在“微積分的原理”系列文章中，我們曾帶大家辨析過“微積分的方法與原理”（高視角！如何認(rèn)識微積分方法與原理？），也曾帶大家走近微積分的創(chuàng)立者之一——萊布尼茲（萊布尼茲和他的微積分原理）。作為一個具有劃時代意義的創(chuàng)造，相比于其他數(shù)學(xué)理論而言，微積分從誕生到發(fā)展成熟似乎經(jīng)歷了更加曲折的過程。接下來，讓我們走近在這個曲折過程中做出重要貢獻(xiàn)的關(guān)鍵人物——“嚴(yán)格分析奠基者”柯西，一起看一看他的微積分原理吧~來源 | 數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)經(jīng)過半個世紀(jì)的醞釀，牛頓與萊布尼茲終于完成了微積分創(chuàng)立過程中最后也是最關(guān)鍵的一步。而微積分的發(fā)展從這里才剛剛開始。在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中，來自貝克萊主教的質(zhì)疑使得數(shù)學(xué)家們想盡辦法維護(hù)自己的尊嚴(yán)，而柯西正是這場分析嚴(yán)格化運(yùn)動中的奠基者，也是真正有影響的先驅(qū)。相比于牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分而言，柯西的微積分原理有什么不同？與前人的微積分原理相比，柯西有什么繼承，又有什么進(jìn)一步的發(fā)展呢？讓我們一起尋找答案~1. 一個受爭議的數(shù)學(xué)家——柯西
提到柯西，相信學(xué)過高等數(shù)學(xué)后，我們對他的名字都不陌生，隨口就能說出很多以他的名字命名的數(shù)學(xué)定理或公式：柯西判別法、柯西不等式、柯西方程……
柯西在數(shù)學(xué)史上是受到一些爭議的。其中，主要原因是他對青年學(xué)者的創(chuàng)造的忽視。作為法國科學(xué)院的審稿人之一，柯西弄丟了阿貝爾的的重要論文，這使得阿貝爾的貢獻(xiàn)沒有及時得到認(rèn)可，而阿貝爾也在貧病交加中去世。同一年，他又弄丟了伽羅瓦的開創(chuàng)性的論文手稿，這造成群論晚問世約半個世紀(jì)。柯西去世前說的最后一句話是：“人總是要死的，但是，他們的功績永存。”阿貝爾和伽羅瓦都死了，但是他們的功績差一點就永存在柯西家的角落里。而柯西的確是一個數(shù)學(xué)天才，這一點也不可否認(rèn)。與其他很多偉大的數(shù)學(xué)家一樣，從小他就對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的熱愛。在少年時，柯西的數(shù)學(xué)才華得到了大數(shù)學(xué)家拉格朗日、拉普拉斯的賞識，并被預(yù)言在數(shù)學(xué)上定成大器。然而，因為出生在法國大革命時期的緣故，艱苦的環(huán)境使得他長得瘦小、發(fā)育不全。拉格朗日擔(dān)心這個瘦弱的孩子被累壞，所以給老柯西提出建議：在他17歲之前，不要讓他摸（高等）數(shù)學(xué)書”。長大后的柯西曾在工學(xué)院學(xué)習(xí)，也當(dāng)過交通道路工程師，之后才轉(zhuǎn)入純數(shù)學(xué)的研究。也是因為身體欠佳，柯西在40歲之后，只在“上班時間”研究數(shù)學(xué)。即使這樣，他發(fā)表論文的數(shù)量依舊驚人，在數(shù)學(xué)史上是僅次于歐拉的多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。傳說柯西年輕的時候向巴黎科學(xué)院學(xué)報投論文之快之多，使得印刷廠為了印制這些論文搶購了巴黎市所有紙店的存貨，市面上紙價也大增，于是科學(xué)院通過決議，以后發(fā)表論文每篇篇幅不得超過4頁。接下來，我們將在柯西的眾多學(xué)術(shù)成果中拿出他在分析嚴(yán)格化中的工作著重談一談~2. 分析嚴(yán)格化的前夜：第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
