數(shù)學(xué)高考真題 知識(shí)總結(jié) 方法總結(jié) 題型突破！（專題07　導(dǎo)數(shù)中的問題)

專題07　導(dǎo)數(shù)中的問題

【高考真題】

1．(2022·新高考Ⅱ)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．

1．答案　y＝x　y＝－x　解析　因?yàn)?/span>y＝ln|x|，當(dāng)x＞0時(shí)y＝lnx，設(shè)切點(diǎn)為(x₀，lnx₀)，由y′＝，所以y′|_x

_＝x0＝，所以切線方程為y－lnx₀＝(x－x₀)，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－lnx₀＝(－x₀)，解得x₀＝e，所以切線方程為y－1＝ (x－e)，即y＝－x；當(dāng)x＜0時(shí)y＝ln(－x)，設(shè)切點(diǎn)為(x₁，ln(－x₁))，由y′＝，所以y′|_x＝x1＝，所以切線方程為y－ln(－x₁)＝ (x－x₁)，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－ln(－x₁)＝ (－x₁)，解得x₀＝－e，所以切線方程為y－1＝－(x＋e)，即y＝－x；故答案為y＝x；y＝－x．

2．(2022·新高考Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)e^x有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________．

2．答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析　∵y＝(x＋a)e^x，∴y′＝(x＋1＋a)e^x，設(shè)切點(diǎn)為(x₀，y₀),則y₀＝(x₀

＋a)e^x0,切線斜率k＝(x₀＋1＋a)e^x0，切線方程為y－(x₀＋a)e^x0＝(x₀＋1＋a)e^x0(x－x₀)．∵切線過原點(diǎn)，∴－(x₀＋a)e^x0＝(x₀＋1＋a)e^x0(－x₀)，整理得，x₀²＋a x₀－a＝0．∵切線有兩條，∴△＝a²＋4a>0,解得a<－4或a>0，∴a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故答案為(－∞，－4)∪(0，＋∞)．

3．(2022·全國乙文)函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0，2π]的最小值、最大值分別為(　　)

A．－，　　　　　B．－，　　　　　C．－，＋2　　　　　D．－，＋2

3．答案　D　解析　f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，所以f(x)在區(qū)間(0，)和(，2π)上f′(x)>0，

即f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(，)上f′(x)＜0，即f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝f(2π)＝2，f()＝＋2，f()＝－(＋1)＋1＝－，所以f(x)在區(qū)間[0，2π]上的最小值為－，最大值為＋2．故選D．

4．(2022·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x³－x＋1，則(　　)

A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)　　　　　　　　　　　B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C．點(diǎn)(0，1)是曲線y＝f(x)的對(duì)稱中心　　　　D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線

4．答案　AC　解析　由題，f′(x)＝3x²－1，令f′(x)>0得x＞或x＜－，令f′(x)＜0得－＜x＜，

所以f(x)在(－，)上單調(diào)遞減，在(－∞，－)，(，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x＝±是極值點(diǎn)，故A正確；因f (－)＝1＋>0，f ()＝1－>0，f (－2)＝－5＜0，所以，函數(shù)f(x)在(－∞，－)上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x≥時(shí)，f(x)≥f()>0，即函數(shù)f(x)在(，＋∞)上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令h(x)＝x³－x，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，h(－x)＝(－x)³－(－x)＝－x³＋x＝－h(x)，則h(x)是奇函數(shù)，(0，0)是h(x)的對(duì)稱中心，將h(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(x)的圖象，所以點(diǎn)(0，1)是曲線y＝f(x)的對(duì)稱中心，故C正確；令f′(x)＝3x²－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，當(dāng)切點(diǎn)為(1，1)時(shí)，切線方程為y＝2x－1，當(dāng)切點(diǎn)為(－1，1)時(shí)，切線方程為y＝2x＋3，故D錯(cuò)誤．故選AC．

5．(2022·新高考Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，0)中心對(duì)稱，則(　　)

A．f(x)在區(qū)間(0，)單調(diào)遞減　　　　　　　　B．f(x)在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)

C．直線x＝是曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸　　　　　D．直線y＝－x是曲線y＝f(x)的切線

5．答案　AD　解析　由題意得，f()＝sin(＋φ)＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，

