中的任意兩個箭頭的點積就是一個雙重求和, 其展開后有四項(由基矢之間的四個可能的點積確定), 這正如所述. 然而, 如果我們使用的是像和這樣的正交歸一基, 則只有像這樣的對角項幸存, 從而我們就得到了那個熟悉的結果: , 它只和分量有關.

?對于一般的非箭頭情形, 我們調用定理3.