在微積分歷史上，柯西處于早期開拓者和現(xiàn)代數(shù)學(xué)家之間的位置。前輩們創(chuàng)立了一個充滿直覺與質(zhì)樸的領(lǐng)域，而來自貝克萊主教的質(zhì)疑使得數(shù)學(xué)家們想盡辦法維護(hù)自己的尊嚴(yán)[2]。在柯西之前，牛頓和萊布尼茨依據(jù)他們各自的思想獨立地創(chuàng)建了微積分原理。牛頓建立微積分的過程中有兩大類思想。第一類思想建立在無限小量的基礎(chǔ)之上，在這一類思想中又分了兩種，一種是建立在運(yùn)動學(xué)的背景之上，把時間瞬作為基本的無限小量，其他變量的瞬都是時間瞬的某一倍數(shù)；而第二種則擺脫了運(yùn)動學(xué)的背景，把任何變量的瞬看作是不依賴于時間的靜止的無限小量，具有不可分量的色彩。第二類思想是首末比的思想，牛頓將其解釋為：“消逝量的最終比實際上并非最終量之比，而是無限減小的量之比所趨向的極限[1]。”這可以理解為函數(shù)因變量的增量與自變量的增量之比在自變量增量趨于0時的極限。牛頓晚年偏向于首末比思想，他嘗試?yán)梦掷挂詠淼臉O限思想來加以說明，但并沒有明確定義極限。牛頓首末比微積分原理的主要問題在于，計算流數(shù)（導(dǎo)數(shù)）時，自變量先增加一個非零增量 ，求得變量增量之比的表達(dá)式之后，又令增量 消逝為0。這里關(guān)于增量o的前后假設(shè)矛盾[1]。萊布尼茨建立微積分原理主要經(jīng)歷了兩個階段。第一個階段主要是關(guān)于特征三角形的研究，萊布尼茨從特征三角形的研究中主要意識到了求曲線的切線和求曲線下的面積這兩類問題與坐標(biāo)的差值變成無限小時的關(guān)系，并且意識到二者的互逆關(guān)系。第二個階段是把序列的求差求和運(yùn)算推廣到微積分運(yùn)算當(dāng)中，這依賴于萊布尼茨定義的微分。萊布尼茨把作為無窮小量的微分描述為正在消失或者剛出現(xiàn)的量，與已經(jīng)形成的量相對應(yīng)。微分不是0，但小于任意有限的量[3]。對于高階微分，萊布尼茨認(rèn)為高階微分和低階微分相比，如同點和直線相比一樣。這并不為同時代的許多數(shù)學(xué)家所理解。3. 柯西的現(xiàn)行微積分體系是如何形成的？
在牛頓與萊布尼茨創(chuàng)建微積分之后，英國和歐洲大陸分別沿著他們的路線進(jìn)一步發(fā)展微積分。英國數(shù)學(xué)家以牛頓的流數(shù)術(shù)為基礎(chǔ)，主要代表數(shù)學(xué)家是泰勒。由于幾何傳統(tǒng)與民族保守情緒，英國數(shù)學(xué)后期處于停滯狀態(tài)。歐洲大陸數(shù)學(xué)家以萊布尼茨的微分為基礎(chǔ)，沿用萊布尼茨的記號： 表示求和， 表示求差，發(fā)展出了眾多的微積分方法，主要代表數(shù)學(xué)家是歐拉。雖然微積分的花園里春色滿園，但是關(guān)于微積分基礎(chǔ)的不牢固仍然是一個令人擔(dān)憂的問題。問題爆發(fā)于貝克萊主教的批判，一般認(rèn)為由以柯西為代表的數(shù)學(xué)家進(jìn)行了解決。牛頓的微積分原理的缺點在于自相矛盾，萊布尼茨的微積分原理的缺點在于微分的本質(zhì)說不清楚。這一事實既是柯西重建微積分原理的理由，也是柯西重建微積分原理的素材。1821年，柯西采用了以牛頓的微積分原理為共同思想，以萊布尼茨的符號為表現(xiàn)形式的微積分發(fā)展路線，并與后來的數(shù)學(xué)家黎曼、魏爾斯特拉斯、達(dá)布和勒貝格一道建立了現(xiàn)行微積分體系。由于萊布尼茨的微分說不清楚，柯西只能沿著牛頓的首末比思想，利用達(dá)朗貝爾的極限概念對牛頓的首末比微積分原理加以說明和發(fā)展。