又0<φ<π，所以k＝2時(shí)，φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)．對(duì)A，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，2x＋∈(，)，由正弦函數(shù)y＝sinu圖象知y＝f(x)在(0，)上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈(，)，由正弦函數(shù)y＝sinu圖象知y＝f(x)只有1個(gè)極值點(diǎn)，由2x＋＝，解得，即x＝為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)x＝時(shí)，2x＋＝3π，f()＝0，直線x＝不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由y′＝2cos(2x＋)＝－1，得cos(2x＋)＝－，解得2x＋＝＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，從而得，x＝kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)，所以函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(0，)處的切線斜率為k＝y′|_x＝0＝2cos＝－1，切線方程為y＝－x．故選AD．

6．(2022·全國乙理)已知x＝x₁和x＝x₂分別是函數(shù)f(x)＝2a^x－ex²(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若

x₁＜x₂，則a的取值范圍是____________．

6．答案　(，1)　解析　f′(x)＝2lna a^x－2ex，因?yàn)?/span>x₁，x₂分別是函數(shù)f(x)＝2a^x－ex²的極小值點(diǎn)和極大值

點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在(－∞，x₁)和(x₂，＋∞)上遞減，在(x₁，x₂)上遞增，所以當(dāng)x∈(－∞，x₁)和(x₂，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(x₁，x₂)時(shí)，f′(x)>0，若a>1時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，2lna a^x>0，2ex＜0，則此時(shí)，f′(x)>0，與前面矛盾，故a>1不符合題意，若0<a<1時(shí)，則方程2lna a^x－2ex＝0的兩個(gè)根為x₁，x₂，即方程lna a^x＝ex的兩個(gè)根為x₁，x₂，即函數(shù)y＝lna a^x與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∵0<a<1，∴函數(shù)y＝a^x的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵lna<0，∴y＝lna a^x的圖象由指數(shù)函數(shù)y＝a^x向下關(guān)于x軸作對(duì)稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的|lna|倍得到，如圖所示：

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y＝g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(x₀，lna a^x0)，則切線的斜率為g′(x)＝ln²a a^x0，故切線方程為y－lna a^x0＝ln²a a^x0(x－x₀)，則有－lna a^x0＝－x₀ ln²a a^x0，解得x₀＝，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)y＝lna a^x與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以e ln²a<e，解得<a<e，又0<a<1，所以<a<1，綜上所述，a的范圍為(，1)．

7．(2022·新高考Ⅰ)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l

≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是(　　)

A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27]

7．答案　C　解析　∵ 球的體積為36π，所以球的半徑R＝3，設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則

l²＝2a²＋h²，3²＝2a²＋(3－h)²．所以6h＝l²，2a²＝l²－h²，所以正四棱錐的體積V＝Sh＝×4a²×h＝×(l²－)×＝(l⁴－)，所以V′＝(4l³－)＝l³ ()，當(dāng)3≤l≤2時(shí)，V′＞0，當(dāng)2≤l≤3時(shí)，V′＜0，所以當(dāng)l＝2時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為，又l＝3時(shí)，V＝，l＝3時(shí)， V＝．所以正四棱錐的體積V的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是[，]．故選C．

【知識(shí)總結(jié)】

1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)f′(x₀)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x₀，f(x₀))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x₀)＝f′(x₀)·(x－x₀)．

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．

2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①求函數(shù)f(x)的定義域；

②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；

③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．

(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立；

②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；

③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．

3．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

(1)求函數(shù)的極值的一般步驟

①確定函數(shù)的定義域；

②解方程f′(x)＝0；

③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x₀附近兩側(cè)的符號(hào)變化：

若左正右負(fù)，則x₀為極大值點(diǎn)；

若左負(fù)右正，則x₀為極小值點(diǎn)；

若不變號(hào)，則x₀不是極值點(diǎn)．

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟

①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；

②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．

【同類問題】

題型一　曲線的切線方程

1．(2021·全國甲)曲線y＝在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程為________．

1．答案　5x－y＋2＝0　解析　y′＝′＝＝，所以y′|_x＝－1＝＝5，所

以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．

2．(2020·全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x⁴－2x³的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為(　　)

A．y＝－2x－1　　　　B．y＝－2x＋1　　　　C．y＝2x－3　　　　D．y＝2x＋1

2．答案　B　解析　f(1)＝1－2＝－1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，f′(x)＝4x³－6x²，所以切線的斜率為k＝f′(1)

