傅里葉變換：傅里葉級數到FT變換，離散到連續的演變

傅里葉級數讓我們知道了，原來周期性函數是可以通過正弦函數的累加完成的。我們在此之前是不是壓根就沒這樣想過啊？所以說數學家們的世界我們不懂。

看一看三棱鏡的色散現象，我們發現自然界這種分分合合的現象也是普遍存在的。

白色光=紅+橙+黃+綠+青+藍+紫；

到這里我們自然不經會問，周期現象很常見，那么如果非周期呢？

傅里葉級數的變化

根據傅里葉級數的定義，周期函數f(t)可由三角函數的線性組合來表示，其中函數f(t)周期為T，角頻率為w，頻率為f，傅里葉級數表達式可以寫成：

非周期信號可以看成周期為無窮大的周期信號。我們把非周期信號的傅里葉分析方法叫做傅里葉變換。

當周期函數的周期T逐漸趨向無窮大之時，由于ω=2π/T，周期信號的頻譜是離散的，離散間隔為ω。所以當T趨向無窮大之時，ω趨向于0，離散間隔逐漸變為0，頻譜變為連續譜。

傅里葉變換就這樣得到了！

但是由于傅里葉系數的公式中都有1/T*（…），當T趨向無窮大之時，系數也趨向0了。所以傅里葉系數也逐漸趨向無窮小，由公式可知，每個F(nω)趨向無窮小。

這樣看來，各個頻率幅值均為0，這樣是不是感覺沒什么可分析的了？

既然都為0了，我們也可以洗洗睡了。

然而數學告訴我們，無數的無窮小量加起來，未必是無窮小啊。再說了，常識告訴我們，當周期為無窮大時，頻譜不可能平白無故的消失的。況且如果把這些函數看成是熱量、能量，也不會因為我們換個角度看，能量就平白無故的消失。

所以，數學家們說：“肯定是我們的打開方式出現問題了，我們表達的方式不對，我們得換一種方式”

既然頻譜幅值都為0，那么我們就像學概率一樣，我們也搞一個頻譜密度，弄一個密度函數哈！

從上圖中，我們可以看出，當脈沖信號的周期T不斷變大的時候，頻譜寬度逐步變窄。這個時候我們畫出F(nw)/w的頻譜密度函數。圖中紅色長方形，寬度為w，長度為F(nw)/w，面積為F(nw)。

說白了，T趨向無窮大時候，F(nw)趨向0，w趨向0，但F(nw)/w不一定是0哦。

按照這個思路，我們進行一番推導：

OK，問題解決了，通過頻譜密度函數，我們得到了非周期信號的頻譜。

傅里葉變換

如果你很感興趣證明過程，請自己動手，或者私信我溝通交流。這里給出傅里葉變換公式：

通常，周期信號叫做功率信號，非周期信號叫做能量信號。能量信號的頻譜密度通過傅里葉變換求得； 能量信號的頻譜密度和功率信號的頻譜主要區別有

1. 連續譜，還是離散譜；
2. 單位是幅度/頻率，還是幅度；
3. 能量信號的能量有限，并連續的分布在頻率軸上，每個頻率點上的信號幅度是無窮小的，只有dw上才有確定的非0振幅； 功率信號的功率有限，但能量無限，它在無限多的離散頻率點上有確定的非0振幅。

從我們發現可以用不同頻率的正弦函數疊加，表達周期函數開始，非周期函數的表達方式自然而然就會是我們探索的一個方向。周期函數的頻譜為間隔為w的離散譜，當周期函數的周期T變大時，自然w=2π/T就會不斷的減少，最后形成連續的譜線。這是一個很自然的過程，當然啦，如果你需要嚴格的證明，那么需要動動腦哦。