柯西關(guān)于極限的定義是這樣的：“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個固定的值，最終使它的值與該定值要多小就多小，那么最后這個定值就稱為所有其他值的極限[4]。”以極限為基礎(chǔ)，柯西把無限小量定義為以0為極限的變量，導(dǎo)數(shù)定義為差商的極限，微分則由導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出，定積分定義為對于區(qū)間劃分求和后的極限。可以看到在柯西的微積分原理中，幾乎所有的基本概念都是依賴于極限定義的，其體系的結(jié)構(gòu)和現(xiàn)在的微積分結(jié)構(gòu)基本相同，形成了現(xiàn)代微積分原理的雛形。在牛頓的首末比微積分原理中，由于幾何與運(yùn)動學(xué)背景，流量可視為曲線下的面積，即柯西微積分原理中的定積分；由流量可得到流數(shù)，同樣知道了流數(shù)也可反推流量，這樣流量也可視為反流數(shù)，即柯西微積分原理中的原函數(shù)。牛頓默認(rèn)了反流數(shù)和積分是等同的東西，而在柯西的微積分原理體系中，二者在定義上是完全獨立的，在數(shù)值上由微積分基本定理聯(lián)系起來，通過極限加以嚴(yán)格證明。由于微積分的方法幾乎都是沿著萊布尼茨的微積分原理發(fā)展起來的，柯西在重建微積分原理時理所應(yīng)當(dāng)?shù)匾堰@些方法囊括進(jìn)來，從而雖然在牛頓的首末比微積分原理中并未給微分留任何位置，即使是考慮微分的表達(dá)形式很好用，柯西也必須定義微分。只是柯西的微分與萊布尼茨的微分已大相徑庭。萊布尼茨的微分是針對變量定義的，而柯西的微分是針對函數(shù)定義的。而這針對函數(shù)定義的微分，為了湊出 的形式，最后會歸結(jié)為增量 是如何過渡到微分 ，柯西利用恒等函數(shù)，通過特殊代一般的邏輯完成這個過渡過程[4]，詳情見附錄。柯西的以極限為基礎(chǔ)、以牛頓的首末比思想為主要內(nèi)容、以萊布尼茲的符號為主要形式的微積分原理，相比于前人對許多基本概念給出了嚴(yán)格化的定義，使得微積分有了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。但是由于大部分微積分方法是沿著萊布尼茲的微積分原理發(fā)展起來的，而柯西在將方法囊括進(jìn)來時，更像是后驗的極限語言的驗證，而不具有“發(fā)明者的藝術(shù)”。附錄：
柯西關(guān)于單變量函數(shù)的微分定義如下[4]：
“設(shè) 是一個獨立變量 的函數(shù)；設(shè) 為一無限小量，而 為一有限量。如果我們設(shè) ，那么 將是一個無限小量，同時我們將有恒等式 由此可得方程（1）當(dāng)變量 趨于零而 保持不變時，方程（1）左端所收斂的極限叫做函數(shù) 的微分。我們用符號 來表示這個微分，記作 或 。如果我們已經(jīng)知道導(dǎo)函數(shù) 或 的值，那就更容易得到微分的值。事實上，在方程（1）兩邊取極限，我們就得到一般的結(jié)論(方程2) 在 這一特殊情形，方程（2）變?yōu)?nbsp; 。
在這里，柯西是通過 這一特殊情形，才能將（2）式化為 這一形式的，那么對于一般的函數(shù)，便不能化為d 這種形式。
[1] 李文林著. 數(shù)學(xué)史概論 第3版. 北京：高等教育出版社, 2011.02.[2] WilliamDunham著. 微積分的歷程：從牛頓到勒貝格. 北京：人民郵電出版社, 2010.08.[3]M·克萊因著.古今數(shù)學(xué)思想.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2009.10.[4] 李文林主編. 數(shù)學(xué)珍寶 歷史文獻(xiàn)精選. 北京：科學(xué)出版社, 1998.10.