＝4×1³－6×1²＝－2，切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．

3．(2018·全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x³＋(a－1)x²＋ax．若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程

為(　　)

A．y＝－2x　　　　　　B．y＝－x　　　　　　C．y＝2x　　　　　　D．y＝x

3．答案　D　解析　法一　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x³＋(a－1)x²＋ax為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)³＋

(a－1)(－x)²＋a(－x)＝－[x³＋(a－1)x²＋ax]，所以2(a－1)x²＝0．因?yàn)?/span>x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x³＋x，所以f′(x)＝3x²＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x．故選D．

法二　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x³＋(a－1)x²＋ax為奇函數(shù)，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此時(shí)f(x)＝x³＋x(經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)為奇函數(shù))，所以f′(x)＝3x²＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x．故選D．

法三　易知f(x)＝x³＋(a－1)x²＋ax＝x[x²＋(a－1)x＋a]，因?yàn)?/span>f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)＝x²＋(a－1)x＋a為偶函數(shù)，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x³＋x，所以f′(x)＝3x²＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝x．故選D．

4．(2020·全國Ⅰ)曲線y＝ln x＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為________．

4．答案　2x－y＝0　解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀，y₀)，因?yàn)?/span>y＝ln x＋x＋1，所以y′＝＋1，所以切線的斜率

為＋1＝2，解得x₀＝1．所以y₀＝ln 1＋1＋1＝2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．

5．(2019·全國Ⅱ)曲線y＝2sin x＋cos x在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為(　　)

A．x－y－π－1＝0 　　　　　　　　　　　　　　B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0　　　　　　　　　　　　　　D．x＋y－π＋1＝0

5．答案　C　解析　設(shè)y＝f(x)＝2sin x＋cos x，則f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲線在點(diǎn)(π，－1)

處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故選C．

6．(2021·新高考Ⅰ)若過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝e^x的兩條切線，則(　　)

A．e^b<a　　　　　　B．e^a<b　　　　　　C．0<a<e^b 　　　　　　D．0<b<e^a

6．答案　D　解析　根據(jù)y＝e^x圖象特征，y＝e^x是下凸函數(shù)，又過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝e^x的兩條切線，

則點(diǎn)(a，b)在曲線y＝e^x的下方且在x軸的上方，得0<b<e^a．故選D．

7．已知曲線f(x)＝x³－x＋3在點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)

A．(1，3)　　　　B．(－1，3)　　　　C．(1，3)或(－1，3)　　　　D．(1，－3)

7．答案　C　解析　設(shè)切點(diǎn)P(x₀，y₀)，f′(x)＝3x²－1，又直線x＋2y－1＝0的斜率為－，∴f′(x₀)＝3x－1

＝2，∴x＝1，∴x₀＝±1，又切點(diǎn)P(x₀，y₀)在y＝f(x)上，∴y₀＝x－x₀＋3，∴當(dāng)x₀＝1時(shí)，y₀＝3；當(dāng)x₀＝－1時(shí)，y₀＝3．∴切點(diǎn)P為(1，3)或(－1，3)．

8．(2019·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，

－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．

8．答案　(e，1)　解析　設(shè)A(m，n)，則曲線y＝ln x在點(diǎn)A處的切線方程為y－n＝(x－m)．又切線過點(diǎn)

(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1．故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e，1)．

9．設(shè)函數(shù)f(x)＝x³＋(a－1)·x²＋ax，若f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x₀，f(x₀))處的切線與直線x＋y

＝0垂直，則切點(diǎn)P(x₀，f(x₀))的坐標(biāo)為        ．

9．答案　(0，0)　解析　∵f(x)＝x³＋(a－1)x²＋ax，∴f′(x)＝3x²＋2(a－1)x＋a．又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)

＝－f(x)恒成立，即－x³＋(a－1)x²－ax＝－x³－(a－1)x²－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x²＋1，3x＋1＝1，x₀＝0，f(x₀)＝0，∴切點(diǎn)P(x₀，f(x₀))的坐標(biāo)為(0，0)．

10．過定點(diǎn)P(1，e)作曲線y＝ae^x(a>0)的切線，恰有2條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

