【MIMO-OFDM系統】— 傅立葉變換

傅里葉變換

傅里葉級數，在時域是一個周期且連續的函數，而在頻域是一個非周期離散的函數。

傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續信號，轉換為一個在頻域非周期的連續信號。

讓我們先從復數說起，下面是一個復數的一個表達形式，可以看出乘以i的效果是將數值逆時針旋轉了90度。

數軸與虛數軸共同構成了一個復數的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，乘虛數i的一個功能——旋轉。

歐拉公式將正弦波統一成了簡單的指數形式，我們來看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的余弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。

歐拉公式告訴我們：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。

根據歐拉公式里面的復平面，我們可以得到單個矩形波形成的螺旋圖如下圖所示：

如果你認真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。

上圖展示了將海螺圖投影到實數空間就形成了傅立葉變換的連續非周期的連續的曲線，此曲線在時域上就表現為一個矩形波的形式。

傅立葉變換作用

如果地震波可被分解，找出不同的振幅和速度，那么我們可以針對地震的特定振幅和速度設計對應的抗震建筑物。

如果聲波可被分解成低音和高音，我們就可以放大我們關心的部分，縮小我們不關心的部分。

“比如你喜歡小提琴，那便可以提高高音部分，隱去低音部分。

如果你喜歡低音貝斯，那么你就可以提高低音部分，隱去高音部分。”

如果計算機數據可以用震蕩波形表示，且其中包含可忽略的數據，那么就可以用傅里葉變換濾去不重要的數據。這在數據科學中被叫為“數據濾波器”。

如果是收音機的無線電波，那么我們就可以收聽到特定頻率的廣播。

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