《算術(shù)與幾何的妙趣》利克瑞爾數(shù)的尋找與計(jì)數(shù)

“利克瑞爾數(shù)比例”的圖表表明，1 位數(shù)、2 位數(shù)、3 位數(shù)……18 位數(shù)的整數(shù) N 在一定數(shù)量的迭代之后都沒(méi)有產(chǎn)生回文數(shù)的百分比，我們（暫時(shí)）將它們看做利克瑞爾數(shù)（參見(jiàn) http://www./worldrecords.html）。

這些圖表是否能對(duì)必然回文數(shù)猜想提出足夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念A(yù)測(cè)？從 196 開(kāi)始經(jīng)過(guò)數(shù)億次計(jì)算仍然沒(méi)有產(chǎn)生回文數(shù)，這一事實(shí)是否可以說(shuō)明 196 永遠(yuǎn)不會(huì)產(chǎn)生回文數(shù)呢？我們傾向于回答：是！然而面對(duì)剩下的無(wú)窮次迭代，完成一次計(jì)算又顯得那么微不足道。人們很難承認(rèn)回文數(shù)就此不會(huì)出現(xiàn)，在剩下的無(wú)限計(jì)算中，很難說(shuō)這不大可能。對(duì) 196 無(wú)法下結(jié)論，這種情況當(dāng)然也會(huì)延伸至目前尚未產(chǎn)生回文數(shù)的所有數(shù)字。于是，盡管表面上利克瑞爾數(shù)的比例規(guī)則且明顯增加，也不能“嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亍睌嘌曰匚臄?shù)猜想“大概不成立”。

有人開(kāi)展了一系列倒置相加的補(bǔ)充計(jì)算，來(lái)確定要達(dá)到回文數(shù)所需的最大迭代次數(shù)。之前看過(guò)的數(shù)字 89 是個(gè)特例，在所有小于 10 000 且被證明能夠產(chǎn)生回文數(shù)的數(shù)字中，89 是產(chǎn)生回文數(shù)最慢的數(shù)字（24 步計(jì)算）。

“利克斯?fàn)枖?shù)比例”右邊的表格給出了至今已知最長(zhǎng)時(shí)間，以及擁有該紀(jì)錄的數(shù)字，依次按照 2 位數(shù)整數(shù)、3 位數(shù)整數(shù)等等排列（參見(jiàn) http://www./pal/89）。對(duì) 19 位數(shù)整數(shù)的計(jì)算尚未完成，還在等待一位智慧與耐心兼?zhèn)涞某绦騿T來(lái)接受挑戰(zhàn)。

如同利克瑞爾數(shù)列一樣，這個(gè)表格是一個(gè)暫時(shí)結(jié)論：人們依然可以想象，對(duì) 196 持續(xù)計(jì)算能夠產(chǎn)生一個(gè)回文數(shù)，這將會(huì)使 196 超過(guò)現(xiàn)今所有已知結(jié)果，成為新紀(jì)錄。我們注意到，表格中達(dá)到回文數(shù)之前的計(jì)算過(guò)程都不長(zhǎng)。經(jīng)過(guò)數(shù)千小時(shí)的計(jì)算，目前的最高紀(jì)錄也不過(guò) 261 步。計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)，所處理的數(shù)字越大，計(jì)算出的結(jié)果是回文數(shù)的可能性越小。表格“試驗(yàn)性地”指出，回文數(shù)如果不能盡快出現(xiàn)，就很有可能壓根再也不會(huì)出現(xiàn)了。

我們現(xiàn)在是否應(yīng)該給出必然回文數(shù)猜想“大概不成立”的結(jié)論呢？我不確定，還是出于同樣的基本原因：即便幾率已經(jīng)很小，而且還在繼續(xù)減小，無(wú)限次地進(jìn)行嘗試仍有可能提高成功的幾率，甚至確定成功。我知道，如果我長(zhǎng)時(shí)間擲硬幣，總能得到 100 次反面。

讓我們將樂(lè)趣留給熱衷于此的愛(ài)好者，用最新的計(jì)算機(jī)和演算方法進(jìn)行分布式計(jì)算，將幫助他們滿足自己的好奇心、繼續(xù)這項(xiàng)略顯不理性的研究。現(xiàn)在，我們來(lái)看看一系列通過(guò)計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)的新奇猜想。這些猜想和質(zhì)數(shù)有關(guān)，早已激起了人們強(qiáng)烈的好奇。

5　按照檢測(cè)數(shù)字的位數(shù)列出的利克瑞爾數(shù)比例（左）以及若能產(chǎn)生回文數(shù)，之前所需迭代最大次數(shù)的紀(jì)錄，也按照數(shù)字位數(shù)列出（右）。（讓·保羅·德拉耶）