10．答案　(1，＋∞)　解析　由y′＝ae^x，若切點(diǎn)為(x₀，)，則切線方程的斜率k＝＝>0，

∴切線方程為y＝(x－x₀＋1)，又P(1，e)在切線上，∴(2－x₀)＝e，即＝(2－x₀)有兩個(gè)不同的解，令φ(x)＝e^x(2－x)，∴φ′(x)＝(1－x)e^x，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，φ′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴φ(x)_max＝φ(1)＝e，又x→－∞時(shí)，φ(x)→0；x→＋∞時(shí)，φ(x)→－∞，∴0<<e，解得a>1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．

題型二　曲線的公切線方程

11．(2020·全國Ⅲ)若直線l與曲線y＝和圓x²＋y²＝都相切，則l的方程為(　　)

A．y＝2x＋1　　　　B．y＝2x＋　　　　C．y＝x＋1　　　　D．y＝x＋

11．答案　D　解析　易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y＝kx＋b，則＝　①．設(shè)直線l

與曲線y＝的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀，)(x₀>0)，則y′|x＝x₀＝x₀－＝k　②，＝kx₀＋b　③，由②③可得b＝，將b＝，k＝x₀－代入①得x₀＝1或x₀＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直線l的方程y＝x＋．

12．已知f(x)＝e^x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)＝lnx＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程

為                    ．

12．答案　y＝ex或y＝x＋1　解析　設(shè)l與f(x)＝e^x的切點(diǎn)為(x₁，y₁)，則y₁＝，f′(x)＝e^x，∴f′(x₁)＝，

∴切點(diǎn)為(x₁，)，切線斜率k＝，∴切線方程為y－＝(x－x₁)，即y＝·x－＋，①，同理設(shè)l與g(x)＝ln x＋2的切點(diǎn)為(x₂，y₂)，∴y₂＝ln x₂＋2，g′(x)＝，∴g′(x₂)＝，切點(diǎn)為(x₂，ln x₂＋2)，切線斜率k＝，∴切線方程為y－(ln x₂＋2)＝(x－x₂)，即y＝·x＋ln x₂＋1，②，由題意知，①與②相同，∴把③代入④有－＋＝－x₁＋1，即(1－x₁)(－1)＝0，解得x₁＝1或x₁＝0，當(dāng)x₁＝1時(shí)，切線方程為y＝ex；當(dāng)x₁＝0時(shí)，切線方程為y＝x＋1，綜上，直線l的方程為y＝ex或y＝x＋1．

13．若直線l與曲線y＝e^x及y＝－x²都相切，則直線l的方程為________．

13．答案　y＝x＋1　解析　設(shè)直線l與曲線y＝e^x的切點(diǎn)為(x₀，)，直線l與曲線y＝－x²的切點(diǎn)為

，因?yàn)?/span>y＝e^x在點(diǎn)(x₀，)處的切線的斜率為y′|x＝x₀＝，y＝－在點(diǎn)處的切線的斜率為y′|x＝x₁＝|x＝x₁＝－，則直線l的方程可表示為y＝x－x₀e＋或y＝－x₁x＋x，所以所以＝1－x₀，解得x₀＝0，所以直線l的方程為y＝x＋1．

14．曲線C₁：y＝ln x＋x與曲線C₂：y＝x²有________條公切線．

14．答案　1　解析　由y＝ln x＋x得y′＝＋1，設(shè)點(diǎn)(x₁，ln x₁＋x₁)是曲線C₁上任一點(diǎn)，∴曲線C₁在點(diǎn)(x₁，

ln x₁＋x₁)處的切線方程為y－(ln x₁＋x₁)＝(x－x₁)，即y＝x＋ln x₁－1．同理可得曲線C₂在點(diǎn)(x₂，x)處的切線方程為y－x＝2x₂(x－x₂)，即y＝2x₂x－x．依題意知兩切線重合，∴消去x₂得＋＋4ln x₁－3＝0，①，令f(x)＝＋＋4ln x－3(x>0)，則f′(x)＝－－＋＝＝，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)_min＝f(1)＝0，∴f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．即方程①只有一個(gè)解，故曲線C₁與C₂只有1條公切線．

15．已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝ax²＋(a＋2)x＋1相切，則a＝        ．

15．答案　8　解析　方法一　因?yàn)?/span>y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|_x＝1＝2．所以曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1，1)

處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．因?yàn)?/span>y＝2x－1與曲線y＝ax²＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(當(dāng)a＝0時(shí)曲線變?yōu)?/span>y＝2x＋1與已知直線平行)．由消去y，得ax²＋ax＋2＝0．由Δ＝a²－8a＝0，解得a＝8．

方法二　同方法一得切線方程為y＝2x－1．設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax²＋(a＋2)x＋1相切于點(diǎn)(x₀，ax＋(a＋2)x₀＋1)．因?yàn)?/span>y′＝2ax＋(a＋2)，所以＝2ax₀＋(a＋2)．由解得

16．(2016·課標(biāo)全國Ⅱ)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝e^x的切線，則b＝________．

16．答案　0或1　解析　設(shè)直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點(diǎn)為(x₁，y₁)，與曲線y＝e^x的切點(diǎn)為(x₂，

y₂)，y＝ln x＋2的導(dǎo)數(shù)為y′＝，y＝e^x的導(dǎo)數(shù)為y′＝e^x，可得k＝ex₂＝．又由k＝＝，消去x₂，可得(1＋ln x₁)·(x₁－1)＝0，則x₁＝或x₁＝1，則直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點(diǎn)為或(1,2)，與曲線y＝e^x的切點(diǎn)為(1，e)或(0，1)，所以k＝＝e或k＝＝1，則切線方程為y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1．

17．若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________．

17．答案　1－ln 2　解析　y＝lnx＋2的切線為y＝·x＋lnx₁＋1(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁)．y＝ln(x＋1)的切線為

y＝x＋ln(x₂＋1)－(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₂)．∴解得x₁＝，x₂＝－，∴b＝lnx₁＋1＝1－ln2．

18．已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x²＋ax(a∈R)，直線l與f(x)的圖象相切于點(diǎn)A(1，0)，若直線l與g(x)的圖

象也相切，則a等于(　　)

A．0　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．－1或3

18．答案　D　解析　由f(x)＝xln x求導(dǎo)得f′(x)＝1＋ln x，則f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(1，

0)處的切線l的方程為y＝x－1，因?yàn)橹本€l與g(x)的圖象也相切，則方程組有唯一解，即關(guān)于x的一元二次方程x²＋(a－1)x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此Δ＝(a－1)²－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3．

19．若曲線C₁：y＝ax²(a>0)與曲線C₂：y＝e^x存在公共切線，則a的取值范圍為________．

19．答案　　解析　由y＝ax²(a>0)，得y′＝2ax，由y＝e^x，得y′＝e^x，曲線C₁：y＝ax²(a>0)與曲

線C₂：y＝e^x存在公共切線，設(shè)公切線與曲線C₁切于點(diǎn)(x₁，ax)，與曲線C₂切于點(diǎn)(x₂，)，則2ax₁＝可得2x₂＝x₁＋2，∴a＝，記f(x)＝，則f′(x)＝，當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)_min＝．∴a的取值范圍是．

20．已知曲線f(x)＝lnx＋1與g(x)＝x²－x＋a有公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為        ．

20．答案　8　解析　設(shè)切線與f(x)＝lnx＋1相切于點(diǎn)P(x₀，lnx₀＋1)，f′(x₀)＝，∴切線方程為y－(lnx₀＋

1)＝(x－x₀)，即y＝x＋lnx₀，聯(lián)立得x²－x＋a－lnx₀＝0，∴Δ＝²－4(a－lnx₀)＝0，即＋＋1－4a＋4lnx₀＝0，即4a＝＋＋1＋4lnx₀有解，令φ(x)＝＋＋1＋4lnx(x>0)，φ′(x)＝－－＋＝＝，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)_min＝φ(1)＝4，又x→＋∞時(shí)，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域?yàn)?/span>[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．

題型三　函數(shù)的性質(zhì)

21．設(shè)函數(shù)f(x)＝2(x²－x)ln x－x²＋2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞)

21．答案　B　解析　由題意可得f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)ln x＋2(x²－x)·－2x＋2＝(4x－

2)ln x．由f′(x)＜0可得(4x－2)ln x＜0，所以或解得＜x＜1，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，選B．

22．已知定義在區(qū)間(0，π)上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為        ．

22．答案　，　解析　f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，當(dāng)0<x<

時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)<x<時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)<x<π時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

23．函數(shù)f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－，]上的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)